2015届高考理科数学第一轮基础知识点复习教案27.doc


第三节 [考情展望]

平面向量的数量积

1.以客观题的形式考查平面向量数量积的计算,向量垂直条件

与数量积的性质.2.以平面向量数量积为工具,与平面几何、三角函数、解析几何 等知识交汇命题,主要考查运算能力及数形结合思想.

一、平面向量的数量积 1.数量积的定义:已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为 θ,则向量 a 与 b 的数量积是数量|a||b|cos θ,记作 a· b,即 a· b=|a||b|cos θ.规定:零向量与任 一向量的数量积为 0. 2.向量的投影:设 θ 为 a 与 b 的夹角,则向量 a 在 b 方向上的投影是|a|cos θ;向量 b 在 a 方向上的投影是|b|cos θ. 3.数量积的几何意义:数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投 影|b|cos θ 的乘积. 二、平面向量数量积的运算律 1.交换律:a· b=b· a; 2.数乘结合律:(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb); 3.分配律:a· (b+c)=a· b+a· c. 三、平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为向量 a,b 的夹角. 结论 模 数量积 夹角 a⊥b 的充 要条件 几何表示 |a|= a· a a· b=|a||b|cos θ a· b cos θ=|a||b| a· b=0 坐标表示
2 |a|= x1 +y 2 1

a· b=x1x2+y1y2 cos θ= x1x2+y1y2 2 2 2 x1+y2 1· x2+y2

x1x2+y1y2=0

|a· b|与 |a||b|的关 系

|a· b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号 成立)

2 2 2 |x1x2+y1y2|≤ x1 +y 2 1· x2+y2

1.已知 a=(1,-3),b=(4,6),c=(2,3),则(b· c)a 等于( A.(26,-78) C.-52 【解析】 B.(-28,-42) D.-78 ∵b· c=4×2+6×3=26,

)

∴(b· c)a=(26,-78). 【答案】 A )

2.已知向量 a、b 满足|a|=1,|b|=4,且 a· b=2,则 a 与 b 的夹角为( π A.6 π C.3 【解析】 π B.4 π D.2 向量 a、b 满足|a|=1,|b|=4,且 a· b=2,

a· b 1 π 设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ=|a|· = ,∴ θ = |b| 2 3. 【答案】 C )

3.已知向量 a,b 和实数 λ,下列选项中错误的是( A.|a|= a· a C.λ(a· b)=λa· b 【解析】 【答案】 B.|a· b|=|a|· |b| D.|a· b|≤|a|· |b|

|a· b|=|a||b||cos θ|,故 B 错误. B )

4.已知向量 a,b 满足 a· b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=( A.0 C.4 【解析】 B.2 2 D.8 ∵|a|=1,|b|=2,a· b=0

∴|2a-b|= 4a2-4a· b+b2= 4+4=2 2.

【答案】

B

5.(2013· 湖北高考)已知点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量 → 在CD → 方向上的投影为( AB 3 2 A. 2 3 2 C.- 2 【解析】 ) 3 15 B. 2 3 15 D.- 2 → =(2,1),CD → =(5,5),因此AB → 在CD → 方向上的投影为 由已知得AB

→· → AB CD 15 3 2 = = 2 . →| 5 2 |CD 【答案】 A

6.(2013· 课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60° ,c=ta+(1- t)b,若 b· c=0,则 t=________. 【解析】 |a|=|b|=1, 〈a,b〉=60° .

1 t ∵c=ta+(1-t)b,∴b· c=ta· b+(1-t)b2=t×1×1×2+(1-t)×1=2+1-t t =1-2. t ∵b· c=0,∴1-2=0,∴t=2. 【答案】 2

考向一 [077]

平面向量数量积的运算

(1)(2012· 浙江高考)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10, →· → =________. 则AB AC (2)(2012· 北京高考)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点, →· → 的值为________;DE →· → 的最大值为________. 则DE CB DC 【思路点拨】 → ,AC → 用AM → ,MB → 或MC → 表示; (1)把AB

(2)建立平面直角坐标系,把向量用坐标表示.或用数量积的几何意义求解

【尝试解答】

→ → → → → → → → (1)如图所示,AB=AM+MB,AC=AM+MC=AM-MB,

→· → =(AM → +MB → )· → - MB → )= AM → 2 -MB → 2 =| AM → |2 - | MB → |2 = 9- 25 =- ∴AB AC (AM 16. (2)

法一

如图所示,以 AB,AD 所在的直线分别为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐

标系,由于正方形边长为 1, 故 B(1,0),C(1,1),D(0,1). 又 E 在 AB 边上,故设 E(t,0)(0≤t≤1). → =(t,-1),CB → =(0,-1). 则DE →· → =1. 故DE CB → =(1,0), 又DC →· → =(t,-1)· ∴DE DC (1,0)=t. →· → 的最大值为 1. 又 0≤t≤1,∴DE DC 法二 → =CB →. ∵ABCD 是正方形,∴DA

→· → =DE →· → =|DE → ||DA → |cos∠EDA ∴DE CB DA → ||DE → |cos∠EDA=|DA → |· → |=|DA → |2=1. =|DA |DA → 在DC → 上的投影最大, 又 E 点在线段 AB 上运动, 故为点 E 与点 B 重合时, DE 2 →· → =|DC → ||DE → |cos 45° 此时DC DE = 2× 2 =1. →· → 的最大值为 1. 所以DE DC 【答案】 (1)-16 (2)1 1

规律方法 1

1.平面向量的数量积的运算有两种形式, 一是依据长度与夹角,

二是利用坐标来计算. 2.要有“基底”意识,关键用基向量表示题目中所求相关向量,如本例 ?1? → 、MB → 表示AB → 、AC → 等.注意向量夹角的大小,以及夹角 θ=0° 中用AM ,90° , 180° 三种特殊情形. 对点训练 π (1)(2013· 江西高考)设 e1,e2 为单位向量, 且 e1,e2 的夹角为3,

若 a=e1+3e2,b=2e1,则向量 a 在 b 方向上的投影为________. → → → → (2)(2014· 济南模拟)在边长为 1 的正三角形 ABC 中, 设BC=2BD, CA=3CE, →· → =________. 则AD BE 【解析】 (1)由于 a=e1+3e2,b=2e1,

1 2 所以|b|=2,a· b=(e1+3e2)· 2e1=2e1 +6e1· e2=2+6×2=5, a· b 5 所以 a 在 b 方向上的投影为|a|· cos?a,b?= |b| =2. (2)

→ =2BD → ,CA → =3CE →, ∵BC ∴点 D 是线段 BC 的中点,点 E 是线段 CA 的三等分点, → ,AC → 作为基向量, 以向量AB → =1(AB → +AC → ),BE → =2AC → → ∴AD 2 3 -AB, 2→ → →· → =1(AB → +AC → )· ∴AD BE (3AC -AB) 2 1→2 1→2 1→ → =3AC -2AB -6AB· AC, → |=|AC → |=1, 又|AB → ,AC → 〉=π. 且〈AB 3

π 1 → → 1 1 1→ → ∴AD· BE=3-2-6|AB||AC|cos 3=-4. 【答案】 5 (1)2 1 (2)-4 平面向量的夹角与垂直

考向二 [078]

(1)(2013· 安徽高考)若非零向量 a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|,则 a 与 b 夹角的余弦值为________. → 与AC → 的夹角为 120° → |=3, → |=2.若AP → (2)(2013· 山东高考)已知向量AB , 且|AB |AC → +AC → ,且AP → ⊥BC → ,则实数 λ 的值为________. =λAB 【思路点拨】 (1)由|a|=|a+2b|平方得出 a· b, 然后代入夹角公式 cos 〈a, b〉 a· b =|a||b|求解. → 转化为AC → -AB → ,再通过AP →· → =0 求解. (2)把BC BC 【尝试解答】 (1)由|a|=|a+2b|,两边平方,得|a|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+
2 a· b -|b| 1 4a· b,所以 a· b=-|b|2.又|a|=3|b|,所以 cos〈a,b〉=|a||b|= 3|b|2 =-3.

→ ⊥BC → ,∴AP →· → =0. (2)∵AP BC → =λAB → +AC → ,BC → =AC → -AB →, 又AP → +AC → )(AC → -AB → )=0, ∴(λAB →· → -λAB → 2+AC → 2=0, 即(λ-1)AC AB → ||AB → |cos 120° ∴(λ-1)|AC -9λ+4=0. 7 ? 1? ∴(λ-1)×3×2×?-2?-9λ+4=0.解得 λ=12. ? ? 【答案】 规律方法 2 1 (1)-3 7 (2)12

1.当 a,b 以非坐标形式给出时,求〈a,b〉的关键是借助已知

条件求出|a|、|b|与 a· b 的关系. 2.?1?非零向量垂直的充要条件:a⊥b?a· b=0?|a+b|=|a-b|?x1x2+y1y2= → 表示成AC → -AB → ,导 0.?2?本例?2?中常见的错误是不会借助向量减法法则把BC 致求解受阻.

对点训练

(1)已知 a,b 都是非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的

夹角为________. (2)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka -b 垂直,则 k=________. 【解析】 (1)由|a|=|b|=|a-b|得,|a|2=|b|2,|b|2=a2-2a· b+b2,所以 a· b

1 1 =2a2.而|a+b|2=|a|2+2a· b+|b|2=2|a|2+2×2|a|2=3|a|2,所以|a+b|= 3|a|. a· ?a+b? = |a||a+b| 1 a2+2a2
2

设 a 与 a+b 的夹角为 θ, 则 cos θ= 所以 θ=30° .

3 =2, 由于 0° ≤θ≤180° , 3|a|

(2)∵a 与 b 是不共线的单位向量,∴|a|=|b|=1. 又 ka-b 与 a+b 垂直,∴(a+b)· (ka-b)=0, 即 ka2+ka· b-a· b-b2=0. ∴k-1+ka· b-a· b=0. 即 k-1+kcos θ-cos θ=0.(θ 为 a 与 b 的夹角) ∴(k-1)(1+cos θ)=0.又 a 与 b 不共线, ∴cos θ≠-1,∴k=1. 【答案】 (1)30° (2)1 考向三 [079] 平面向量的模及其应用

(1)(2014· 威海模拟)设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,- 4),且 a⊥c,b∥c,则|a+b|=( A. 5 C.2 5 ) B. 10 D.10

→ → (2)(2014· 郑州模拟)已知OP=(cos θ,sin θ),OQ=(1+sin θ,1+cos θ),其 → |的取值范围及|PQ → |取得最大值时 θ 的值. 中 0≤θ≤π,求|PQ 【思路点拨】 (1)由 a⊥c 求 x 的值,由 b∥c 求 y 的值,求 a+b,求|a+b|. → =OQ → -OP → → |PQ → |2 → 借助恒等变换求解 (2) PQ 【尝试解答】 (1)∵a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),

由 a⊥c 得 a· c=0,即 2x-4=0,∴x=2. 由 b∥c 得 1×(-4)-2y=0,∴y=-2. ∴a=(2,1),b=(1,-2). ∴a+b=(3,-1),∴|a+b|= 32+?-1?2= 10. 【答案】 B

→ =OQ → -OP → =(1+sin θ-cos θ,1+cos θ-sin θ), (2)∵PQ ∴|P→ Q |2=(1+sin θ-cos θ)2+(1+cos θ-sin θ)2 =4-4sin θcos θ=4-2sin 2θ. ∵0≤θ≤π,∴-1≤sin 2θ≤1, → |2∈[2,6],∴|PQ → |∈[ 2, 6]. ∴|PQ 3π → |取得最大值. 当 sin 2θ=-1,即 θ= 4 时,|PQ 规律方法 3 1.x1y2-x2y1=0 与 x1x2+y1y2=0 不同,前者是 a=?x1,y1,z1?,

b=?x2,y2,z2?共线的充要条件,而后者是它们垂直的充要条件. 2.求解向量的长度问题一般可以从两个方面考虑: ?1?利用向量的几何意义,即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法 则作出向量,再利用余弦定理等方法求解; ?2?利用公式|a|= a· a 及?a± b?2=|a|2± 2a· b+ |b|2 把长度问题转化为数量积的 运算问题解决. 对点训练 (1)(2012· 安徽高考)设向量 a=(1,2m), b=(m+1,1), c=(2, m). 若

(a+c)⊥b,则|a|=________. π π (2)已知向量 a=(sin θ,1),b=(1,cos θ),-2<θ<2. ①若 a⊥b,则 θ=________. ②若|a+b|的最大值为 2+1,则 θ=________. 【解析】 (1)a+c=(1,2m)+(2,m)=(3,3m).

∵(a+c)⊥b, ∴(a+c)· b=(3,3m)· (m+1,1)=6m+3=0, 1 ∴m=-2.∴a=(1,-1),∴|a|= 2.

(2)①由 a⊥b 得 sin θ+cos θ=0,∴tan θ=-1. π π π ∵-2<θ<2,∴θ=-4. ? π? ② |a + b| = a2 + 2a· b + b2 = sin2θ + 1 + 2 2sin ?θ+4? + cos2θ + 1 = 3 + 2 2 ? ? ? π? sin?θ+4?. ? ? π π ∵-2<θ<2, π π 3π ∴-4<θ+4< 4 . π π π ∴当 θ+4=2,即 θ=4时.|a+b|2 最大为 3+2 2,而 3+2 2= 2+1.∴ π |a+b|取最大值 2+1 时,θ=4. 【答案】 (1) 2 π π (2)-4 4

易错易误之九 ———— [1 个示范例]

忽略向量共线条件致误 ———— [1 个防错练] ———

(2014· 广州模拟)已知 a=(1,2), b=(1,1), 且 a 与 a+λb 的夹角为锐角, 则实数 λ 的取值范围为________. 【解析】 ∵a 与 a+λb 均为非零向量,且夹角为锐角,

∴a· (a+λb)>0, 即(1,2)· (1+λ,2+λ)>0, 5 ∴(1+λ)+2(2+λ)>0,∴λ>-3, 当 a 与 a+λb 共线时,存在实数 m,使 a+λb=ma, 此处在求解时,常因忽略“a 与 a+λb 共线”的情形致误,出现错误的原因 是误认为 a· b>0 与〈a,b〉为锐角等价. 即(1+λ,2+λ)=m(1,2),

?1+λ=m ∴? ,∴λ=0, ?2+λ=2m 即当 λ=0 时,a 与 a+λb 共线.
? ? ? ? ? 5 综上可知,λ 的取值范围为?λ?λ>-3且λ≠0 ?. ? ? ? ? ?

【防范措施】

1.a,b 的夹角为锐角并不等价于 a· b>0,a· b>0 等价于 a

与 b 夹角为锐角或 0° . 2.依据两向量的夹角 θ 求向量坐标中的参数时,要注意 θ=0° 或 180° 的情形. 其中 cos 0° =1>0,cos 180° =-1<0.) 已知 a=(2,-1),b=(λ,3),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围 是________. 【解析】 3 由 a· b<0,即 2λ-3<0,解得 λ<2.

3 又当 a∥b 时,λ=-6,故所求 λ 的范围为 λ<2且 λ≠-6. 【答案】 ? ? 3 ?λ?λ< 且λ≠-6 2 ? ? ? ? ?


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