2014高三数学一轮复习:2.7对数与对数函数


[备考方向要明了]
考 什 么 1.理解对数的概念及其运算性 质,知道用换底公式能将一 般对数转化成自然对数或常 用对数;了解对数在简化运 算中的作用. 2.理解对数函数的概念,理解 对数函数的单调性,掌握对 数函数图象通过的特殊点. 3.知道对数函数是一类重要的 函数模型. 怎 么 考 1.以对数运算法则为依据,考 查对数运算、求函数值、对 数式与指数式的互化等. 2.以考查对数函数的单调性为 目的,考查函数值的大小比 较、解简单的对数不等式 等,如2008年高考T20,2011 年高考T2. 3.以对数函数为载体,与导体 相结合考查函数的综合性质.

[归纳 知识整合] 1.对数的定义
一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,即ab=N, 那么就称b是以a为底N的对数,记作logaN=b,其中,a 叫做对数的底数,N叫做真数. 2.对数的性质与运算 (1)对数的性质(a>0且a≠1): ①loga1= 0 ;②logaa= 1 ;③ alogaN = N.

(2)对数的换底公式: logab= (a,c 均大于零且不等于 1). (3)对数的运算法则:
logcb logca

如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,n∈R 那么 ①log (M· N)= logaM+logaN ;
a

M ②loga N = logaM-logaN ; ③logaMn=nlogaM.

[探究]

1.试结合换底公式探究 logab 与 logba,

logambn 与 logab 之间的关系?

1 n n 提示:logab= ;logamb =mlogab. logba

3.对数函数的图象与性质 a>1 图象 0<a<1

定义域 值域 定点

(0,+∞) _________ _____ R (1,0) 过点 _____

a>1 单调性

0<a<1 减函数

在(0,+∞)上是 在(0,+∞)上是 增函数 _______ _______

函数值 当x>1时,y>0; 当x>1时,y<0;

正负

当0<x<1,y<0

当0<x<1时,y>0

[探究] 2.对数logab为正数、负数的条件分别是什么?
?a>1, ? 提示:当? ?b>1, ? ?a>1, ? 当? ?0<b<1, ? ?0<a<1, ? 或? ?0<b<1 ?

时,logab 为正数;

?0<a<1, ? 或? ?b>1 ?

时,logab 为负数.

3.如何确定图中各函数的底数a,b,c,d与1的大小 关系?你能得到什么规律?

提示:图中直线y=1与四个函数图象交点的横坐标即 为它们相应的底数,∴0<c<d<1<a<b,在x轴上方由左到

右底数逐渐增大,在x轴下方由左到右底数逐渐减小.

[自测

牛刀小试]

1.(2012· 安徽高考)(log29)· 34)=________. (log
解析:∵log29=2log23,log34=2log32, ∴原式=4log23×log32=4. 答案:4

2.(教材习题改编)函数 y= log0.5?4x-3?的定义域为 ________.
解析:要使函数 y= log0.5?4x-3?有意义, 则需 log0.5(4x-3)≥0,即 0<4x-3≤1 3 ∴ <x≤1. 4 ? 3 ? ? ? ?x| <x≤1? 答案: 4 ? ? ? ?

3.(教材习题改编)不等式log0.3(2x-1)<log0.3(-x+5)的解 集为________.
解析:∵函数 y=log0.3x 为减函数, ?0<2x-1, ? ∴?0<-x+5, ?2x-1>-x+5, ? ? 1 ?x> , ? 2 即? ?x<5, ?x>2. ?

∴2<x<5.

∴不等式的解集为{x|2<x<5}.

答案:{x|2<x<5}

4.(2009· 江苏高考)已知集合A={x|log2x≤2},B=(- ∞,a),若A?B,则实数a的取值范围是(c,+∞), 其中c=________.

解析:A={x|0<x≤4},B=(-∞,a).
若A?B,则a>4. 即a的取值范围为(4,+∞),∴c=4. 答案:4

1 1 5.设 2 =5 =m,且a+b=2,则 m=________. 解析:由 2a=5b=m,得 a=log2m,b=log5m,
a b

1 1 1 1 又a+b=2,即 + =2, log2m log5m 1 ∴ =2,即 m= 10. lgm
答案: 10

对数式的化简与求值
[例 1] 4 (1)计算:

2 1 27 ①log3 log5[4 2 log2 10 -(3 3) 3 -7 log7 2 ]; 3

②2(lg 2)2+lg 2· 5+ ?lg lg

2?2-2lg 2+1.

(2)已知 loga2=m,loga3=n,求 a2m+n.

[自主解答]

(1)①原式=log3

3 34

3

· 5[2log2 log

3 3 10-(3 2 ) 2 -7log

72]

?3 ? =?4log33-log33?· 5(10-3-2) log ? ? ?3 ? 1 =?4-1?· 55=- . log 4 ? ?

②原式=lg 2(2lg 2+lg 5)+ ?lg =lg 2(lg 2+lg 5)+|lg 2-1| =lg 2· lg(2×5)+1-lg 2=1. (2)∵loga2=m,loga3=n,

2?2-2lg 2+1

∴am=2,an=3. ∴a2m+n=a2m·n=4×3=12. a

保持本例(2)条件不变,求loga24的值.

解:loga24=loga3+loga8=loga3+3loga2=n+3m.

对数运算的一般思路

(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数 指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化 简合并. (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后
逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的 运算.

1.求解下列各题: 1 32 4 (1) lg - lg 8+lg 2 49 3

245=________;

(2)若 3a=2,则 2log36-log316=________; (3)已知 x,y,z 都是大于 1 的正数,m>0,且 logxm=24, logym=40,logxyzm=12,则 logzm 的值为________. 1 32 4 解析:(1) lg - lg 8+lg 245 2 49 3 1 4 3 1 = ×(5lg 2-2lg 7)- × lg 2+ (lg 5+2lg 7) 2 3 2 2 5 1 = lg 2-lg 7-2lg 2+ lg 5+lg 7 2 2 1 1 1 1 = lg 2+ lg 5= lg(2×5)= . 2 2 2 2

(2)因为 3a=2,所以 a=log32. 故 2log36-log316 =2(log33+log32)-log324 =2(1+a)-4log32=2+2a-4a=2-2a. 1 (3)由已知可得 logmx= , 24

1 1 logmy= ,logm(xyz)= , 40 12 于是 logmz=logm(xyz)-logmx-logmy 1 1 1 1 = - - = , 12 24 40 60 故 logzm=60.

1 答案:(1) 2

(2)2-2a

(3)60

对数函数的图象及应用

[例2]

已知函数f(x)=loga(2x+b-1)

(a>0,a≠1)的图象如图所示,则a-1、b、 1三者的大小关系是________. [自主解答] 令g(x)=2x+b-1,这是一个增函数,而
由图象可知函数f(x)=logag(x)是单调递增的,所以必有a>1. 又由图象知函数图象与y轴交点的纵坐标介于-1和0之 间,即-1<f(0)<0,所以-1<logab<0,故a-1<b<1.

[答案] a-1<b<1

由对数函数的图象确定参数的方法 已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含 参数的取值范围问题,通常是观察图象,获得函数的单调 性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等,由此确定函数解 析式以及其中所含参数的取值范围.

2.已知函数

?1? f(x)=?5?x-log3x,若实数 ? ?

x0 是方程 f(x)=0 的

解,且 0<x1<x0,则 f(x1)的值为________(填写“正数” 或“负数”).
解析: 由题意知, 0 是函数 x
?1? y=?5?x 和 ? ?

y=log3x

的图象交点的横坐标, 因为 0<x1<x0, 由图知,
?1? ? ?x1>log3x1,所以 ?5?

f(x1)的值恒为正数.

答案:正数

3.设 a,b,c 均为正数,且 2

a

?1? ?1? 1 b =log 1 a,?2? =log b,?2?c 2 ? ? ? ?
2

=log2c,则 a,b,c 从小到大的排列是________.
解析:如图,在同一坐标系中,作出函数
?1? y=?2?x, y=2x, y=log x ? ? 2

和 log 1 x 的图象.
2

由图象可知 a<b<c.

答案:a<b<c

对数函数的性质及应用
[例3] 已知函数f(x)=loga(3-ax). (1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值

范围;
(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2] 上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值; 如果不存在,请说明理由.

[自主解答]

(1)∵a>0 且 a≠1,设 t=3-ax,则 t=3-ax 为

减函数,x∈[0,2]时,t 最小值为 3-2a.当 x∈[0,2]时,f(x)恒有意 义,即 x∈[0,2]时,3-ax>0 恒成立. 3 ∴3-2a>0,即 a< .又 a>0 且 a≠1, 2 ? 3? ∴a∈(0,1)∪?1,2?. ? ? (2)t=3-ax,∵a>0,∴函数 t(x)在 R 上为减函数.

∵f(x)在区间[1,2]上为减函数,∴y=logat 为增函数.∴a>1, x∈[1,2]时,t(x)最小值为 3-2a,f(x)最大值为 f(1)=loga(3-a),

?a<3, ? 2 ?3-2a>0, ? ∴? 即? ?loga?3-a?=1, ? ?a=3, ? 2

故不存在.

若将本例中“3-ax”改为“ax-1”,试讨论f(x)的单调 性.

解:要使函数f(x)=loga(ax-1)有意义,
则ax-1>0. 当a>1时,由ax-1>0,得x>0; 当0<a<1时,由ax-1>0,得x<0. ∴当a>1时,函数的定义域为{x|x>0};

当0<a<1时,函数的定义域为{x|x<0}.
任取x1<x2∈(-∞,0)∪(0,+∞),则 f(x1)-f(x2)=loga(ax1-1)-loga(ax2-1)

ax1-1 =loga . ax2-1 ax1-1 当 a>1 时,0<ax1-1<ax2-1,∴0< <1. ax2-1 ax1-1 ∴loga <0,即 f(x1)<f(x2); ax2-1 ax1-1 当 0<a<1 时,ax1-1>ax2-1>0,∴ >1. ax2-1 ax1-1 ∴loga <0,即 f(x1)<f(x2). ax2-1 ∴函数 f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1)为单调增函数.

利用对数函数的性质研究对数型函数 利用对数函数的性质, 求与对数函数有关的复合函数的值 域和单调性问题,必须弄清三方面的问题,一是定义域,所有 问题都必须在定义域内讨论;二是底数与 1 的大小关系;三是 复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.

4.(2012· 上海高考改编)已知函数f(x)=lg(x+1).
(1)若0<f(1-2x)-f(x)<1,求x的取值范围; (2)若g(x)是以2为周期的偶函数,且当0≤x≤1时,有 g(x)=f(x),求函数y=g(x)(x∈[1,2])的解析式. ?2-2x>0, ? 解:(1)由? 得-1<x<1. ?x+1>0, ?
2-2x 由 0<lg(2-2x)-lg(x+1)=lg <1 x+1 2-2x 得 1< <10. x+1

因为 x+1>0,所以 x+1<2-2x<10x+10,解得 2 1 - <x< . 3 3 ?-1<x<1, ? 2 1 ? 2 由 得- <x< . 1 3 3 ?-3<x<3, ? (2)当 x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],因此 y=g(x)=g(x-
2)=g(2-x)=f(2-x)=lg(3-x). 即函数 y=g(x)(x∈[1,2])的解析式为 g(x)=lg(3-x),x∈[1,2].

?4种方法——解决对数运算问题的方法

解决对数的运算问题,主要依据是对数的运算性质.常用
的方法有: (1)将真数化为底数(或已知对数的数)的幂的积,再展开; (2)将同底对数的和、差、倍合并; (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,

要注意换底公式的正用、逆用及变形应用;
(4)利用常用对数中的lg 2+lg 5=1.

? 3 个基本点——对数函数图象的三个基本点

解决对数函数的图象问题,应关注三个基本点: (1)当 a>1 时,对数函数的图象“上升”; 当 0<a<1 时,对数函数的图象“下降”.
(2)对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象过定点(1,0),
?1 ? 且过点(a,1),?a,-1?,函数图象只在第一、四象限. ? ?

(3)底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系.

?2个应用——对数函数单调性的应用 (1)比较对数式的大小: ①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行 判断;若底数为同一字母,需对底数进行分类讨论. ②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底 后,再进行比较. ③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较. (2)解对数不等式: 形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如 果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论.形如 logax>b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式.

数学思想——利用数形结合思想求解对数不等式问题

中学数学研究的对象可分为两大部分,一部分是数,一 部分是形,但数与形是有联系的,这个联系称之为数形结 合.“数”与“形”反映了事物两个方面的属性.我们认为,

数形结合,主要指的是数与形之间的一一对应法则,数形结
合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位 置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数辅形”,即通 过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽 象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.

1 [典例] (2012· 新课标全国卷)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取 2 值范围是________. 1 [解析] ∵0<x≤ ,∴4x>1. 2 又 4x<logax,∴a∈(0,1). 则函数 y=4x 与 y=logax 的大致图象如图所示.

1 ∴只需满足 loga >2 即可, 2 2 2 解之得 a> ,∴ <a<1. 2 2

[答案]

? 2 ? ? ,1? ?2 ?

[题后悟道]

(1)解决本题的关键是在同一个坐标系内正确画出函 数 y=4x 及 y=logax 的图象.
(2)运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循以下三 个原则: ①等价性原则.在数形结合时,代数性质和几何性质 的转化必须是等价的,否则解题将会出现漏解.

②双向性原则.既要进行几何直观分析,又要进行相 应的代数抽象探求,避免代数问题进行几何分析时出错.
③简单性原则. 不要为了“数形结合”而数形结合. 具 体运用时,一要考虑是否可行和是否有利;二要选择好突 破口,恰当设参、用参、建立关系,做好转化;三要挖掘 隐含条件,准确界定参变量的取值范围.

[变式训练]

1.已知函数f(x)=|lg x|.若a≠b,且f(a)=f(b),则a+b的 取值范围是________.
解析:f(x)=|lg x|的图象如图所示,由题可设 0<a<1, b>1,∴|lg a|=-lg a,|lg b|=lg b,

∴-lg a=lg b, 1 1 即a=b,a+b=a+a>2(∵a≠b).

答案:(2,+∞)

2. 不等式 logax>(x-1)2 恰有三个整数解, a 的取值范围为_____. 则
解析:不等式 logax>(x-1)2 恰有三个整数解,画出示意图可知 a>1,其整数解集为{2,3,4},

?loga4>?4-1?2, ? 则应满足? 2 ? ?loga5≤?5-1? ,



16

9 5≤a< 4.

答案:[

16

5,

9

4 )

1.化简下列各式: 2lg 2+lg 3 1 (1)lg 70-lg 56-3lg ;(2) . 2 1 1 1+ lg 0.36+ lg 16 2 1 4 解:(1)原式=lg(7×10)-lg(7×8)-lg 8
=lg 7+1-lg 7-lg 8+lg 8=1. 2lg 2+lg 3 2lg 2+lg 3 (2)原式= = 1 1 2×3 1+ lg 0.62+ lg 24 1+lg +lg 2 2 4 10 2lg 2+lg 3 2lg 2+lg 3 = = =1. 1+lg 2+lg 3-lg 10+lg 2 2lg 2+lg 3

2.设 a=log 1
3

1 2 4 ,b=log 1 ,c=log3 ,则 a,b,c 的大 2 3 3
3

小关系是________.
4 3 解析:由对数函数的性质知 c=log3 =log 1 ,由对 3 4
3

数函数的单调性知 log 1
3

3 2 1 <log 1 <log 1 ,即 c<b<a. 4 3 2
3 3

答案:c<b<a

3.对于函数 f(x)=log 1 (x2-2ax+3),解答下列问题:
2

(1)若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f(x)在(-∞,1]内为增函数,求实数 a 的取 值范围. 解:设 u=g(x)=x2-2ax+3=(x-a)2+3-a2.

(1)∵u>0 对 x∈R 恒成立. ∴umin=3-a2>0, ∴- 3<a< 3(或由 x2-2ax+3>0 的解为 R,得 Δ=4a2-12<0,求出- 3<a< 3).

(2)命题等价于
?g?x?在?-∞,1]上为减函数, ? ? ?g?x?>0对x∈?-∞,1]恒成立 ? ?a≥1, ? ?? ?g?1?>0 ? ?a≥1, ? ?? ?a<2. ?

即所求 a 的取值范围是[1,2).

4.已知函数 f(x)=log4(4x+1)+2kx(k∈R)是偶函数. (1)求 k 的值; (2)若方程 f(x)=m 有解,求 m 的取值范围.
解:(1)由函数 f(x)是偶函数,可知 f(x)=f(-x), ∴log4(4x+1)+2kx=log4(4 x+1)-2kx, 4x+1 即 log4 -x =-4kx. 4 +1 ∴log4 4x=-4kx,


即 x=-4kx,即(1+4k)x=0, 1 对一切 x∈R 恒成立.∴k=- . 4 1 x (2)由 m=f(x)=log4(4 +1)- x 2
? 4x+1 1? x =log4 x =log4?2 + x?, 2? 2 ?

1 1 ∵2 + x≥2,∴m≥log42= . 2 2
x

故要使方程 f(x)=m 有解, m

?1 ? 的取值范围为?2,+∞?. ? ?


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