待定系数法求特殊数列的通项公式


待定系数法求特殊数列的通项公式
在高中数学教学中,经常碰到一些特殊数列求通项公式,而这些问题在高考和竞赛中也经常 出现,是一类广泛而复杂的问题,历届高考常以这类问题作为一道重大的试题。因此,在教学 中,针对这类问题,提供一些特殊数列求通项公式范例,帮助同学们全面掌握这类问题及求解 的一般方法。 求数列的通项公式,最为广泛的的办法是:把所给的递推关系变形,使之成为某个等差数 列或等比数列的形式,于是就可以由此推得所给数列的通项公式。求解的关健在于变形的技巧, 而变形的技巧主要在于引进待定系数。其基本原理是递推关系两边加上相同的数或相同性质的 量,构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量,使之成为等差或等比数列。具体的求 解过程详见示例。 第一类别:an=Aan-1+B 例 1 设 x 1 =2,且 x n =5x n?1 +7.求数列的通项公式 解:所给的递推公式可变形为
7 m 7 m 7 x n +m=5x n?1 +7+m=5(x n?1 + ? ),令 m= ? .则 m= 5 5 5 5 4

于是 x n +

7 7 7 =5(x n?1 + ),{ x n + }是等比数列,其首项为 4 4 4

7 15 7 15 x 1 + = ,公比为 q=5.于是 x n + = ·5 n ?1 4 4 4 4

所以 x n = 例2

15 7 ·5 n ?1 - 4 4

设 x1=1,且 xn=

3xn?1 (n=2,3,4,…) 2 xn?1 ? 5

求数列{xn}的通项公式 解:所给的递推公式可变为:
1 5 2 ? ? xn 3xn?1 3

2 3m 1 5 1 2 3m ,则 m=1 ?m? ( ? ? ) ,令 m= ? 5 5 xn 3 xn?1 5 5

于是

1 5 1 1 ?1 ? ( ? 1) 。{ ? 1 }是等比数列, xn 3 xn?1 xn
5 1 ? 1 =2,公比是 q= 3 x1

其首项是

于是

5 n-1 3 n ?1 1 ? 1 =2( ) 。所求的 xn= 3 xn 2 ? 5 n ?1 ? 3 n ?1

第二类别:an=Aan-1+Ban-2 例 3 设 x1=1,x2=5,xn=13xn-1-22xn-2,(n=3,4,…) 求数列{xn}的通项公式 解:所给的递推公式可变为 xn+mxn-1=(m+13)xn-1-22xn-2=(m+13) (xn-122 ,则 m=-2,或 m=-11 m ? 13 22 xn-2) m ? 13

令 m=-

于是 xn-2xn-1=11(xn-1-xn-2),xn-11xn-1=2(xn-1-xn-2) {xn-2xn-1} , {xn-11xn-1} 都是等比数列, 其首项与公比分别为 x2-2x1=3,q=11。 X2-11x1=-6,q=2。 于是 xn-2xn-1=3·11n-2,xn-11xn-1=-6·2n-2。 由此消去 xn-1 可得 xn=(11n-1+2n)/3 例 4:设 x1=1,x2=2。且 xn=7xn-1+18xn-2(n=3,4,…),求数列{xn}的通项公式 解:所给的递推公式可变为 xn+mxn-1=(m+7)xn-1+18xn-2=(m+7)(xn-1+
18 ,则 m=2,或 m=-9 m?7 18 xn-2) m?7

令 m=

xn+2xn-1=9(xn-1+2xn-2),xn-9xn-1=-2(xn-1-9xn-2) {xn+2xn-1}与{xn-9xn-1}都是等比数列,其首项与公比分别为 x2+2x1=4,q=9。X2-9x1=-7,

q=-2 xn+2xn-1=4·9n-2,xn-9xn-1=-7(-2)n-2 由此消去 xn-1 可得 xn=(4·9n-1+7·(-2)n-1)/11 第三类别:an=Aan-1+f(n) 例 5 设 x1=1,且 xn=3xn-1+5n+1(n=2,3,…)……(1),求数列{xn}的通项公式 解:x2=14,于是(1)把 n 改成 n-1 得 xn-1=3xn-2+5(n-1)+1 ………(2)

两式相减得 xn-xn-1=3(xn-1-xn-2)+5
5 m xn-xn-1+m=3(xn-1-xn-2)+5+m=3(xn-1-xn-2+ ? ) 3 3

5 m 5 5 5 令 m= ? ,则 m= 。于是 xn-xn-1+ =3(xn-1-xn-2+ ) 3 3 2 2 2
5 5 31 {xn-xn-1+ }是等比数列,其首项为 x2-x1+ = ,其公比 q=3。 2 2 2

5 31 于是 xn-xn-1+ = ·3n-2 2 2

………(3)

由(1)与(3)消去 xn-1 得 xn=(31·3n-1-10n-17)/4 例 6:设 x1=4,且 xn=5xn-1+7n-3(n=2,3,……)……(1) 求数列{xn}的通项公式 方法 1 解:x2=31, 于是(1)把 n 改成 n-1 得 xn-1=5xn-2+7(n-1)-3 ………(2)

两式相减得 xn-xn-1=5(xn-1-xn-2)+7 xn-xn-1+m=5(xn-1-xn-2)+7+m=5(xn-1-xn-2+
7?m ) 5

令 m=

7?m 7 7 7 ,则 m= 。xn-xn-1+ =5(xn-1-xn-2+ ) 4 4 4 5

7 7 115 {xn-xn-1+ }是等比数列,其首项为 x2-x1+ = , 4 4 4 7 115 其公比 q=5。于是 xn-xn-1+ = ·5n-2 4 4

……(3)

由(1)与(3)消去 xn-1 得

xn=

1 (23·5n-28n-23) 16 An ? B 7n ? 3 ? ) 5 5

方法 2:所给的递推公式可变为 xn+An+B=5(xn-1+

设 A(n-1)+B=

An ? B 7n ? 3 A?7 B?3 ? , 比较系数得 A= ,-A+B= 5 5 5 5

7 23 28n ? 23 28( n ? 1) ? 23 由此求得 A= ,B= 。于是 xn+ =5(xn-1+ ), 4 16 16 16

于是{xn+

28n ? 23 51 115 }是等比数列,其首项为 x1+ = ,其公比 q=5。 16 16 16 28n ? 23 115 = ·5n-1 16 16

于是 xn+

所以

xn=

1 (23·5n-28n-23) 16

例 7,设 x1=2,且 xn=3xn-1+2n2+1,求数列{xn}的通项公式 解:所给的递推公式可变为 xn+An2+Bn+C=3(xn-1+
An2 ? Bn ? C 2n 2 ? 1 ? ) 3 3 An2 ? Bn ? C 2n 2 ? 1 ? 3 3

设 A(n-1)2+B(n-1)+C=

比较系数得:A=

A?2 B C ?1 ,-2A+B= ,A-B+C= 。 3 3 3

7 由此求得 A=1,B=3,C= 。于是 2

xn+

2n 2 ? 6 n ? 7 2(n ? 1) 2 ? 6(n ? 1) ? 7 =3(xn-1+ ) 2 2

15 19 2n 2 ? 6 n ? 7 {xn+ }是等比数列,其首项为 x1+ = ,其公比 q=3。 2 2 2

于是 xn+

2n 2 ? 6n ? 7 19 = ·3n-1。 所以 2 2

1 xn= (19·3n-1-2n2-6n-7) 2

例 8:设 x1=1,且 xn=-xn-1+3·2n, (n=2,3,…)………(1),求数列{xn}的通项公式 解:x2=-x1+12=11。于是(1)把 n 改成 n-1 得 xn-1=-xn-2+3·2n-1,2xn-1=-2xn-2+3·2n ………………(2) (1) -(2)得 xn-2xn-1=-xn-1+2xn-2。即 xn=xn-1+2xn-2
2 2 xn-2)。 令 m= ,则 m=1,m=-2 m ?1 m ?1

xn+mxn-1=(m+1)(xn-1+

于是:xn+xn-1=2(xn-1+xn-2);xn-2xn-1=-(xn-1-2xn-2) {xn+xn-1}与{xn-2xn-1}都是等比数列,其首项与公比分别为首项 x2+x1=12,公比 q=2。 首项 x2-2x1=9,公比 q=-1。 于是 xn+xn-1=12·2n-2,xn-2xn-1=9(-1)n-2 , 由此消去 xn-1 得 xn=2n+1+3(-1)n

练习: 1 设 x1=5,且 xn=7xn-1+8n+3, (n=2,3,…)求数列{xn}的通项公式 答案 xn=(151·7n-1-24n-37)/18 2 设 x1=1,且 xn=2xn-1+3·7n-1, (n=2,3,…)求数列{xn}的通项公式 答案 xn=(3·7n-2n+3)/5 3 设 x1=1,且 xn=-3xn-1+5·2n, (n=2,3,…)求数列{xn}的通项公式 答案 xn=2n+1+(-1)n3n


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