学案1 不等式性质及一元二次不等式的解法


学案1 不等式性质及一元 二次不等式的解法

不等式性 质及一元 二次不等 式的解法

(1)了解现实世界和日常生活中的不等关系, 了解不等式(组)的实际背景. (2)会从实际情境中抽象出一元二次不 等式模型.

(3)通过函数图象了解一元二次不等式与相
应的二次函数、一元二次方程的联系. (4)会解一元二次不等式,对给定的一元二 次不等式,会设计求解的程序框图.

1.纵观近三年新课标区高考可以发现,由于新课 程标准对不等式的性质要求不高,高考也几乎没有单 独命题,作差法比较两实数大小也仅是解决问题的工 具,一般不单独命题,高考对本学案知识的考查往往 结合函数的性质,利用函数中的不等关系比较实数的 大小. 2.对于一元二次不等式,高考中常常以小题的形 式考查简单的一元二次不等式或可化为一元二次不等 式的分式不等式的解法,或已知二次函数零点的分布 以小题形式考查相应一元二次方程中未知参数的取值 范围,或以解答题形式出现单独考查含参数的一元二 次不等式的解法,也可能与函数相结合考查参数的取 值范围等.

1.实数大小的比较 (1)设a,b∈R,则 ①a>b? a-b>0 ②a=b ? a-b=0 ; ;

③a<b? a-b<0

.

2.不等式的性质 (1) a>? b a+c > b+c; ac>bc ; (2) a>b,c>0 ? ac<bc ; a>b,c<0 ?

3.一元二次不等式

(1)形如ax2+bx+c>0(a≥0)或ax2+bx+c<0(a≤0)
的不等式(其中a≠0)叫作一元二次不等式. (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一 元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集 合,叫作这个一元二次不等式的解集 2.一元二次不等式的解集

判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根

Δ>0

Δ=0

Δ<0

有两相异实 有两相等实根 根x2x2(x1<x2) x1=x2= ? b
2a

没有实根

ax2+bx+c>0(a>0) {x|x<x1或x>x2} 的解集 ax2+bx+c<0(a>0) 的解集

b { x|x≠ ? } 2a

R

{x|x1<x<x2}

?

?

考点1 不等式的概念与性质 对于实数a,b,c,“a>b”是“ac2>bc2”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【分析】本题利用不等式的性质及充要条件的判定直 接作出判断. 【解析】a>b / ac2>bc2,原因是c可能为0,而若

ac2>bc2,则可推出a>b. 故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件. 故应选B.

【评析】 (1)准确记忆各性质成立的条件, 是正确
应用性质的前提. (2)在不等关系的判断中,特殊值法也是非常有 效的方法.

“x>0”是“ 3 x 2 ? 0 ”成立的 A.充分非必要条件 C.非充分非必要条件

(

)

B.必要非充分条件 D.充要条件

【答案】A
【解析】因为当x>0时,一定有 3 x 2 ? 0 ,但当 3 x 2 ? 0 时, 3 x<0也成立,因此x>0是 . x 2成立的充分不必要条件 ?0 故应选A.

考点2 大小比较

(1)设x+y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)·(x+y)

的大小;
(2)已知a>0,b>0,且a≠b,试比较aabb与(ab) 的大小.
a?b 2

【分析】比较两数(或两式)的大小,一般用比较法,具

体用作差比较还是用作商比较应由数(或式)特点而定.
【解析】 (1)(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2] =-2xy(x-y). ∵x<y<0,∴x-y<0,-2xy<0, ∴-2xy(x-y)>0, ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

a (2)若a>b>0,则 >1,a-b>0. b a -b a 由指数函数的性质 ( ) 2 >1. a b 若b>a>0,则0< <1,a-b<0. b a -b a 由指数函数的性质 ( ) 2 >1. b aab b a b


(ab)

a?b 2

>1,

∴a

b ? (ab)

a?b 2 .

【评析】 (1)比较两个代数式的大小,可以根据它们的 差的符号进行判断,一方面注意题目本身提供的字母的取 值范围,另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化 为多个因式相乘,或通过配方转化为几个非负实数之和, 然后判断正负. (2)作商比较通常适用于两代数式同号的情形.

【解析】

考点3 一元二次不等式解法

解下列不等式:

(1)① -x2+2x- 2 >0; 3 ②8x-1≤16x2. (2)解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0.

(2)原不等式变为(ax-1)(x-1)<0,
当a=0时,不等式的解为x>1,
1 当a≠0时,不等式变为a(x- )(x-1)<0, a 1 若a<0,则(x- )(x-1)>0, a 1 1 ∴x< 或x>1.若a>0,则(x- )(x-1)<0, a a 1 ∴当a>1时,解为 <x<1; a

当a=1时,

; ?

当0<a<1时,解为1<x< 1 .
a

1 综上,当a<0时,不等式的解集为﹛ x|x< 或x>1 ﹜; a

当a=0时,不等式的解集为{x|x>1};
1 当0<a<1时,不等式的解集为﹛ x|1<x< ﹜; a

当a=1

; ?

1 当a>1时,不等式的解集为﹛ x︱ <x<1 ﹜. a

【评析】 解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨

论的层次,一般按下面次序进行讨论;首先根据二次项
系数的符号进行讨论;其次根据根是否存在,即Δ的符 号进行讨论;最后在根存在时,根据根的大小进行讨论.

解下列不等式:

(1)不等式2x2+4x+3>0的解集为________;
(2)不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集为________;

【解析】 (1)∵Δ=42-4〓2〓3<0,

∴方程2x2+4x+3=0没有实根,
二次函数y=2x2+4x+3的图象开口向上,与x轴没有交点, 2x2+4x+3>0恒成立,

∴不等式2x2+4x+3>0的解集为R.

(2)由12x2-ax-a2>0

(4x+a)(3x-a)>0

a ?? a? ? ? ? x ? ?? x ? ? ? 0 , 4 ?? a 3 ? ? a a a ①a>0时,< ,解集为{x|x<- 或x> };

4 3 4 3 ②a=0时,x2>0,解集为{x|x∈R且x≠0}; a a ③a<0时,- > , 4 3 a a 解集为{x|x< 或x>- }. 3 4

考点4

含参数的一元二次不等式恒成立问题

已知f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒 成立,求a的取值范围. 【分析】 可以从函数的角度进行考虑,转化为函数

求最值问题,也可以从方程的角度考虑,可转化为对方
程根的讨论.

【解析】解法一:f(x)=(x-a)2+2-a2, 此二次函数图象的对称轴为x=a. ①当a∈(-∞,-1)时,结合图象知,f(x)在[1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(-1)=2a+3,

要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,
即2a+3≥a,解得a≥-3,

又a<-1,
∴-3≤a<-1;

②当a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2,

由2-a2≥a,解得-2≤a≤1,
又a≥-1,∴-1≤a≤1.

综上所述,所求a的取值范围为-3≤a≤1.
解法二:由已知得x2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞)上恒成立,

即Δ=4a2-4(2-a)≤0 或

{

Δ> 0

a<-1
f(-1)≥0,

解得-3≤a≤1.

【评析】解不等式恒成立问题,通常借助于函数思想 或方程思想转化为求函数的最值或利用函数的图象或

判别式的方法求解.

当a ?_________ 时,不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解 集是全体实数. 【解析】①当a2-1=0,即a=〒1时,

若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立.
若a=-1,则原不等式为2x-1<0,
1 即x< ,不符合题目要求,舍去. 2

②当a2-1≠0,即a≠〒1时,原不等式的解集为R的条件是 a2-1<0

Δ=(a-1)2+4(a2-1)<0.
3 <a<1. 5 3 综上所述,当- <a≤1时,原不等式的解集为全体实数. 5

解之得-

考点5

一元二次不等式的实际应用

某种商品,现在定价p元,每月卖出n件,设定价上涨x成,每

月卖出数量减少y成,每月售货总金额变成现在的z倍.
(1)用x和y表示z; (2)设x与y满足y=kx(0<k<1),利用k表示当每月售货总金 额最大时x的值; (3)若y= 2 x,求使每月售货总金额有所增加的x值的范围.
3

【分析】用所给出的已知量表示出定价、卖出数 量、售货总金额,列出关系式,正确地将不等关系转

化成不等式问题来求解.

【解析】 (1)按现在的定价上涨x成时,上涨后的定价为
p(1+
y x )元,每月卖出数量为n(1- 10 10

)件 ,

每月售货总金额是npz元, 因而npz=p(1+ 所以z=
x y )· n(1- ), 10 10

(2)在y=kx的条件下,z= (10 ? x)(10 ? kx) ,整理可得
100
2 1 ? 25(1 ? k )2 ? 5(1 ? k ) ? ? ? ? z? ? ?100 ? ? k ?x ? ? ? 100 ? k k ? ? ? ? ?

(10 ? x)(10 ? y ) 100

.

5(1 ? k ) 由于0<k<1,所以 >0, k 5(1 ? k ) 所以使z值最大的x值是x= . k 2 (3)当y= x时, 3 2 (10 ? x)(10 ? x) z= , 3 100

要使每月售货总金额有所增加,即z>1, 应有(10+x)(10 ? 2 x)>100,即x(x-5)<0,
3

所以0<x<5,所以所求x的范围是(0,5).

【评析】 (1)实际应用问题是新课标下考查的重点,突出 了应用能力的考查,在不等式应用题中常以函数模型出现, 如一元二次不等式应用题常以二次函数为模型.解题时要 理清题意,准确找出其中不等关系再利用不等式解法求解. (2)不等式应用题一般可按如下四步进行:

①阅读理解、认真审题,把握问题中的关键量,找 准不等关系.
②引进数学符号,用不等式表示不等关系. ③解不等式. ④回归实际问题.

某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车车 速x km/h有如下关系:s=
1 1 2 x? x ,在一次交通事 20 180

故中,测得这种车的刹车距离大于39.5 m,那么这辆
汽车刹车前的车速至少为多少?(精确到0.01 km/h)

【解析】设这辆汽车刹车前的车速为x km/h,
根据题意,有
1 1 2 x? x >39.5, 20 180

移项整理,得x2+9x-7 110>0, 显然Δ>0,方程x2+9x-7 110=0有两个实数根, 即x1=-88.94,x2≈79.94. 所以不等式的解集为{x|x<-88.94或x>79.94}. 在这个实际问题中,x>0,所以这辆汽车刹车前的速度 至少为79.94 km/h.

考点6 三个“二次”的关系问题

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象过A(t1,y1),B(t2,y2) 两点,且满足a2+(y1+y2)a+y1y2=0. (1)证明:y1=-a或y2=-a; (2)证明:函数f(x)的图象必与x轴有两个交点; (3)若关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|x>m或 x<n,n<m<0},解关于x的不等式cx2-bx+a>0.

【分析】三个“二次”(二次函数、二次方程、二
次不等式)把初中数学与高中数学紧密地联系在一起, 因而也是高考命题的热点,解决三个“二次”问题的关

键在于数形结合思想的运算,也就是要利用图象来分析、
解决问题. (1)∵a2+(y1+y2)a+y1y2=0,

∴(a+y1)(a+y2)=0,得y1=-a或y2=-a.
(2)当a>0时,二次函数f(x)的图象开口向上,图象上的

点A,B的纵坐标至少有一个为-a且小于零,
∴图象与x轴有两个交点.

当a<0时,二次函数f(x)的图象开口向下,图象上的点A,B
的纵坐标至少有一个为-a且大于零, ∴图象与x轴有两个交点. 故二次函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点. (3)∵ax2+bx+c>0的解集为{x|x>m或x<n,n<m<0},
1 1 ,x2= ,则方程 n m

从而方程cx2+bx+a=0有两个根为x1=
cx2-bx+a=0的两个根为x1=-

1 1 ,x2=- . n m

∵n<m<0,∴- 1 <- 1 .
n
m

故不等式cx2-bx+a>0的解集为{x|x>-

1 1 或x<- }. m n

【评析】 (1)解一元二次不等式应熟记它的解的结构,

即当Δ>0,a>0时,ax2+bx+c>0
两根之间).

x>x2或x<x1(x2>x1)(即
x1<x<x2(即夹在

大于大根或小于小根);ax2+bx+c<0

(2)解不等式的逆向问题是我们的薄弱点,是命题的
亮点,是高考注重逆向思维考查的落脚点,因此我们应熟 练掌握由一元二次不等式解的结构逆向推出不等式满 足的条件的方法.

已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)> -2x的解集为(1,3).

(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.

(1)因为f(x)+2x>0的解集为(1,3),

所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0.
因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.① 由方程f(x)+6a=0,得 ax2-(2+4a)x+9a=0. 因为方程②有两个相等的根, ②

所以Δ=[-(2+4a)]2-4a· 9a=0,
即5a2-4a-1=0.解得a=1或a=由于a<0,舍去a=1.

1 . 5

1 1 6 3 2 将a=- 5 代入①得f(x)的解析式f(x)=- 5 x - 5 x- 5 .

(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a ( x - 1 + 2a ) 2 a a 2 + 4a + 1 及a<0,

a 2 + 4a + 1 可得f(x)的最大值为 . a 2 a + 4a + 1 >0, a 由 解得a<-2- 3 或-2+ 3 <a<0. a<0,

a

{

故当f(x)的最大值为正数时,实数a的取值范围 是(-∞,-2)∪(-2+ 3
3,0).

1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础. 2.“求差法”是比较两数大小的常用方法,其步骤是: “作差——变形——判断差的符号”,其中“变形” 是关键.变形的常用手段是分解因式、配方、通分、 分子或分母有理化等. 3.解一元二次不等式时,首先要将一元二次不等式化 成标准型,即ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的形式,其

中a>0.如解不等式6-x2>5x时首先化为x2+5x-6<0.

1.要注意不等式性质成立的条件.例如,重要结论:a >b,ab>0 ?1 < 1,不能弱化条件得a>b ?1 < 1 ,也 a b a b 1 1 不能强化条件得a>b>0 ? < .
a b

2.要正确处理带等号的情况.如由a>b,b≥c或a≥b,b> c均可得出a>c;而由a≥b,b≥c可能有a>c,也可能有a=c, 当且仅当a=b且b=c时,才会有a=c.

3.对于含有参数的不等式,在求解过程中,注意不要 忽视对其中的参数恰当的分类讨论,尤其是涉及形

式上看似一元二次不等式,而其中的二次项系数中
又含有参变量时,往往需要针对这个系数是否为0 进行分类讨论,并且如果对应的一元二次方程有两

个不等的实根且根的表达式中又含有参数时,还要
再次针对这两根的大小进行分类讨论.

名师伴你行


相关文档

更多相关文档

一元二次不等式的解法(1)学案
学案二绝对值不等式与一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法(学案)
一元二次不等式的解法学案(用)
一元二次不等式的解法学案
一元二次不等式的解法(学案 两课时)
§2 一元二次不等式的解法(学案)
学案2.doc 一元二次不等式的解法
【强力推荐】含参数的一元二次不等式的解法学案
一元二次不等式的解法学案肖艳波
电脑版