大高考2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第4节双曲线及其性质模拟创新题理


【大高考】2017 版高考数学一轮总复习 第 9 章 平面解析几何 第 4 节 双曲线及其性质模拟创新题 理
一、选择题

x2 y2 1.(2016·山东青岛模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:x+ a b
2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( A. C. )

x

2

20

- =1 5
2 2

y

2

B. - =1 5 20 D. - =1 100 25
2 2

x

2

y

2

3x 3y - =1 25 100

x2

y2

b 1 x y 2 2 解析 由题意知: = ,c=5,所以 a =20,b =5,则双曲线的方程为 - =1,故选 a 2 20 5
A. 答案 A 2.(2015·河南开封模拟)已知 a>b>0 ,椭圆 C1 的方程为 2+ 2=1,双曲线 C2 的方程为 - 2=1,C1 与 C2 的离心率之积为 1 A. ,3 2 C. 6 ,2 4

x2 y2 a b

x2 a2

y2 b

3 , 则 C1 、 C2 的离心率分别为( 2 B. 2 6 , 2 2

)

1 D. ,2 3 4

解析 由题意知,

a2-b2 a2+b2 3 2 2 2 · = , 所以 a =2b , 则 C1、 C2 的离心率分别为 e1= , a a 2 2

e2=

6 ,故选 B. 2

答案 B 3.(2014·洛阳模拟)设点 P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与圆 x +y =a +b 在第一象限的 交点,F1,F2 分别是双曲线的左、右焦点,且|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率为( A. 5 C. 10
2 2

x2 y2 a b

2

2

2

2

)

B. D.

5 2 10 2

解析 令 c= a +b ,则 c 为双曲线的半焦距长.据题意,F1F2 是圆的直径, ∴|F1F2| =|PF1| +|PF2| .
1
2 2 2

∴(2c) =(3|PF2|) +|PF2| ,即 2c= 10|PF2|. 根据双曲线的定义有|PF1|-|PF2|=2a, ∴|PF1|-|PF2|=3|PF2|-|PF2|=2|PF2|=2a. 2c 10 10 ∴e= = ,∴双曲线的离心率为 . 2a 2 2 答案 D 二、填空题 4.(2016·四川成都模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 2x+3y= 0,则双曲线的离心率是________. 解析 由渐近线方程可设 a=3k, b=2k, (k>0), ∴c= 13k, 双曲线离心率为 e= = 答案 13 3

2

2

2

x2 y2 a b

c a

13 . 3

x2 y2 5.(2014·广州一模)已知双曲线 - =1 的右焦点为( 13,0),则该双曲线的渐近线方程 9 a
为______________. 解析 由题意得 c= 13,所以 9+a=c =13,所以 a=4.即双曲线方程为 - =1,所 9 4 以双曲线的渐近线为 2x±3y=0. 答案 2x±3y=0 创新导向题 双曲线定义应用问题
2

x2 y2

x2 y2 6.P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右支上的一点,F1,F2 分别是左、右焦点,则△PF1F2 a b
的内切圆圆心的横坐标为( A.a C. a +b
2 2

) B.b D.a+b- a +b
2 2

解析 如图所示,F1(-c,0),F2(c,0),设 x 轴与内切圆的切点是 H,PF1,PF2 与内切圆 的交点分别为 M,N,由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a,又|PM|=|PN|,故|MF1|-|NF2| =2a,则|HF1|-|HF2|=2a,设内切圆圆心的横坐标为 x,则点 H 的横坐标为 x ,故(x+

c)-(c-x)=2a,解得 x=a,故选 A.

2

答案 A 双曲线几何性质应用问题 7.线段 AB 是圆 C1: x +y +2x-6y=0 的一条直径, 离心率为 5的双曲线 C2 以 A, B 为焦点, 若 P 是圆 C1 与双曲线 C2 的一个公共点,则|PA|+|PB|=( A.2 2 C.4 3 1 解析 圆 C1 的半径 r= 4+36= 10, 2 ∵AB 是圆 C1 的直径,双曲线 C2 以 A,B 为焦点. ∴双曲线的焦距 2c=|AB|=2 10. 又 P 是圆与双曲线的一个公共点, ∴||PA|-|PB||=2a,|PA| +|PB| =40, ∴|PA| +|PB| -2|PA||PB|=4a , ∵c= 10,e= = 5, ∴a= 2,∴2|PA||PB|=32, ∴|PA| +|PB| +2|PA|·|PB|=(|PA|+|PB|) =72, ∴ |PA|+|PB|=6 2.故选 D. 答案 D 专项提升测试 模拟精选题 一、选择题 8.(2015·青岛一中月考)已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x - =1 有公共的焦 a b 4 点,C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三等 分,则( 13 2 A.a = 2 1 2 C.b = 2 ) B.a =13 D.b =2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.4 2 D.6 2

c a

x2 y2

2

y2

3

解析

由题意知,a =b +5,因此椭圆方程为(a -5)x +a y +5a -a =0,双曲线的一
2 2 2 4

2

2

2

2

2 2

2

4

条渐近线方程为 y=2x,联立方程消去 y,得(5a -5)x +5a -a =0,∴直线截椭圆的弦 长 d= 5×2 答案 C 二、填空题 9.(2016·豫晋冀三省调研)已知双曲线 C 的中心在原点, 且左、 右焦点分别为 F1、 F2, 以 F1F2 为底边作正三角形,若双曲线 C 与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点,则双曲线 C 的 离心率为________. 解析 设以 F1F2 为底边的正三角形与双曲线 C 的右支交于点 M,连接 MF1,则在 Rt△MF1F2 中,有|F1F2|=2c,|MF1|= 3c,|MF2|=c,由双曲线的定义知|MF1|-|MF2|=2a,即 3c -c=2a,所以双曲线 C 的离心率 e= = 答案 3+1
2

a4-5a2 2 11 1 2 2 = a,解得 a = ,b = . 2 5a -5 3 2 2

c a

2 3-1

= 3+1.

10.(2016·广东茂名模拟)已知抛物线 y =4x 与双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)有相同的焦点

x2 y2 a b

F,O 是坐标原点,点 A、B 是两曲线的交点,若(OA+OB)·AF=0,则双曲线的实轴长为
________. 解析 抛物线 y =4x 与双曲线 2- 2=1 有相同的焦点 F(1,0), → → → 由(OA+OB)·AF=0 知 AF⊥x 轴, 不妨设 A 点在第一象限,则 A 点坐标为(1,2). 设双曲线的左焦点为 F′,则|FF′|=2. 由勾股定理得|AF′|=2 2. 由双曲线定义知 2a=|AF′|-|AF|=2 2-2. 答案 2 2-2 11.(2016·湖南常德 3 月模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的左顶点为 M, 右焦点为 F, → → → → → 过 F 的直线 l 与双曲线交于 A,B 两点,且满足:MA+MB=2MF,MA·MB=0,则该双曲线 的离心率是________. 2b → → → → → 解析 因为MA+MB=2MF,所以 F 为 AB 的中点,所以 AB⊥x 轴,即|AB|= ,又MA·MB=
2 2

→ →



x2 y2 a b

x2 y2 a b

a

b2 b2 2 2 2 0,所以 MA⊥MB,所以|MF|= ,所以 a+c= ,即 c -ac-2a =0,所以 e -e-2=0. a a

4

解得 e=2. 答案 2 12.(2014·衡水模拟)设点 F1、F2 是双曲线 x - =1 的两个焦点,点 P 是双曲线上一点,若 3 3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2 的面积为________. 4 解析 据题意,|PF1|= |PF2|,且|PF1|-|PF2|=2,解得|PF1|=8,|PF2|=6. 3 又|F1F2|=4,在△PF1F2 中,由余弦定理得, |PF1| +|PF2| -|F1F2| 7 cos∠F1PF2= = . 2|PF1||PF2| 8 所以 sin∠F1PF2= 1-cos ∠F1PF2=
2 2 2 2 2

y2

15 , 8

1 15 所以 S△PF1F2= ×6×8× =3 15. 2 8 答案 3 15 三、解答题 13.(2016·重庆万州模拟)已知双曲线的中心在原点, 焦点 F1, F2 在坐标轴上, 离心率为 2, 且过点(4,- 10).点 M(3,m)在双曲线上. (1)求双曲线方程; → → (2)求证:MF1·MF2=0; (3)求△F1MF2 的面积. (1)解 ∵e= 2, ∴可设双曲线方程为 x -y =λ (λ ≠0). ∵双曲线过点(4,- 10),∴16-10=λ ,即 λ =6. ∴双曲线方程为 x -y =6. (2)证明 由(1)可知,在双曲线中 a=b= 6,∴c=2 3, ∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0). ∴kMF1= ,kMF2= , 3+2 3 3-2 3 又∵点 M(3,m)在双曲线上,∴9-m =6,m =3. ∴kMF1·kMF2= × =- =-1. 3 3+2 3 3-2 3 → → ∴MF1⊥MF2.∴MF1·MF2=0. (3)解 由(2)知 MF1⊥MF2,
2 2 2 2 2 2

m

m

m

m

m2

5

∴△MF1F2 为直角三角形. 又 F1(-2 3,0),F2(2 3,0),m=± 3,

M(3, 3)或(3,- 3),
由两点间距离公式得 |MF1|= (-2 3-3) +(0- 3) = 24+12 3, |MF2|= (2 3-3) +(0- 3) = 24-12 3,
2 2 2 2

S△F1MF2= |MF1||MF2|
1 = × 24+12 3· 24-12 3 2 1 = ×12=6.即△F1MF2 的面积为 6. 2 创新导向题 双曲线中的探索性问题 14.已知双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=-2x. (1)求双曲线 E 的离心率; (2)如图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点(A,B 分别在第一、四 象限),且△OAB 的面积恒为 8.试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲 线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由.

1 2

x2 y2 a b



(1)因为双曲线 E 的渐近线分别为

b y=2x,y=-2x,所以 =2, a c2-a2 所以 =2,故 c= 5a, a
从而双曲线 E 的离心率 e= = 5. (2)由(1)知,双曲线 E 的方程为 2- 设直线 l 与 x 轴相交于点 C. 当 l⊥x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a,
6

c a

x2 y2 =1. a 4a2

因为△OAB 的面积为 8, 1 1 所以 |OC|·|AB|=8,因此 a·4a=8,解得 a=2, 2 2 此时双曲线 E 的方程为 - =1. 4 16 若存在满足条件的双曲线 E,则 E 的方程只能为 - =1. 4 16 以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时,双曲线 E: - =1 也满足条件.设直线 l 的方程 4 16 为 y=kx+m,依题意,得 k>2 或 k<-2,

x2

y2

x2

y2

x2

y2

? ? 则 C?- ,0?,记 A(x1,y1),B(x2,y2).
m ? k

?

由?

? y ? kx ? m, 2m 得 y1= , 2 -k ? y ? 2x

2m 同理得 y2= . 2+k 1 由 S△OAB= |OC|·|y1-y2|,得 2 2m ? 1? m? ? 2m - ?·? - ? ?=8, 2? k? ?2-k 2+k? 即 m =4|4-k |=4(k -4).
2 2 2

? y ? kx ? m, ? 2 2 2 由 ? x2 y 2 得(4-k )x -2kmx-m -16=0. ? 1, ? ? ? 4 16
因为 4-k <0, 所以 Δ =4k m +4(4-k )(m +16)=-16(4k -m -16), 因为 m =4(k -4),所以Δ =0, 即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点. 因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 - =1. 4 16
2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2

y2

7


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