3.2.1《复数代数形式的加、减运算及其几何意义》


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3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加减运算及

其几何意义

[学习目标]
1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法 则. 2.理解复数加减法的几何意义,能够利用“ 数形结合”的思想解题.

【日清检测】

1.复数 z1= 1+ 3i 和 z2= 1- 3i 在复平 面内的对应点关于实轴 ____对称. 1- 3 0 ,虚部为 _______. 2. (1- 3)i 的实部为__ 3.若 A 点对应复数 2+ i,B 点对应复数为 - 1+ 3i,则平行四边形 OACB 的对角线 → 1+4i OC 的向量OC对应的复数为 ______.

〖自主学习〗

1.复数的加法与减法

(1)复数的加、减法法则
(a+c)+(b+d)i ; (a+bi)+(c+di)=______________ (a-c)+(b-d)i (a+bi)-(c+di)=______________. 即两个复数相加(减),就是实部与实部,虚部与 相加(减). 虚部分别________

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律,即对任意z1,z2 z2+z1,(z1+z2)+z3= ,z3∈C,有z1+z2=______
z1+(z2+z3). __________ 2.复数加、减法的几何意义

(1)复数加法的几何意义

→ → 若复数 z1 , z2 对应的向量 OZ1 , OZ2 不共线,则复数 → → 平行四边形 的对角 z1 + z2 是以 OZ 1, OZ2 为两邻边的 ___________ → 线 OZ 所对应的复数.因此,复数 的加法可以按照 向量的加法 来进行. _____________ (2)复数减法的几何意义 → → 终点,并 指向 复数 z 1 - z2 是连 接向量 OZ1 、 OZ 2 的 ____

被减向量的终点 所对应的复数. _______________

〖合作探究〗

1.若复数z1,z2满足z1-z2>0,能否认为z1>z2? 提示:不能.如2+i-i>0,但2+i与i不能比较大 小. 2.从复数减法的几何意义理解:|z1-z2|表示什么 ? 提示:表示Z1与Z2两点间的距离.

课堂互动讲练

类比实数的加减运算,若有括号,先计算括

号内的;若没有括号,可从左到右依次进
行.

例3 计算:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i);

(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]; (3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a、b∈R). 【思路点拨】 对于复数代数形式的加减运算只

要把实部与实部、虚部与虚部分别相加减即可.

【解】 (1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i) =(4-2i)-(5+6i)=-1-8i. (2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]=5i-(4+i)=-4+4i. (3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i =(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i. 【思维总结】 复数的加减法运算,只需把“i”看 作一个字母,完全可以按照合并同类项的方法进 行.

变式训练1 ________.

若复数z满足z+3+4i=5+2i,则z=

解析:∵z+3+4i=5+2i, ∴z=(5+2i)-(3+4i)=2-2i. 答案:2-2i

根据复数的两种几何意义可知:复数的加减运算 可以转化为点的坐标运算或向量运算.
例4 已知平行四边形 OABC ,顶点 O,A ,C 分别

表示 0,3+2i,-2+4i,试求: → → (1)AO 所表示的复数,BC 所表示的复数; → (2)对角线CA 所表示的复数; → → (3)对角线OB 所表示的复数及OB 的长度.

【思路点拨】 画出图形,作出相应的向量借用 向量加减法求复数.

【解】 如图所示, → → → (1)∵AO =-OA,∴AO 所表示的复数为-3- 2i. → → → ∵BC= AO ,∴BC所表示的复数为- 3- 2i.

→ → → (2)∵CA=OA-OC, → ∴CA所表示的复数为 (3+2i)-(- 2+4i)=5-2i. → → → → → (3)对角线 OB=OA +AB=OA +OC = (3+ 2i)+(- 2 → +4i)=1+6i, |OB|= 12+62= 37.

【思维总结】 要求某个向量对应的复数,只要 找出所求的向量的始点和终点,或者利用相等向 量.

〖当堂检测〗

5 复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它 们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点 ,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.

解:设复数 z1, z2, z3 在复平面内所对应的点 分别为 A,B, C,正方形的第四个顶点 D 对 应的复数为 x+yi(x, y∈R),如图. → → → 则AD = OD-OA = (x+ yi)- (1+ 2i)= (x- 1)+ (y- 2)i, → → → BC=OC- OB= (-1-2i)- (- 2+ i)= 1- 3i.

→ → ∵AD = BC,∴ (x-1)+ (y- 2)i=1-3i. ? ? ?x- 1= 1 ?x= 2 ∴? ,解得? , ? ? ?y- 2=- 3 ?y=- 1 故点 D 对应的复数为 2- i.

〖课堂小结〗

方法技巧 1.复数加减法法则的记忆 (1)复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减 . (2)把i看作一个字母,类比多项式加减运算中的合 并同类项.如例1. 2.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的 加减运算转化为向量的坐标运算.如例2.

失误防范 1.算式中若出现字母,首先要确定其是否为实 数,再确定复数的实部与虚部,最后把实部与实 部、虚部与虚部分别相加减. 2.复数的加减法可以推广到若干个复数,进行 连加连减或混合运算.


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