红对勾文科数学课时作业24


课时作业 24

正弦定理、余弦定理的应用举例
时间:45 分钟 分值:100 分

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.如图所示,在河岸 AC 测量河的宽度 BC,图中所标的数据 a, b,c,α,β 是可供测量的数据.下面给出的四组数据中,对测量河 宽较适宜的是( )

A.c 和 α C.c 和 β 答案:D

B.c 和 b D.b 和 α

2. 甲船在岛 A 的正南 B 处, 以每小时 4 千米的速度向正北航行, AB=10 千米,同时乙船自岛 A 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60° 的方向驶去, 当甲、 乙两船相距最近时, 它们所航行的时间为( 150 A. 7 分钟 C.21.5 分钟 15 B. 7 分钟 D.2.15 小时 )

解析:如图,设 t 小时后甲行驶到 D 处,则 AD=10-4t,乙行 驶 到 C 处 , 则 AC = 6t. ∵ ∠ BAC = 120° , ∴ DC2 = AD2 + AC2 - 2AD· AC· cos120° = (10 - 4t)2 + (6t)2 - 2×(10 - 4t)×6t×cos120° = 28t2 -20t+100. 5 5 当 t=14时, DC2 最小, DC 最小, 此时它们所航行的时间为14×60 150 = 7 分钟. 答案:A 3. 轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时离开海港 C, 两艘轮船航行方向 的夹角为 120° , 轮船 A 的航行速度是 25 海里/小时, 轮船 B 的航行速 度是 15 海里/小时,下午 2 时两船之间的距离是( A.35 海里 C.35 3海里 B.35 2海里 D.70 海里 )

解析:设轮船 A、B 航行到下午 2 时时所在的位置分别是 E、F, 则依题意有 CE=25×2=50,CF=15×2=30,且∠ECF=120° ,EF = CE2+CF2-2CE· CFcos120° = 502+302-2×50×30cos120° =70. 答案:D

4.有一长为 1 的斜坡,它的倾斜角为 20° ,现高不变,将倾斜角 改为 10° ,则斜坡长为( A.1 C.2cos10° ) B.2sin10° D.cos20°

解析:如图所示,∠ABC=20° ,AB=1,∠ADC=10° , ∴∠ABD=160° .

AD AB 在△ABD 中,由正弦定理sin160° =sin10° , sin160° sin20° ∴AD=AB· =2cos10° . sin10°=sin10° 答案:C π 5.(2013· 天津卷)在△ABC 中,∠ABC=4,AB= 2,BC=3,则 sin∠BAC=( 10 A. 10 3 10 C. 10 ) 10 B. 5 5 D. 5

2 解析:由余弦定理得 AC2=9+2-2×3× 2× 2 =5,所以 AC 2 3× 2 AC BC = 5;再由正弦定理 = 代入得 sin∠BAC= sin∠ABC sin∠BAC 5

3 10 = 10 . 答案:C 6.线段 AB 外有一点 C,∠ABC=60° ,AB=200 km,汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶,同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶,则运动开始__________h 后,两车的距离最小.( 69 A.43 70 C.43 B.1 D.2 )

解析:如图所示,设过 x h 后两车距离为 y,则 BD=200-80x, BE=50x,

∴y2=(200-80x)2+(50x)2-2×(200-80x)· 50x· cos60° 整理得 y2=12 900x2-42 000x+40 000(0≤x≤2.5) 70 ∴当 x=43时 y2 最小. 答案:C 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.在直径为 30 m 的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射 向地面的光呈圆形, 且其轴截面顶角为 120° , 若要光源恰好照整个广 场,则光源的高度为________m.

15 解析:轴截面如图,则光源高度 h=tan60° =5 3(m).

答案:5 3 8. 如下图所示, 为测量河对岸塔 AB 的高, 先在河岸上选一点 C, 使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得点 A 的仰角为 60° ,再由点 C 沿 北偏东 15° 方向走 10 米到位置 D,测得∠BDC=45° ,则塔 AB 的高 是________米. BC CD 解析: 在△BCD 中, ∠DBC=30° , 由正弦定理得sin45° =sin30° , BC ∴BC=10 2,在 Rt△ABC 中,tan30° =AB ,∴AB 的高是 10 6米. 答案:10 6 ?8题图? ?9题图?

9.(2013· 福建卷)如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD 2 2 ⊥AC,sin∠BAC= 3 ,AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为________. π 2 2 解析:sin∠BAC=sin(∠BAD+2)=cos∠BAD= 3 ,由余弦定 理 BD2=AB2+AD2-2AB· AD· cos∠BAD 代入数据得 BD= 3. 答案: 3 三、解答题(共 55 分,解答应写出必要的文字说明、演算步骤或 证明过程) 10.(15 分)

如图所示,某河段的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度, 在河段的一岸边选取两点 A,B,观察对岸的点 C,测得∠CAB=75° , ∠CBA=45° ,且 AB=100 米. (1)求 sin∠CAB; (2)求该河段的宽度. 解 : (1)sin ∠ CAB = sin75°= sin(30°+ 45° ) = sin30° cos45°+ 6+ 2 1 2 3 2 cos30° sin45° =2× 2 + 2 × 2 = 4 . (2)∵∠CAB=75° ,∠CBA=45° ,∴∠ACB=180° -∠CAB-∠ AB BC ABsin75° CBA=60° ,由正弦定理得 = ,∴BC= sin60° .如 sin∠ACB sin∠CAB 下图所示,过点 B 作 BD 垂直于对岸,垂足为 D,则 BD 的长就是该 河段的宽度.

BD 在 Rt△BDC 中,∵∠BCD=∠CBA=45° ,sin∠BCD= BC, ABsin75° ∴BD=BCsin45° = sin60° · sin45°

100× =

6+ 2 4 2 50?3+ 3? ×2= (米), 3 3 2

50?3+ 3? ∴该河段的宽度为 米. 3 11.(20 分)某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡 度 15° 的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得 旗杆顶部的仰角分别为 60° 和 30° ,第一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为 50 秒,升旗手应以多大的速度匀速升旗?

解:在△BCD 中,∠BDC=45° ,∠CBD=30° ,CD=10 6,由 CDsin45° 正弦定理,得 BC= sin30° =20 3; 3 在 Rt△ABC 中,AB=BCsin60° =20 3× 2 =30(米). AB 30 所以升旗速度 v= t =50=0.6(米/秒). ——创新应用—— 12.(20 分)(2013· 新课标全国卷Ⅰ)如图,在△ABC 中,∠ABC=

90° ,AB= 3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90° .

1 (1)若 PB=2,求 PA; (2)若∠APB=150° ,求 tan∠PBA. 解:(1)由已知得,∠PBC=60° ,所以∠PBA=30° . 1 1 7 在△PBA 中,由余弦定理得 PA2=3+4-2× 3×2cos30° =4.故 7 PA= 2 . (2)设∠PBA=α,由已知得 PB=sinα. 3 sinα 在△PBA 中,由正弦定理得sin150° = ,化简得 3cosα sin?30° -α? =4sinα. 3 3 所以 tanα= 4 ,即 tan∠PBA= 4 .


相关文档

更多相关文档

红对勾文科数学课时作业48
红对勾文科数学课时作业43
红对勾文科数学课时作业41
红对勾文科数学课时作业45
红对勾文科数学课时作业47
电脑版