【解析版】江苏省南京师大附属实验学校2012-2013学年高二下学期期中考试数学文试题


2012-2013 学年江苏省南京师大附属实 验学校高二(下)期中数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、填空题:本大题共 17 小题,每小题 5 分,共计 85 分.请把答案填写在答题卡相应位 置上. 1. (5 分)已知集合 A={1,2,3},B={1,2,5},则 A∩B= {1,2} . 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 利用交集的定义找出 A,B 的所有的公共元素组成的集合即为 A∩B. 解答: 解:∵集合 A={1,2,3},B={1,2,5}, ∴A∩B={1,2} 故答案为:{1,2}. 点评: 本题主要考查两个集合的交集的定义和求法,属于基础题. 2. (5 分)复数(2+i)i 在复平面上对应的点在第 二 象限. 考点: 复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是复数的几何意义,处理的方法是,先将复数(2+i)i 化为代数形 式即 a+bi 的形式后,再判断 a,b 的符号,进行判断. 解答: 解:∵(2+i)i=﹣1+2i 又∵﹣1<0,2>0 故复数(2+i)i 在复平面上对应的点在第二象限 故答案为:二 点评: 要判断复数对应的点在第几象限,要先将复数化为代数形式,即 a+bi 的形式后,再判 断 a,b 的符号,进行判断.

3. (5 分)如图,给出一个算法的伪代码,则 f(﹣3)+f(2)= ﹣8 . 考点: 伪代码.
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专题: 常规题型. 分析: 首先根据伪代码翻译为数学函数式, 然后将﹣3, 2 分别代入函数表达式进行求解即可. 解答: 解:根据题意: 如果 x≤0,则执行 f(x)=4x x 如果 x>0,则执行 f(x)=2 当 x=﹣3 时,f(﹣3)=4×(﹣3)=﹣12 当 x=2 时,f(2)=2 =4 ∴f(﹣3)+f(2)=﹣8 故答案为:﹣8 点评: 本题考查伪代码,需要将伪代码翻译为数学函数表达式再代入求解,属于基础题. 4. (5 分) (2013?南通二模)某篮球运动员在 7 天中进行投篮训练的时间(单位:分钟)用 茎叶图表示(如图) ,图中左列表示训练时间的十位数,右列表示训练时间的个位数,则该 运动员这 7 天的平均训练时间为 72 分钟.
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考点: 茎叶图;众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: 先由茎叶图写出所有的数据,求出所有数据和,再利用和除以数据的个数,得到该运 动员的平均训练时间. 解答: 解:有茎叶图知,天中进行投篮训练的时间的数据为 64,65,67,72,75,80,81; ∴该运动员的平均训练时间为: =72.

故答案为:72. 点评: 解决茎叶图问题,关键是能由茎叶图得到各个数据,再利用公式求出所求的值. 5. (5 分)根据如图所示的伪代码,最后输出的 S 的值为 35 .

考点: 伪代码. 专题: 图表型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用 是累加并输出满足条件 S=1+4+7+10+13 时,S 的值.
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解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是累加并输出满足条件 S=1+4+7+10+13 值. ∵S=1+4+7+10+13=35, 故输出的 S 值为 35. 故答案为:35. 点评: 本题考查的知识点是伪代码,其中根据已知分析出循环的循环变量的初值,终值及步 长,是解答的关键. 6. (5 分) (2013?盐城二模)现有在外观上没有区别的 5 件产品,其中 3 件合格,2 件不合 格,从中任意抽检 2 件,则一件合格,另一件不合格的概率为 .

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 分别求出基本事件的总数和要求事件包含的基本事件的个数, 根据古典概型的概率计 算公式即可得出. 解答: 解:从 5 件产品中任意抽取 2 有 =10 种抽法,其中一件合格、另一件不合格的抽法 有 =6 种. .

根据古典概型的概率计算公式可得一件合格,另一件不合格的概率 P= 故答案为 . 点评: 熟练掌握古典概型的概率计算公式和排列与组合的计算公式是解题的关键.

7. (5 分)某单位有职工 52 人,现将所有职工按 l、2、3、…、52 随机编号,若采用系统抽 样的方法抽取一个容量为 4 的样本,已知 6 号、32 号、45 号职工在样本中,则样本中还有 一个职工的编号是 19 号 . 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则,构造一个等差数列,将四个职工的 号码从小到大成等差数列,建立等式关系,解之即可. 解答: 解:设样本中还有一个职工的编号是 x 号, 则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列:6 号、x 号、32 号、45 号,它们 构成等差数列, ∴6+45=x+32, x=6+45﹣32=19 因此,另一学生编号为 19. 故答案为:19 号. 点评: 系统抽样过程中,每个个体被抽取的可能性是相等的,系统抽样的原则是等距,抓住 这一原则构造等差数列,是我们常用的方法.
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8. (5 分)如图,某人向半径为 1 圆内投镖,如果他每次都投中圆内,那么他投中正方形区 域的概率为 . (结果用分数表示)

考点: 几何概型. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要找出正方形区域对应图形的面积,及 整个事件的点对应的图形的面积,然后再结合几何概型的计算公式进行求解. 解答: 解:如图所示,设圆的半径 R=1, ∴圆的面积为 π 且圆内接正方形的对角线长为 2R=2, ∴圆内接正方形的边长为 ∴圆内接正方形的面积为 2 则投中正方形区域的概率为 P= 故答案为: .

点评: 本题考查的知识点是几何概型的意义,简单地说,如果每个事件发生的概率只与构成 该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简 称为几何概型. 9. (5 分) (2013?徐州一模)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人,并根 据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图, 现要从这 10000 人中再用分层抽样的方法抽 出 100 人作进一步调查,则月收入在[2500,3000) (元)内应抽出 25 人.

考点: 用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图. 专题: 图表型. 分析: 直方图中小矩形的面积表示频率,先计算出[2500,3000)内的频率,再计算所需抽 取人数即可.
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解答: 解:由直方图可得[2500,3000) (元)月收入段共有 10000×0.0005×500=2500 人 按分层抽样应抽出 2500× =25 人.

故答案为:25. 点评: 本题考查频率分布直方图与分层抽样的规则, 解题的关键是从直方图中求得相应收入 段的频率,再根据分层抽样的规则计算出样本中本收入段应抽的人数. 10. (5 分)根据如图所示的算法,则输出的结果为 16 .

考点: 循环结构. 专题: 图表型. 分析: 当 a=1,=1,满足条件 a<4,执行循环体,依此类推,直到不满足条件 a<4,退出循 环体,从而求出最后的 b 值即为所求. 解答: 解:由图知,起始数据为 a=1,b=1 第一次执行循环体后 b=2,a=2,满足条件 a<4, 第二次执行循环体 b=4,a=3,满足条件 a<4, 第三次执行循环体 b=16,a=4,不满足条件 a<4,退出循环体; 运行后输出的结果为 b=16. 故答案为:16.

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点评: 本题主要考查了直到型循环结构, 根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题 型,处理的步骤一般为:分析流程图,从流程图中即要分析出计算的类型,又要分析 出参与计算的数据建立数学模型, 根据第一步分析的结果, 选择恰当的数学模型解模. 11. (5 分) (2009?聊城二模)一容量为 20 的样本数据,分组后,组距与频数如下:[10, 20], 2; (20,30],3; (30,40],4; (40,50],5; (50,60],4; (60,70],2.则样本在(﹣ ∞,50]上的频率是 0.7 . 考点: 频率分布表. 分析: 求出样本容量,及样本在(﹣∞,50]上的样本频数,利用频率= 解答: 解:由题意知样本容量 n=20, (﹣∞,50]上的频数为 m=2+3+4+5=14, 则频率是 .

求出频率.

故答案为:0.7 点评: 解决频率表中的频率问题,一般用到的公式是频率=

12. (5 分)设 P 在[0,5]上随机地取值,求方程 x +px+ + =0 有实根的概率

2



考点: 几何概型. 专题: 计算题. 分析: 由题意知方程的判别式大于等于零求出 p 的范围, 再判断出所求的事件符合几何概型, 再由几何概型的概率公式求出所求事件的概率. 解答: 2 2 解:若方程 x +px+ + =0 有实根,则△ =(p) ﹣4×( + )≥0, 即 p ﹣p﹣2≥0,解得,m≥2 或 m≤﹣1; ∵记事件 A:设 P 在[0,5]上随机地取值, 由方程 x +px+ + =0 有实根符合几何概型, ∴P(A)= 故答案为: . 点评: 本题考查了求几何概型下的随机事件的概率, 即求出所有实验结果构成区域的长度和 所求事件构成区域的长度,再求比值. 13. (5 分)口袋中有大小、形状都相同的 2 只白球和 1 只黑球,先摸出 1 只球,记下颜色 后放回口袋,然后再摸出 1 只球,则出现“两次摸出的球颜色相同”的概率是 . = .
2 2

考点: 相互独立事件的概率乘法公式.
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专题: 计算题;分类讨论. 分析: 本题是一个有放回抽取的概率模型, 故每次抽取时出现在同种颜色的球的概率是不变 的,事件“两次摸出的球颜色相同”包括了两次摸出的都是黑球与都是白球两种情况, 分别计算出它们发生的概率,求和既得答案 解答: 解:若两次抽取的球都是黑球,则它发生的概率是 = 若两次抽取的球都是白球,则它发生的概率是 所以事件“两次摸出的球颜色相同”的概率是 + = 故答案为 点评: 本题考查相互独立事件的概率乘法公式,解题的关键是理解事件“两次摸出的球颜色 相同”,本题的难点是理解事件两球颜色相同的抽取方法,能从中抽象出两次抽取之 间是一个相互独立事件. 14. (5 分)已知 200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,利用组 中值计算 200 辆汽车的平均时速为 67 km/h. =

考点: 频率分布直方图;用样本的频率分布估计总体分布. 专题: 概率与统计. 分析: 利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和即为数据的平均数, 从而求出 结果. 解答: 解:根据频率分布直方图可知,从左往右各个小组的频率分别为: 0.01×10,0.03×10,0.04×10,0.02×10.即 0.1,0.3,0.4,0.2. ∴200 辆汽车通过该路段时的平均时速是 0.1×50+0.3×60+0.4×70+0.2×80=67, 即估计此 200 辆汽车的平均时速为 67. 故答案为:67. 点评: 解决频率分布直方图的有关特征数问题, 平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩 形的底边中点的和,属于基础题. 15. (5 分)运行如图的算法,则输出的结果是 25 .

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考点: 循环结构. 专题: 阅读型. 分析: 依次讨论 x 执行循环体后的值是否满足条件 x<20,一旦不满足就退出循环,输出 x 的值,解题的关键是弄清循环的次数. 解答: 解:第一次:x=1,满足条件 x<20 第二次:x=4,满足条件 x<20 第三次:x=25,不满足条件 x<20 故退出循环,此时 x=25 故答案为:25 点评: 本题主要考查了当型循环,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结构, 当型循环是先判断后循环,直到型循环是先循环后判断,属于基础题. 16. (5 分)如图所示的流程图,若输出的结果是 9,则判断框中的横线上可以填入的最大整 数为 16 .

考点: 循环结构. 专题: 常规题型. 分析: 结合此程序框图,由于循环次数并比较少,可把每一次循环写出来,即可得到正确答
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案 解答: 解: 在循环体内部, 执行运算 s=s+i, i=i+2, 可知当执行完第四次循环后 s=1+3+5+7=16, i=9 ∴第 4 次循环是最后一次循环 返回判断条件时,应不满足判断条件,退出循环 即 s=16 时,不满足判断条件 故答案为:16 点评: 考察循环结构,注意循环结构中的运算顺序,要求有较好的观察能力和逻辑推理能力 17. (5 分) (2010?沈阳一模)一只蚂蚁在三边边长分别为 3,4,5 的三角形的边上爬行, 某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率为 .

考点: 几何概型. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是几何概型的意义, 关键是要找出蚂蚁距离三角形的三个顶点的距 离均超过 1 时对应线段的长度, 并将它同三角形的周长一齐代入几何概型的计算公式, 进行求解. 解答: 解:如下图所示,当蚂蚁位于图中红色线段上时,距离三角形的三个顶点的距离均超 过 1, 由已知易得:红色线段的长度和为:6 三角形的周长为:12 故 P= =

故答案为:

点评: 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这 个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.解决的步骤均为:求出满足条 件 A 的基本事件对应的“几何度量”N(A) ,再求出总的基本事件对应的“几何度量”N, 最后根据 P= 求解.

二、解答题:本大题共 5 小题,共计 75 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 18. (14 分)已知一个矩形由三个相同的小矩形拼凑而成(如图所示) ,用三种不同颜色给 3 个小矩形涂色,每个小矩形只涂一种颜色,求: (1)3 个矩形都涂同一颜色的概率; (2)3 个小矩形颜色都不同的概率.
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考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 3 分析: (1)利用分步乘法原理即可得出涂完三个矩形共有 3 种方法,而 3 个矩形都涂同一 颜色的方法只有三种,利用古典概型的概率计算公式即可得出; (2)“3 个小矩形颜色都不同”相当于把三种颜色的全排列数,即 种涂法.利用古

典概型的概率计算公式即可得出. 解答: 解: (1)由题意可知:用三种不同颜色给 3 个小矩形涂色,每个小矩形只涂一种颜色, 可以分三步去完成:涂第一个矩形可有三种方法,涂第二个矩形可有三种方法,涂第 三个矩形可有三种方法, 3 由分步乘法原理可得涂完三个矩形共有 3 =27 种方法. 其中 3 个矩形都涂同一颜色的方法只有三种.设“3 个矩形都涂同一颜色”为事件 A, 则 P(A)= .

(2)由(1)可知:三种不同颜色给 3 个小矩形涂色,每个小矩形只涂一种颜色,方 3 法共有 3 . 设“3 个小矩形颜色都不同”为事件 B,则事件 B 包括 种涂法.

由古典概型的概率计算公式可得:P(B)=

= .

点评: 熟练掌握分步乘法原理、全排列、古典概型的概率计算公式是解题的关键. 19. (14 分)为了考察甲乙两种小麦的长势,分别从中抽取 10 株苗,测得苗高如下: 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11 甲 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16 乙 (1)分别计算两组数据的方差. (2)请说明哪种小麦长得比较整齐? 考点: 极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据题意,先求出其平均数,再根据方差的计算方法计算方差; (2)方差反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,反之也成立.要比 较甲、乙两种小麦的长势更整齐,需比较它们的方差,进行比较可得结论. 解答: 解: (1) 甲= ×(12+13+…+11)=13, s甲 =


2

×[(12﹣13) +(13﹣13) +…+(11﹣13) ]=3.6, ×(11+16+…+16)=13,

2

2

2

=

10

s乙 =

2

×[(11﹣13) +(16﹣13) +…+(16﹣13) ]=15.8,
2 2

2

2

2

(2)由(1)知,因为 s 甲 <s 乙 ,所以甲种麦苗长势整齐. ∴甲种小麦长势比乙种小麦整齐. 点评: 学生从自己的生活中提出与典型案例类似的统计问题.在提出这些问题后,要考虑问 题中的总体是什么,要观测的变量是什么,如何获取样本,培养学生从现实生活或其 他学科中提出具有一定价值的统计问题的能力. 20. (15 分)已知|x|≤2,|y|≤2,点 P 的坐标为(x,y) ,求当 x,y∈R 时,P 满足(x﹣2) + 2 (y﹣2) ≤4 的概率. 考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据题意,满足|x|≤2 且|y|≤2 的点 P 在如图的正方形 ABCD 及其内部运动,而满足(x 2 2 ﹣2) +(y﹣2) ≤4 的点 P 在以 C 为圆心且半径为 2 的圆及其内部运动.因此,所 求概率等于圆 C 与正方形 ABCD 重叠部分扇形面积与正方形 ABCD 的面积之比,根 据扇形面积和正方形面积计算公式,即可求出本题的概率. 解答: 解:如图,点 P 所在的区域为正方形 ABCD 及其内部 2 2 满足(x﹣2) +(y﹣2) ≤4 的点位于的区域是 以 C(2,2)为圆心,半径等于 2 的圆及其内部 ∴P 满足(x﹣2) +(y﹣2) ≤4 的概率为 P1= = =
2 2 2 2 2

答:当|x|≤2,|y|≤2 且 x,y∈R 时,P 满足(x﹣2) +(y﹣2) ≤4 的概率为



点评: 本题给出点 P 满足的条件,求点 P 到点 C(2,2)距离小于或等于 2 的概率.着重考 查了正方形、扇形面积计算公式和几何概型计算公式等知识,属于基础题. 21. (16 分)为了检测某种产品的质量,抽取了一个容量为 100 的样本,数据的分组如下: 分组 频数频率 [10.75,10.85)3 [10.85,10.95)9 [10.95,11.05)13 [11.05,11.15) 16 [11.15,11.25) 26 [11.25,11.35) 20 [11.35,11.45) 7 a [11.45,11.55)
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[11.55,11.65) m 0.02 (1)求出表中的 a,m 的值; (2)据上述图表,估计数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是多少? (3)数据小于 11.20 的可能性是百分之几? 考点: 用样本的频率分布估计总体分布. 专题: 计算题. 分析: (1)由频率= 及表中的数据可得 m,进而可得故落在[11.45,11.55)的数 据,进而可求 a; (2)由上表可知数据落在[10.95,11.35)的有 13+16+26+20=75 个, 进而可得可能性; (3)同理可得数据小于 11.20 的约为 67,进而可得可能性. 解答: 解: (1)由频率= 可得 0.02= ,解得 m=2, 故落在[11.45,11.55)的数据为 100﹣(3+9+13+16+26+20+7+2)=4, 故 a= =0.04;

(2)由上表可知数据落在[10.95,11.35)的有 13+16+26+20=75, 故数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是 =75%;

(3)由上表可知数据小于 11.20 的约为 3+9+13+16+26=67, 故数据小于 11.20 的可能性是 =67%

点评: 本题考查用样本的频率估计总体的分布,属基础题. 22. (16 分)将完全相同的 3 个球随机地放入 1,2,3 号盒子中(每盒放球数不限) ,求: (1)3 个球放入同一个盒子的概率; (2)3 个盒子中都有球的概率; (3)至少有一个盒子没球的概率; (4)恰有一个盒子没有球的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 3 分析: 由分步乘法原理可知, 将完全相同的 3 个球随机地放入 1, 2, 3 号盒子中, 共有 3 =27 种放法,每种放法是等可能的. (1)事件 A“3 个球放入同一个盒子”的放法有 3 种:3 个球放入 1 号盒子,或 2 号盒 子,或 3 号盒子.利用古典概型的概率计算公式即可得出. (2) 事件 B“3 个球放入 3 个盒子, 每个盒子中都有球”, 等价于每个盒子只放 1 个球, 有 种方法.利用古典概型的概率计算公式即可得出.

(3)事件 C“3 个球放入 3 个盒子,至少有一个盒子没球”与事件 B 是对立事件,利用 对立事件的概率计算公式即可得出. (4)事件 D“3 个球放入 3 个盒子,恰有一个盒子没有球”与事件 D,A 的关系是: C=D+A,并且事件 D 和 A 是互斥事件,利用互斥事件的概率计算公式即可得出. 解答: 解:由分步乘法原理可知,将完全相同的 3 个球随机地放入 1,2,3 号盒子中,共有
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3 =27 种放法,每种放法是等可能的. (1)记“3 个球放入同一个盒子的概率”为事件 A. 3 个球放入同一个盒子的放法有 3 种:3 个球放入 1 号盒子,或 2 号盒子,或 3 号盒 子. 故 .

3

(2)记“3 个球放入 3 个盒子,每个盒子中都有球”为事件 B. 3 个球放入 3 个盒子,每个盒子中都有球,等价于每个盒子只放 1 个球,有 方法. 故 . =6 种

(3)记“3 个球放入 3 个盒子,至少有一个盒子没球”为事件 C. 因为事件 C 是事件 B 的对立事件,所以 .

(Ⅳ) 记“3 个球放入 3 个盒子, 恰有一个盒子没有球”为事件 D. 由题意可知, C=D+A. 因为事件 D 和 A 是互斥事件,所以 P(C)=P(D)+P(A) , . 点评: 正确理解分步乘法原理、古典概型的概率计算公式、对立事件的概率计算公式、互斥 事件的概率计算公式、全排列的意义是解题的关键.

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