金堂中学高2015届数学周练9


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一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.复数 z ? (a ? 2i)i(a ? R, i 为虚数单位)在复平面内对应的点为 M,则“a=-1”是“点 M 在第四象限” 的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 执行如图所示的程序框图,若输出的 b 的值为 31,则图中判断框内① 处应填 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 设 x ? Z ,集合 M 是偶数集,集合 N 是奇数集. 若命题 p:任意 x ? M , 都有

x ? N .则“ ? p ”是 2





x ?N 2 x C.存在 x0 ? M ,都有 0 ? N 2
A.任意 x ? M ,都有 4.

x ?N 2 x D.存在 x0 ? M ,都有 0 ? N 2
B.任意 x ? M ,都有

一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图为等腰直角三角形,侧视图与俯视图为正方形, 则该几何体的体积和表面积分别为 ( ) A. 64, 48 ? 16 2 C. 32,32 ? 16 2 B. 32, 48 ? 16 2 D. 64,32 ? 16 2
?

5.

数列 ?an ? 中,已知对任意 n ? N , a1 ? a2 ?
2 2 则 a1 ? a2 ? 2 ? an ?

? an ? 3n ?1,

( B.



9n ? 2 9n ? 2 D. 2 2 ? ? ? 6. 若将函数 y ? tan(? x ? )(? ? 0) 的图像向右平移 个单位长度后, 与函数 y ? tan(? x ? ) 的图像 6 6 4
A. C. 重合,则 ? 的最小值为 ( )

9n ? 1 2

9n ? 1 2

1 1 1 B. C. D. 2 3 4 3 2 7.若关于 x 的不等式 x ? 3x ? 9 x ? 2 ? m 对任意 x ?? ?2, 2? 恒成立,则 m 的取值范围
A. ? ??,7? B. ? ??, 20? C. ? ??,0? D. ??12,7? 8. 程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是 A.2 C. ?3

1 A. 6

(

)

1 3 1 D. ? 2
B.

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9. 设函数 f ( x ) ?

2x ( x ? R ) ,区间 M ? [ a, b](a ? b) ,集合 N ? { y | y ? f ( x), x ? M } ,则使 M ? N 成 1? | x |
) B.2 个 C.3 个 D.无数多个

立的实数对 ? a, b ? 有( A.1 个

10. 如图所示,P 为 ?AOB 所在平面上一点,且 P 在线段 AB 的垂直平分线上, 若 OA ? 3, OB ? 2, 则 OP ? (OA ? OB) 的值为 A.5 B.3 C. ( )

5 2

D.

3 2

二、填空题(本大题有 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知命题 p : ?x ? R, x2 ? 2ax ? a ? 0, 若命题 p 为假命题,则实数 a 的取值范围是_____. 12. 已知函数 f ( x) ? x3 ? mx2 ? (m ? 6) x ? 1 既存在极大值又存在极小值, 则实数 m 的取值范围_______.

?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 13. 已知 O 为坐标原点, A( 2 , 1) , P ( x , y ) 满足 ? 3 x ? 5 y ? 25 , ? x ?1? 0 ?
则 OP ? cos ?AOP 的最大值等于 . π 4 π α+ ?= ,则 sin?2α+ ?的值为________. 14. 设 α 为锐角,若 cos? 12? ? 6? 5 ? 15. 若函数 y ? f ( x) 对定义域 D 的每一个 x1 , 都存在唯一的 x2 ? D, 使 f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 成立,则称 f ( x ) 为自倒函数. ① f ( x) ? sin x ? 2 ? x ? ??

? ?

? ? ? ?? , ? 是自倒函数;②自倒函数 f ( x) 的值域可以是 R. ? 2 2? ??

③自倒函数 f ( x ) 可以是奇函数 ④若 y ? f ( x) , y ? g ( x) 都是自倒函数,且定义域相同,则 y ? f ( x) g ( x) 是自倒函数. 上述命题正确的是__________.

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三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分.其中 16-19 每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分). 16.已知 f ( x) ? 6cos2 x ? 3sin 2x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最大值及最小正周期; (Ⅱ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是内角 A, B, C 的对边,锐角 A 满足 f ( A) ? 3 ? 2 3, B ? 求

?
12

,

a 2 ? b2 ? c2 . ab

17. 若数列 ? An ? 满足 An?1 ? An 2 ,则称数列 ? An ? 为“平方递推数列”.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 9 ,点 (Ⅰ)证明数列 ?an ?1 ? 是“平方递推数列”,且数列 ?lg(an ?1)? 为等比数列; (Ⅱ)设(Ⅰ)中“平方递推数列”的前 n 项积为 Tn ,即 Tn ? (a1 ? 1)(a2 ? 1) (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,记 bn ? 最小值.

(an , an?1 ) 在函数 f ( x) ? x2 ? 2x 的图象上,其中 n 为正整数.

(an ? 1) ,求 lg Tn ;

lg Tn ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ,并求使 Sn ? 4026 的 n 的 lg(an ? 1)

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18. 根据省社科院发布的 2013 年度 “四川城市居民幸福排行榜” , 成都成为 2013 年度的四川最 “幸福城” . 随后成都某中学学生会组织部分同学,用“10 分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查 人群中随机抽取 16 名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎, 小数点后的一位数为叶). (Ⅰ)指出这组数据的众数和中位数 (Ⅱ)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福”,求从这 16 人中随机选取 3 人,至 多有 1 人是“极幸福”的概率; (Ⅲ)(理) 以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)人选 3 人, 记 ? 表示抽到“极幸福”的人数,求 ? 的分布列及数学期望.

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19. (理)已知多面体 ABCDE 中, AB ? 面 ACD , DE ? 面 ACD , AC ? AD ? CD ? DE ? 2, AB ? 1, F 为 CE 的中点. (Ⅰ)求证: AF ? CD (Ⅱ)求直线 AC 与平面 CBE 所成角的余弦值 (文)四面体 ABCD 及其三视图如图所示,平行于棱 AD, BC 的平面分别交四面体的棱

AB, BD, DC, CA 于点 E , F , G, H .
(1)求四面体 ABCD 的体积; (2)证明:四边形 EFGH 是矩形.

A 1 H E D B F G C 2 2

 主视图

左视图

俯视图

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20.某种汽车购买时费用为 14.4 万元,每年应交付保险费、养路费及汽油费共 0.9 万元,汽车的维修费 为:第一年 0.2 万元,第二年 0.4 万元,第三年 0.6 万元,??,依等差数列逐年递增. (1)设使用 n 年该车的总费用(包括购车费用)为 f(n),试写出 f(n)的表达式; (2)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)

21. 设函数

f ( x) ? ln x ?

m ,m? R. x

(1)当 m ? e ( e 为自然对数的底数)时,求 (2)讨论函数 g ( x) ?

f ( x) 的最小值;

x f '( x) ? 零点的个数; 3 ? 0, f (b) ? f (a) ? 1 恒成立,求 m 的取值范围. b?a

(3)(理)若对任意 b ? a

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1.A.2. 选 B 3. 选 C. 4.选 B.有题意几何体是一个放倒的三棱柱,底面是直角边为 4 的等腰直角三角形,高为 4,故几何体体积 为?

1 ?1 ? ? 4 ? 4 ? ? 4 ? 32, 表面积为 S底 ? S侧 =2 ? ? 42 +2 ? 42 +4 2 ? 4=48+16 2 2 ?2 ?
①-② 得 an ? (3n ?1) ? (3n?1 ?1) ? 2 ? 3n?1 (n ? 2) 又 a1 ? 31 ?1 ? 2 符 合 an ? 2 ? 3n?1 ??an ? 为 等 比数
2 列 , 首 项 a1 ? 2 , 公 比 为 q ? 3 , 则 ? an 为 等 比 数 列 , 首 项 a12 ? 4 , 公 比 为 q 2 ? 9 , 故

5. 选 A. 解析: a1 ? a2 ?

? an ? 3n ?1 ①当 n ? 2, a1 ? a2 ?

? an-1 ? 3n-1 ?1 ②,

? ?

a12 ? a22 ?

? an2 ?

? 个单位长度得 y ? tan ?? ( x ? ? ) ? ? ? ? 6 4 6 4? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? tan ? ? x ? ? ? ? 与函数 y ? tan(? x ? ) 的图像重合,则 ? ? ? ? k? ?? ? ? 6k 6 4 6 6 2 4 6 ? ? 1 ? ? 0 ??min ? 2 3 7.选 B.令 f ( x) ? x ? 3x2 ? 9x ? 2 ? ,则 f ' ( x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 0 ? x1 ? ?1, x2 ? 3,3 ???2,2? 舍,
6. 选 B. y ? tan(? x ?

4(1 ? 9n ) 9 ? 1 ? 2 1? 9
n

?

)(? ? 0) 的图像向右平移

' ' 所以当 ?2 ? x ? ?1 时, f ( x) ? 0, f ( x) 递增;当 ?1 ? x ? 2 时, f ( x) ? 0, f ( x) 递减,

所以 f ( x)min ? f (2) ? ?20 ,故 m ? ?20 8:D. 9. C【答案】分析:由题设知对于集合 N 中的函数 f(x)的定义域为[a,b],对应的 f(x)的值域为 N=M=[a,b].由
函数 ,知 f(x)是增函数.故 N= 个数. 解答:解:∵x∈M,M=[a,b], 则对于集合 N 中的函数 f(x)的定义域为[a,b], 对应的 f(x)的值域为 N=M=[a,b]. ,由此能导出使 M=N 成立的实数对(a,b)的

又∵ , 故当 x∈(-∞,+∞)时,函数 f(x)是增函数. 故 N= 由 N=M=[a,b]得 ,







10. 答案:C.解析:设 M 是 AB 中点,则 OM ?

OA ? OB OA ? OB , MP ? OP ? OM ? OP ? , 2 2 OA ? OB 又 BA ? OA ? OB 且 MP ? BA ? 0 ? MP ? BA ? (OP ? ) ? (OA ? OB) ? 0 , 2
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? OP ? (OA ? OB) ?
二、填空题: 11. (0,1)

2 2 OA ? OB 1 1 5 (OA ? OB) ? (OA ? OB ) ? (32 ? 22 ) ? 2 2 2 2

f ( x) ? x3 ? mx2 ? (m ? 6) x ? 1 既 存 在 极 大 值 又 存 在 极 小 值 ? f ' ( x) ? 3x2 ? 2mx ? m ? 6 ? 0 有两个不等的实根,故 ? ? 4m2 ?12(m ? 6) ? 0 ? m ? ?3 或 m ? 6 .
12. 答 案 : m ? ?3 或 m ? 6 . 解析: 13. 答案:

12 5 . 5

14.

17 2 . 50

π? 4 ? π? 3 ? π? 24 ? π? 7 因为 α 为锐角,cos? ?α+6?=5,所以 sin?α+6?=5,sin 2?α+6?=25,cos 2?α+6?=25,

π π 24 π 2 7 2 17 2 2α+ ?=sin?2?α+6?- ?= × - × = 所以 sin? . 12? ? 4? 25 2 25 2 ? ? ? 50 15.答案:①③. 解析:在①中,

? ? ? ?? ? ? ? ?? f ( x) ? sin x ? 2 ? x ? ?? , ? ?,?任取 x1 ? ? ? , ? ? 2 2? ? 2 2 ?? ? 有 sin x1 ? ? ?1,1?? f ( x1 ) ? sin x1 ? 2 ? ? 2 ? 1, 2 ? 1? ,由 f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 得 ? ? 1 1 1 1 既 sin x2 ? 2 ? ? sin x2 ? ? 2 f ( x2 ) ? ? sin x1 ? 2 sin x1 ? 2 f ( x1 ) sin x1 ? 2 1 ? ? ?? ? sin x1 ? 2 ? ? 上存在 x2 满足上 ? , ? 2 ? 1, 2 ? 1? ??1 ? sin x2 ? sin x ? 2 ? 2 ? 1 ? 在 ? ? 2 2? ? 1 述条件,故①正确。在②中,因为 f ( x ) 的值域是 R,所以 f ( x1 ) 的值域是 R,则当 f ( x1 ) =0 时,不 1 存在 x2 使 f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 成立,故②错误 . 在③中 , 当 f ( x ) 是奇函数时,不妨设 f ( x ) ? , 其中 x 1 x ?? ??, 0? ? 0, ??? , 则 任 取 x1 ? ? ??,0? ? 0, ??? , 有 f ( x1 ) ? ? ? ??, 0 ? ? 0, ?? ? , 由 x1 1 1 1 1 1 f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 ? ? ? 1 得 x2 ? , ? ? ??,0 ? ? 0, ?? ? ,? x2 ? ? ? ??,0 ? ? 0, ?? ? x1 x1 x2 x1 x1 故 f ( x ) 是定义域上的自倒函数,③正确。在④中,当 y ? f ( x) , y ? g ( x) 都是自倒函数,且定义 1 域相同时,y ? f ( x) g ( x) 不一定是自倒函数.例如 f ( x ) ? g ( x ) ? , 其中 x ? ? ??,0? ? 0, ??? , 则 x 1 1 1 f ( x) ? ? x2 ? 7 x y ? f ( x) g ( x) ? ? ? 2 不是自倒函数,原因是 x x x 1 1 1 1 ? f ( x1 ) g ( x1 )?? f ( x2 ) g ( x2 )? ? 2 ? 2 ? 1 , ? x22 ? 2 ? x2 ? ? 不唯一,故④错误. x1 x2 x1 x1
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三、解答题.

16..解: (Ⅰ) f ( x) ? 6 cos x ? 3 sin 2 x ? 6 ?
2

2 3 cos(2 x ? ) ? 3 ,故 f ( x) 的最大值为 2 3 ? 3 ,最小正周期 T ? ? ; 6
(Ⅱ) f ( A) ? 2 3 cos(2 A ?

?

1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3 2

) ? 3 ? 3 ? 2 3 ? cos(2 A ? ) ? ?1, 6 6 ? ? ? ? 7? ? 5? , 0 ? A ? ? ? 2A ? ? , ?2A ? ? ? ? A ? ,又 B ? 12 2 6 6 6 6 12

?

?

?C ?
2

?

2 a ? b 2 ? c 2 2c 2 2sin 2 C 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ?8 ab ab sin A sin B sin( ? ? B)sin B cos B sin B 1 sin 2 B 2 2

? a 2 ? b2 ? c 2

17.

18. 解: (Ⅰ)众数:8.6;中位数:8.75 (Ⅱ)设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人是“极幸福”,至多有 1 人是“极幸福”记为事件 A, 则 P( A) ? P( A0 ) ? P( A1 ) ?
3 1 2 C12 C4 C12 121 ? ? 3 3 C16 C16 140

(Ⅲ)法一: ? 的可能取值为 0,1,2,3

3 27 P(? ? 0) ? ( )3 ? ; 4 64 1 1 3 9 2 ?1? P (? ? 3) ? ( )3 ? P(? ? 2) ? C3 ?? ? ? ? 4 64 ? 4 ? 4 64
2

1 3 27 1 P(? ? 1) ? C3 ? ? ( )2 ? ; 4 4 64

?

0

1

2

3
9

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则 ? 的分布列:

P

27 64

27 64

9 64

1 64

27 27 9 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 0.75 64 64 64 64 1 1 k 3 3? k 1 3 k 法二: ? 的可能取值为 0,1,2,3 则 ? B (3, ) 所以 P(? ? k ) ? C3 ? ( ) ? ( ) , E? ? 3 ? ? 4 4 4 4 4
所以 E? ? 0 ? 19. 解: (Ⅰ)取 CD 的中点,连接 AG, GF ,则 GF

DE.

DE ? 平面 ACD, AC ? AD,? AG ? CD ? DE ? CD, ? GF ? CD. AG GF ? G,?CD ? 平面 AGF . AF ? 平面 AGF ? CD ? AF (Ⅱ)分别以 GD, GF , GA 为 x, y , z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 G ? xyz .
则 A(0,0, 3), B(0,1, 3), C(?1,0,0), E(1, 2,0), ?CB ? (1,1, 3), CE ? (2,2,0), CA ? (1,0, 3) . 设平面 CBE 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 则?

? ?n ? CB ? x ? y ? 3z ? 0 ? ?n ? CE ? 2 x ? 2 y ? 0

设 x ? 1 ,则 n ? (1, ?1,0) ? cos ? CA, n ??

CA ? n CA n 2 4
14 4

?

2 4

设直线 AC 与平面 CBE 所成角为 ? , 则 sin ? ? cos ? CA, n ??

CA ? n CA n

?

? 2? 14 ? cos? ? 1 ? ? ? ? ? 4 ? 4 ? ?

2

所以直线 AC 与平面 CBE 所成角的余弦值为

(1)由该四面体的三视图可知:

BD ? DC, BD ? AD, AD ? DC , BD ? DC ? 2, AD ? 1
? AD ? 平面 BDC

? 四面体体积 V ?

1 1 1 2 AD ? S ?BCD ? ? 1? ? 2 ? 2 ? 3 3 2 3
平面 ABC ? EH

(2)因为 BC ∥平面 EFGH , 平面 EFGH 平面 BDC ? FG ,平面 EFGH

? BC ∥ FG , BC ∥ EH ,
同理 EF ∥ AD , HG ∥ AD ,

? FG ∥ EH .
? EF ∥ HG .

? 四边形 EFGH 是平行四边形
又因为 AD ? 平面 BDC

? AD ? BC
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BC ∥ FG , EF ∥ AD ? EF ? FG

? 四边形 EFGH 是矩形
20. (1)f(n)=14.4+(0.2+0.4+0.6+?+0.2n)+0.9n

? 14.4 ?

0.2n(n ? 1) ? 0.9n ? 0.1n 2 ? n ? 14.4 2

(2)设该车的年平均费用为 S 万元,则有

1 1 n 14.4 f (n) ? (0.1n 2 ? n ? 14.4) ? ? ? 1 ? 2 1.44 ? 1 ? 3.4 n n 10 n n 14 .4 ? 仅当 ,即 n=12 时,等号成立. 10 n S? e x

21(1)由题设,当 m ? e 时, f ( x) ? ln x ? 易得函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??)

? f ?( x) ?

1 e x?e ? ? 2 x x2 x

? 当 x ? (0, e) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0, e) 上单调递减;
当 x ? (e, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 在 (e, ??) 上单调递增;

e ? 当 x ? e 时, f ( x) 取得极小值 f (e) ? ln e ? ? 2 e

? f ( x) 的极小值为 2
(2) 函数 g ( x) ? f ?( x) ?

x 1 m x ? ? ? ( x ? 0) 3 x x2 3

令 g ( x) ? 0 ,得 m ? ? 设 ? ( x) ? ?

1 3 x ? x( x ? 0) 3

1 3 x ? x( x ? 0) 3

???( x) ? ? x2 ? 1 ? ?( x ?1)( x ? 1)
当 x ? (0,1) 时, ? ?( x) ? 0 ,此时 ? ( x) 在 (0,1) 上单调递增; 当 x ? (1, ??) 时, ? ?( x) ? 0 ,此时 ? ( x) 在 (1, ??) 上单调递减; 所以 x ? 1 是 ? ( x) 的唯一极值点,且是极大值点,因此 x=1 也是 ? ( x) 的最大值点,

1 2 ? ? ( x) 的最大值为 ? (1) ? ? ? 1 ? 3 3
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又 ? (0) ? 0 ,结合 y= ? ( x) 的图像(如图) ,可知 ① 当m ? ②当 m ?

2 时,函数 g ( x) 无零点; 3

2 时,函数 g ( x) 有且仅有一个零点; 3 2 ③当 0 ? m ? 时,函数 g ( x) 有两个零点; 3
④ m ? 0 时,函数 g ( x) 有且只有一个零点; 综上所述,当 m ?

2 2 时,函数 g ( x) 无零点;当 m ? 或 m ? 0 时,函数 g ( x) 有且仅有一个零点;当 3 3

2 时,函数 g ( x) 有两个零点. 3 f (b) ? f (a) ? 1 恒成立 (3)对任意 b ? a ? 0, b?a 0?m?
等价于 f (b) ? b ? f (a) ? a 恒成立 设 h( x) ? f ( x) ? x ? ln x ?

m ? x( x ? 0) x

?等价于h( x) 在 (0, ??) 上单调递减
? h?( x) ? 1 m ? ? 1 ? 0 在 (0, ??) 恒成立 x x2 1 1 ? m ? ? x 2 ? x ? ?( x ? ) 2 ? ( x ? 0) 恒成立 2 4 1 1 1 ? x) ( =0 仅在 x ? 时成立) ? m ? (对 m ? , h , 4 2 4 ?m 的取值范围是 [ 1 , ??) 4

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