云南省玉溪市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


玉溪一中 2015—2016 学年下学期期中考试 高二数学(文科)试卷
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 考试时间:120 分钟 总分:150 分

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.设全集 I ? R ,集合 A ? { y | y ? log2 x , x ? 2} , B ? {x | y ? A. A ? B B. A ? B ? A C. A ? B ? ?

x ? 1} ,则(



D. A ? B ? ?

2.某牛奶生产线上每隔 30 分钟抽取一袋进行检验,该抽样方法记为①;从某中学的 30 名数 学爱好者中抽取 3 人了解学业负担情况,该抽样方法记为②.那么( A.①是系统抽样,②是简单随机抽样 C.①是简单随机抽样,②是系统抽样 3.“ a ? )

B.①是简单随机抽样,②是简单随机抽样 D.①是系统抽样,②是系统抽样 )

2 ”是“直线 y ? x 与圆 ( x ? a) 2 ? y 2 ? 1 相切”的(
B.充分不必要条件

A.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 )

4.若 f ?1? ? 1, f ?2? ? 3, f ?3? ? 4, f ?4? ? 7, f ?5? ? 11 ,? ,则 f ?10? ? ( A.28 B.123 C.76 D.199

5.设复数 z1 , z 2 在复平面内的对应点关 于虚轴对称, z1 ? 2 ? i ,则 z1 z 2 等于( A.-5 B.5 C. ? 4 ? i D. ? 4 ? i

)

6.已 知 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 点 M (1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 为 y ?

1 x?2 , 则 2

f (1) ? f ' (1) ? (
A.

) B.

5 C. 3 D. 0 2 1 (n ? N ? ) ,则数列 {an } 的前 10 项和为( 7.已知数列 a n ? 2 4n ? 1 20 10 18 9 A. B. C. D. 21 21 19 19

1 2

)

8.已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上,若 AB ? 3, AC ? 4, AB ? AC, AA 1 ? 12,

1

则球 O 的表面积为( A. 153?

) C. 169 ? D. 360 ?

B. 160 ?

9.已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,在区间 [0,??) 为增函数,且 f ( ) ? 0 ,则不等式 f (log1 x) ? 0
8

1 3

的解集为( A.(

) B. (2,??) C. ( ,1) ? (2,?? )

1 ,2 ) 2

1 2

D. (0, ) ? ( 2,?? )

1 2

10.已知 P 是直线 l : 3x ? 4 y ? 11 ? 0 上的动点, PA 、 PB 是圆 C : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 的 两条切线, 圆心为 C ,那么四边形 PACB 面积的最小值是( A. 2 B. 2 2 C. 3
2

)

D. 2 3

11.公差不为 0 的等差数列 {an } 中, 2a3 ? a7 ? 2a11 ? 0 ,数列 {bn } 是等比数列,且

b7 ? a7 ,则 b6 b8 ? (
A.2 B.4

) C.8 D.16

12.在 ?ABC 中, ?BAC ? 120? , AB ? AC ? 2 , D 是 BC 边上的点,且 AD ? BC ? 0 ,

CE ? 2EB , 则 AD ? AE ? (
A.

)

3 3

B.1

C.

2 3 3

D.2 第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上) 13.已知直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 经过圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 的圆心,则
2 2

1 1 ? 的最小值为 a b

. .

14.利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a ,则事件“ 3a ? 1 ? 0 ”发生的概率为 15.若函数 f ( x ) ?

ln x , e ? a ? b ,则 f (a), f (b) 的大小关系为 x

.

x2 y2 16.已知 A(1,2) , B(?1,2) ,动点 p 满足 AP ? BP ,若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 a b
渐近线与动点 p 的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是 .

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

2

17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos x ? cos( x ?

?
3

).

2? ) 的值; 3 1 (2)求使 f ( x) ? 成立的 x 的取值集合. 4
(1)求 f (

18.(本小题满分 12 分)某校从参加高三年级期中考试的学生中随机统计了 40 名学生的政 治成绩,这 40 名学生的成绩全部在 40 分至 100 分之间,据此绘制了如图所示的样本频率分布直方图. (1)求成绩在[80,90)的学生人数; (2)从成绩大于等于 80 分的学生中随机选 2 名学生,求至 少有 1 名学生成绩在[90,100]的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,PD ? 平面 ABCD ,

AB // DC , AB ? AD, BC ? 5, DC ? 3, AD ? 4, ?PAD ? 60?
(1)若 M 为 PA 的中点,求证: DM // 平面 PBC ; (2)求三棱锥 D ? PBC 的体积.

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右 a2 b2







F (1,0) ,且点

3 P (1, ) 在椭圆上. 2 (1)求椭圆 C 的标准方程;
(2)过椭圆 C1 :

x2 ? a2

y2 b2 ? 5 3

? 1 上异于其顶点的任意一点 Q 做圆 O : x 2 ? y 2 ?

4 的两条切线,切点 3

分别为 M , N ( M , N 不在坐标轴上) ,若 直线 MN 在 x 轴, y 轴上的截距分别为 m, n ,证 明:

1 1 ? 2 为定值. 2 3m n

3

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2e x ? ax ? 2( x ? R, a ? R) . (1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)当 x ? 0 时,若不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

22.(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 , C2 的参数方程分别为 ?

?x ? t
2 ?y ? t

(t

为参数 ) 和 ?

? ? x ? 2 cos? (? 为参数 ) . ? y ? 2 sin ? ?

(1)将曲线 C1 , C2 的参数方程化为普通方程,并指出是何种曲线; (2)以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线 C1 , C2 的交点所确 定的直线的极坐标方程.

4

玉溪一中 2015—2016 学年下学期期中考试 高二数学(文科)试卷答案 一、选择题

AABBA
二、填空题 13.4 14.

CCCDC

DB

1 3

15. f (a) ? f (b)

16. (1,2)

三、解答题

2π π ? 2π ? ? ? cos ? cos 3 3 ? 3 ? π π = ?cos ? cos 3 3
17.解:(1) f ? = ?? ? ? ?

?1? ? 2?

2

1 . 4
? ? π? ? 3?

(2)f(x)=cos x· cos ? x ? =cos x· ?

?1 ? 3 cos x ? sin x ? ?2 ? 2 ? ? 1 π? 1 ? = cos ? 2 x ? ? ? . 2 3? 4 ? 1 1 π? 1 1 π? ? ? f(x)< 等价于 cos ? 2 x ? ? ? ? ,即 cos ? 2 x ? ? <0 . 4 2 3? 4 4 3? ? ? 3π 5π π π 11π 于是 2kπ + <2x- <2kπ + ,k∈Z. 解得 kπ + <x<kπ + ,k∈Z . 2 12 12 2 3 1 5π 11π ? ? 故使 f(x)< 成立的 x 的取值集合为 ? x | kπ ? ? x ? kπ ? , k ? Z? . 4 12 12 ? ?
18.解:(1)因为各组的频率之和为 1,所以成绩在区间[80,90)的频率为 1-(0.005×2+0.015+0.020+0.045)×10= 0.1, 所以,40 名学生中成绩在区间[80,90)的学生人数为 40×0.1=4(人). (2)设 A 表示事件 “在成绩大于等于 80 分的学生中随机选两名学生,至少有 1 名学生成绩在区间[90,100] 内”, 由已知和(1)的结果可知成绩在区间[80,90)内的学生有 4 人,记这四个人分别为 a,b,c,d,成绩在区间 [90,100]内的学生有 2 人,记这两个人分别为 e,f,则选取学生的所有可能结果为: (a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f), 基本事件数为 15, 事件“至少 1 名学生成绩在区间[90,100]内”的可能结果为: (a,e),(a,f),(b,e),(b,f),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),基本事件数为 9,所以 P ( A) ?

9 3 ? . 15 5

5

19.(1)如图,取 PB 的中点 N,连接 MN,CN. 在△PAB 中,∵M 是 PA 的中点, ∴MN∥AB,MN= AB=3, 又 CD∥AB,CD=3, ∴MN∥CD,MN=CD, ∴四边形 MNCD 为平行四边形, ∴DM∥CN. 又 DM?平面 PBC,CN? 平面 PBC, ∴DM∥平面 PBC. (2) = =

1 S△DBC·PD , 3
=8 3 .

又 S△DBC=6,PD= 4 3 ,所以

2 2 20.(1)由题意得, c ? 1 ,所以 a ?b ?1 ,

又点 P (1, ) 在椭圆上,所以

2 3

1 9 ? 2 ? 1 ,解得 a 2 ? 4, b 2 ? 3, 2 a 4b

x2 y2 ? ? 1. 所以椭圆 C 的标准方程为 4 3
(2)由(1)知 C1 :

x2 3y 2 ? ? 1 ,设点 Q( x1 , y1 ), M ( x2 , y2 ), N ( x3 , y3 ) , 4 4

因为 M,N 不在坐标轴上,所以 k QM ? ?

1 k OM

??

x2 , y2

直线 QM 的方程为 y ? y 2 ? ?

x2 4 ( x ? x2 ), 化简得 x 2 x ? y 2 y ? ,? 3 y2
4 ,? 3

同理可得直线 QN 的方程为 x3 x ? y 3 y ?

4 ? x 2 x1 ? y 2 y1 ? ? ? 3 把点 Q 的坐标带入??得 ? , ?x x ? y y ? 4 3 1 3 1 ? 3 ?
所以直线 MN 的方程为 x1 x ? y1 y ? 令 y ? 0 ,得 m ?

4 , 3

4 4 ,令 x ? 0 ,得 n ? ,又点 Q 在椭圆 C1 上, 3x1 3 y1

6

所以 (

4 2 4 1 1 3 ) ? 3( ) 2 ? 4 ,即 ? 2 ? ,为定值. 2 3m 3n 4 3m n

21.(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? 2e x ? x ? 2, f ' ( x) ? 2e x ? 1, f ' (1) ? 2e ? 1 , 即曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线的斜率 k ? 2e ? 1 ,又 f (1) ? 2e ? 3, 所以所求的切线方程是 y ? (2e ? 1) x ? 2. (2)易知 f ' ( x) ? 2e x ? a. 若 a ? 0 ,则 f ' ( x) ? 0 恒成立, f ( x) 在 R 上单调递增;
' 若 a ? 0 ,则当 x ? ( ?? , ln ) 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,

a 2

当 x ? (ln

a ,?? ) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. 2

又 f (0) ? 0 ,所以若 a ? 0 ,则当 x ? [0,??) 时, f ( x) ? f (0) ? 0 ,符合题意.

a ? 0 ,即 0 ? a ? 2 时,则当 x ? [0,??) 时, f ( x) ? f (0) ? 0 ,符合题意. 2 a a 当 ln ? 0 ,即 a ? 2 时,则当 x ? (0, ln ) 时, f ( x) 单调递增, f ( x) ? f (0) ? 0 ,不符合题意. 2 2
若 a ? 0 ,则当 ln 综上,实数 a 的取值范围是 (??,2]. 22.(1)对于曲线 ?

?x ? t ?y ? t
2

(t 为参数 ) ,显然其普通方程为 x 2 ? y ,是抛物线.

对于曲线 ? 的圆.

? ? x ? 2 cos? ( ? 为参数) , 易得其普通方程为 x 2 ? y 2 ? 2 表示圆心为坐标原点, 半径为 2 ? y ? 2 sin ? ?

2 ? ?x ? y ? y ? 1, y ? ?2 (舍去) (2)联立方程 ? 2 2 ? ?x ? y ? 1

(3)所以曲线 C1 , C2 的交点所确定的直线为 y ? 1 ,其极坐标方程为 ? sin ? ? 1.

7


相关文档

更多相关文档

云南省玉溪市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理
云南省曲靖市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文(扫描版)
云南省玉溪第一中学2015-2016学年高二数学下学期第一次月考试题 文
云南省曲靖市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理(扫描版)
云南省玉溪一中2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷
2015-2016学年云南省玉溪市第一中学高一下学期期中考试数学试卷
云南省玉溪一中2014-2015学年高二数学下学期期中试卷 文
福建省永安市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文
湖北省老河口市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文
云南省玉溪市第一中学2015-2016学年高二政治下学期期中试题
北京市房山区周口店中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 文
安徽省合肥市第一六八中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题
世和中心-合同文件 -修改0329
北京66中2012-2013学年高二数学下学期期中试题 理(含解析)北师大版
中国IC卡行业发展研究报告
电脑版