菱形的性质与判定经典例题练习


19.3

菱形

第一课时
一、自主学习 ? 目标导学

1、理解菱形的定义;2、探究菱形的性质,并能运用性质解决实际问题。 ? 1、 2、菱形的性质 1)边 2)角 3)对角线 4)对称性 二、合作学习 ? 合作探究 。 自学生疑 叫菱形

1、看书了解什么叫菱形? 2、通过量一量,折一折,看看菱形的边、角、对角线存在哪些性质?如何证明?

归纳: 用几何语言叙述:

探究菱形的面积计算方法:

练一练:
1、菱形的周长为 12 cm,相邻两角之比为 5∶1,那么菱形对边间的距离是( A.6 cm B.1.5 cm C.3 cm D.0.75 cm )

2.在菱形 ABCD 中,AE⊥BC 于点 E,AF⊥CD 于点 F,且 E、F 分别为 BC、CD 的中点,则∠EAF 等 于( )A.75° B.60° C.45° D.30°

3、菱形的边长是 2 cm,一条对角线的长是 2 3 cm,则另一条对角线的长是( A.4 cm ? 精讲精练 B. 3 cm C.2 cm D.2 3 cm



例 1、如图,菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,且 AC=16 cm,BD=12 cm,求菱形 ABCD 的高 DH.

变式:菱形 ABCD 的周长为 20 cm,两条对角线的比为 3∶4,求菱形的面积.

例 2: (09 贵阳)如图,在菱形 ABCD 中,P 是 AB 上的一个动点(不与 A、B 重合) ,连 接 DP 交对角线 AC 于 E,连接 EB。 (1)求证:?APD ? ?EBC ;(2)若 ?DAB ? 60? ,试问: P 点运动到什么位置时, ? ADP 的面积等于菱形 ABCD 面积的

1 ?为什么? 4

例 3:如图,在菱形 ABCD 中,AB=4a,E 在 BC 上,BE=2a,?BAD ? 120? ,P 点在 BD 上, 求 PE+PC 的最小值。

三、用中学习 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 ) D.对角线相等

2.菱形 ABCD 中,AC、BD 相交于 O 点,若∠OBC=

1 ∠BAC,则菱形的四个内角的度数为_______. 2

3、.若菱形的两条对角线的比为 3∶4,且周长为 20 cm,则它的一组对边的距离等于__________ cm,它的面积等于________ cm .
2

4.菱形的周长为 100 cm,一条对角线长为 14 cm,它的面积是( A.168 cm
2



B.336 cm

2

C.672 cm

2

D.84 cm

2

5.菱形的周长为 16,两邻角度数的比为 1∶2,此菱形的面积为( A.4 3 B.8 3 C.10 3 ) D.12 3



6.下列语句中,错误的是(

A.菱形是轴对称图形,它有两条对称轴 B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到 C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到 D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到 7.菱形的面积为 8 3 平方厘米,两条对角线的比为 1∶ 3 ,那么菱形的边长为_______. 8、如图,将两张长为 8,宽为 2 的矩形纸片交叉,使重叠部分是一个菱形,则菱形周长的 最小值是 ,最大值是 。

9、如图,在菱形 ABCD 中, ?A ? 110? ,E、F 分别是边 AB 和 BC 的中点,EP ? CD 于点 P,求 ?FPC 的度数。

第二课时
一、自主学习 ? 目标导学

1、探究菱形的判定方法,并能证明四边形为菱形。2、通过合作、探究、交流,培养自己灵 活运用菱形的性质和判定方法解决问题。 ? 自学生疑

1、用几何语言叙述菱形的性质

2、用几何语言叙述平行四边形的判定方法:

3、口述矩形的判定方法。 二、合作学习 ? 合作探究

【探究一】菱形的判定方法一: 1、根据菱形的定义,你怎样判定一个四边形是菱形? 2、 用几何语言叙述:

【探究二】菱形的判定方法二: 1、若一个四边形的四边相等,你能判定它为菱形吗?说说你的理由。

2、归纳:

3、用几何语言叙述: 【探究三】菱形的判定方法三: 1、如图,在 ? ABCD 中, AC ? BD 于 O,则四边形 ABCD 为菱形吗?请证明。

2、归纳: 3、用几何语言叙述: 小结:菱形的判定方法,判定时要注意的问题。 练一练:
1、下列命题是真命题的有 A.两组邻边分别相等的四边形是菱形. 相垂直的四边形是菱形. B.一角为 60°的平行四边形是菱形. C.对角线互

D.菱形的对角线互相垂直平分.

2.下列条件中,不能判定四边形 ABCD 是菱形的是( A. ? ABCD 中,AB=BC B. ? ABCD 中,AC⊥ BD



C. ? ABCD 中,AC=BD D. ? ABCD 中,AC 平分∠ BAD 3、 四边形 ABCD 的对角线 AC、 BD 于点 O, 下列各组条件不能判定四边形 ABCD 是菱形的是 ( A.AB=CD,AD=BC,AC=BD C.OA=OC,OB=OD,AC⊥ BD ? 精讲精练 B.∠ A=∠ C,∠ B=∠ D,∠ OAB=∠ OAD
D.AB=BC=CD=DA



例 1:AD 是 ? ABC 的角平分线,DE//AC,DF//AB。求证:四边形 AEDF 是菱形。

例2 : (2007 山东青岛)将平行四边形纸片 ABCD 按如图方式折叠,使点 C 与 A 重合,点 D 落到 D′ 处,折痕为 EF.

(1)求证:△ABE≌△AD′F; (2)连接 CF,判断四边形 AECF 是什么特殊四边形?证明你的结论

? ABC

D′

A

F

D

B

E

C

例 3:变式.□ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于 E、F,四边形 AFCE 是 否是菱形?为什么?

三、 用中学习
1、若一条对角线平分平行四边形的一组对角,且一边长为 a 时,如图,其他三边长为________; 周长为________.

2、E、F、G、H 分别是矩形 ABCD 四边 AB、BC、CD、DA 的中点,求证:四边形 EFGH 是菱形。

随堂练习 如图所示,已知菱形 ABCD 中,E、F 分别在 BC 和 CD 上,且∠B=∠EAF=60°, ∠BAE=15°,求∠CEF 的度数。

已知:如图,在菱形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、CD 上的点,且 CE=CF。过点 C 作 CG∥EA 交 AF 于 H,交 AD 于 G,若∠BAE=25°,∠BCD=130°,求∠AHC 的度 数。
B E C A G H F D

1. 如图所示,已知菱形 ABCD 中 E 在 BC 上,且 AB=AE,∠BAE= BD 于 M,试说明 BE=AM。

1 ∠EAD,AE 交 2

已知,如图所示,菱形 ABCD 中,E,F 分别是 BC、CD 上的一点,∠D=∠EAF=∠ AEF=60°.∠BAE=18°,求∠CEF 的度数.

已知:如图,□ABCD 中,AD=2AB,将 CD 向两边分别延长到 E,F 使 CD=CE=DF; 求证:AE⊥BF


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