2011《金版新学案》高三数学一轮复习 7-5 圆的方程课件 (文) 全国.重庆专版


第五节

圆的方程

? 1.圆的标准方程 (a,b) ? (x-a)2+(y-b)2=r2,方程表示圆心为 ,半径为 的圆. r

? 2.圆的一般方程 ? 对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 ? (1)当D2+E2-4F>0时,表示圆心为 ,半径为 的圆 ? (2)当D2+E2-4F=0时,表示一个点 ? (3)当D2+E2-4F<0时,它不表示任何图 形.

? (1)圆的一般方程突出了圆的代数形式上的 特点,其特点是: ? ①x2,y2的系数相同且均为1(不为1的可化 为1); ? ②不含xy项. ? (2)求圆的一般方程需三个条件,以便确定 D、E、F三个变量.

? 确定圆的方程的方法: ? (1)确定圆的方程的主要方法是待定系数 法.如果选择标准方程,一般步骤为: ? ①根据题意,设所求圆的标准方程为(x- a)2+(y-b)2=r2; ? ②根据已知条件,建立关于a、b、r的方 程组; ? ③解方程组,并把它们代入所设的方程中, 整理后,就得到所求.

? 求圆的标准方程时,尽量利用圆的几何性 质,可以大大地减少计算量. ? (2)如果已知条件中圆心的位置不能确定, 可考虑选择圆的一般方程,圆的一般方程 也含有三个独立的参数,因此,必须具备 三个独立的条件,才能确定圆的一般方程, 其方法仍采用待定系数法.设所求圆的方 程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,由三个条 件得到D、E、F的一个三元一次方程组, 解方程组,求出参数D、E、F的值即可.

? 3.圆的参数方程

?
r

(θ为参数).其中
为圆心, 为半径.

(a,b)

? 1.(2009年重庆卷)圆心在y轴上,半径为1, 且过点(1,2)的圆的方程是 ( ) ? A.x2+(y-2)2=1 ? B.x2+(y-2)2=1 ? C.(x-1)2+(y-3)2=1 ? D.x2+(y-3)2=1

【解析】 设圆的圆心 C(0,b)则 (0-1)2+(2-b)2 =1, ∴b=2,∴圆的标准方程是 x2+(y-2)2=1.

【答案】 A

2.方程 x2+y2+4mx-2y+5m=0 表示圆的充要条件 是 1 A.4<m<1 1 C.m<4 1 B.m<4或 m>1 D.m>1 ( )

【解析】 由 D2+E2-4F=16m2+4-20m>0, 1 解得:m>1 或 m<4,故选 B.

【答案】 B

? 3.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在 直线x+y-2=0上的圆的方程是 ( ) ? A.(x-3)2+(y+1)2=4 ? B.(x+3)2+(y-1)2=4 ? C.(x-1)2+(y-1)2=4 ? D.(x+1)2+(y+1)2=4

? 【解析】 设圆心C的坐标为(a,b),半 径为r. ? ∵圆心C在直线x+y-2=0上,∴b=2-a. ? ∵|CA|2=|CB |2, ? ∴(a-1)2+(2-a+1)2=(a+1)2+(2-a- 1)2, ? ∴a=1,b=1.∴r=2,∴方程为(x-1)2+ (y-1)2=4. ? 【答案】 C

? 4.(2009年广东卷)以点(2,-1)为圆心且 与直线x+y=6相切的圆的方程是 ________.
【解析】 将直线 x+y=6 化为 x+y-6=0,圆的半

|2-1-6| 5 25 2 2 径 r= = , 所以圆的方程为(x-2) +(y+1) = . 2 2 1+1

【答案】

25 (x-2) +(y+1) = 2
2 2

? 5.圆心在y轴上,半径为5且过点A(3,- 4)的圆的方程为 ________________________.
【解析】 设圆心为(0,b),则 (0-3)2+(b+4)2=5, 即 b2+8b=0,则 b=0 或 b=-8. 故圆的方程为:x2+y2=25 或 x2+(y+8)2=25.

? 【答案】 x2+y2=25或x2+(y+8)2=25

? 根据下列条件求圆的方程: ? (1)经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在 直线2x+3y+1=0上; ? (2)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x +y-1=0相切于点P(3,-2); ? (3)过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2).

? 【思路点拨】 求圆的方程时,应根据条 件选用合适的圆的方程.(1)通过研究圆的 性质而求出圆的基本量;(2)设出圆的方程, 用待定系数法求解.

【解析】 (1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 由题意列出方程组 ?a2+b2=r2 ? ?(a-1)2+(b-1)2=r2 ?2a+3b+1=0 ? ?a=4 ? 解之得?b=-3 ?r2=25 ? ∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.



(2)解法 1:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, ?b=-4a ? ?(3-a)2+(-2-b)2=r2 则有? ?|a+b-1| =r ? 2 ? 解得 a=1,b=-4,r=2 2. ∴圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.

解法 2: 过切点且与 x+y-1=0 垂直的直线为 y+2=x -3,与 y=-4x 联立可求得圆心为(1,-4). ∴半径 r=2 2, ∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.

(3)解法 1: 设圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, ?1+144+D+12E+F=0, ? 则?49+100+7D+10E+F=0, ?81+4-9D+2E+F=0. ? 解得:D=-2,E=-4,F=-95. ∴所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y-95=0.

解法 2:由 A(1,12),B(7,10), 1 得 AB 的中点坐标为(4,11),kAB=-3, 则 AB 的中垂线方程为:3x-y-1=0. 同理得 AC 的中垂线方程为:x+y-3=0.
?3x-y-1=0 ? 联立? ?x+y-3=0 ? ?x=1 ? 得? ?y=2 ?



即圆心坐标为(1,2), 半径 r= (1-1)2+(2-12)2=10. ∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=100.

?

设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2= 4上运动,以OM、ON为两边作平行四边 形MONP,求点P的轨迹.

【解析】 如图所示,设 P(x,y),N(x0,y0),则线段 OP
?x y ? 的中点坐标为?2,2?,线段 ? ? ?x0-3 y0+4? ? ? . , ? 2 2 ? ? ?

MN 的中点坐标为

因为平行四边形的对角线互相平分, x x0-3 y y0+4 故2= 2 ,2= 2 ,
?x =x+3 ? 0 从而? ?y0=y-4 ?

.

又 N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4. 因此所求 P 点的轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2=4,但应
? 9 12? ? 21 28? 除去两点:?-5, 5 ?和?- 5 , 5 ?(点 ? ? ? ?

P 在 OM 所在的直线

上时的情况).

?

本题求轨迹方程的方法叫相关点 法.用相关点法求轨迹方程的基本步骤: ? (1)设所求点的坐标为P(x,y)(若x、y与题 中已知的字母有冲突,则将这些已知字母 全部替换成其他字母),与P相应的符合某 已知曲线的点的坐标设为Q(x0,y0); ? (2)建立二者之间的等量关系,从而求得x0 =f(x,y),y0=g(x,y); ? (3)将Q(x0,y0)的坐标代入点Q满足的方程 进行求解,等价化简得所求轨迹方程.

? 1.已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0), B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点. ? (1)求线段AP中点的轨迹方程; ? (2)若∠PBQ=90°,求PQ中点的轨迹方 程.

? 【解析】 (1)设AP中点为M(x,y),由中 点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y). ? ∵P点在圆x2+y2=4上, ? ∴(2x-2)2+(2y)2=4. ? 故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2= 1. ? (2)设PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中, |PN|=|BN|,设O为坐标原点,连结ON, 则ON⊥PQ, ? 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2 ? 所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.

已知点(x,y)在圆(x-2)2+(y+3)2=1 上. (1)求 x+y 的最大值和最小值; y (2)求x的最大值和最小值; (3)求 x2+y2+2x-4y+5的最大值和最小值.

【解析】 (1)设 t=x+y,则 y=-x+t,t 可视为直线 y=-x+t 的纵截距,所以 x+y 的最大值和最小值就是直 线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值,即直线 与圆相切时的纵截距. 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径,即 |2+(-3)-t| =1, 2 解之得 t= 2-1 或 t=- 2-1, 所以 x+y 的最大值为 2-1,最小值为- 2-1.

y y (2) 可视为点(x,y)与原点连线的斜率, 的最大值和 x x 最小值就是过原点的直线与该圆有公共点时斜率的最大值 和最小值,即直线与圆相切时的斜率. 设过原点的直线的方程为 y=kx, 由直线与圆相切得圆 |2k-(-3)| 心到直线的距离等于半径,即 2 =1, 1+k 2 3 2 3 解之得 k=-2+ 或 k=-2- , 3 3 y 2 3 2 3 所以x的最大值为-2+ 3 ,最小值为-2- 3 .

(3) x2+y2+2x-4y+5即为 [x-(-1)]2+(y-2)2, 可视为点(x,y)到定点(-1,2)的距离的最值,可转化为 圆心(2, -3)到定点(-1,2)的距离与半径的和或差. 又因为 圆心到定点(-1,2)的距离为 34, 所以 x2+y2+2x-4y+5的最大值为 34+1,最小值 为 34-1.

?

研究与圆有关的最值问题时, 可借助图形的性质,利用数形结合求解, 一般地, y-b
(1)形如 u= 型的最值问题,可转化为动直线的斜 x-a

率的最值问题; (2)形如 t=ax+by 型的最值问题,可转化为动直线的 截距的最值问题; (3)形如(x-a)2+(y-b)2 型的最值问题,可转化为动点 到定点的距离的最值问题.

? 2.已知△AOB中,|OB|=3,|OA|=4, |AB|=5,点P是△AOB内切圆上一点,求 以|PA|、|PB|、|PO|为直径的三个圆的面积 之和的最大值与最小值.

? 【解析】 如图建立直角坐标系,使A、 B、O三点的坐标分别为A(4,0)、B(0,3), O(0,0).设内切圆半径为r,则有2r+|AB| =|OA|+|OB|. ? 得r=1. ? 故内切圆的方程为 ? (x-1)2+(y-1)2=1, ? 化简为x2+y2-2x-2y+1=0. ? 又因为|PA|2+|PB|2+|PO|2

=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2 =3x2+3y2-8x-6y+25=3(x2+y2-2y)-8x+25 =-2x+22, 因为 x∈[0,2],故|PA|2+|PB|2+|PO|2 的最大值为 22,最小 值为 18. π 三个圆的面积之和为4(|PA|2+|PB|2+|PO|2), 11π 9π 因此所求面积之和的最大值为 2 ,最小值为 2 .

? 在内容上主要考查利用待定系数法确定圆 的标准方程及一般方程,利用三角换元或 数形结合求最值问题. ? 高考题型以选择题、解答题为主,主观题 形式不多,属容易、中低档题.

? 1.(2009年辽宁卷)已知圆C与直线x-y= 0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y =0上,则圆C的方程为( ) ? A.(x+1)2+(y-1)2=2 ? B.(x-1)2+(y+1)2=2 ? C.(x-1)2+(y-1)2=2 ? D.(x+1)2+(y+1)2=2

【解析】

由题意可设圆心坐标为(a,-a),则

|a+a| |a+a-4| = ,解得 a=1,故圆心坐标为(1,-1), 2 2 |1+1| 半径 r= = 2,所以圆的方程为(x-1)2+(y+1)2 2 =2.
【答案】 B

? 2.(2009年宁夏、海南卷)已知圆C1:(x+ 1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x- y-1=0对称,则圆C2的方程为 ( ) ? A.(x+2)2+(y-2)2=1 ? B.(x-2)2+(y+2)2=1 ? C.(x+2)2+(y+2)2=1 ? D.(x-2)2+(y-2)2=1

【解析】

圆心 C1(-1,1),设 C2(x,y)是点 C1 关于

?x-1 y+1 ? 2 - 2 -1=0. ? 直线 x-y-1=0 的对称点,则? ?y-1=-1. ?x+1 ? ∴x=2,y=-2. ∴圆 C2 的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.
【答案】 B


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