4.1.1圆的标准方程


教师课时教案
备课人 课题 课标要求 教 学 目 标 重点 难点
圆的标准方程

授课时间 4.1.1 圆的标准方程

知识目标 技能目标

掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 会用待定系数法求圆的标准方程。 通过运用圆的知识解决实际问题的学习, 从而激发学生学习

情感态度价值观 数学的热情和兴趣。
圆的标准方程 会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程。

问题与情境及教师活动 1、情境设置: 在直角坐标系中,确定直线的基本要素是什么?圆作为平面 几何中的基本图形,确定它的要素又是什么呢?什么叫圆?在平 面直角坐标系中,任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示, 那么,原是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有 什么特征呢? 2、探索研究:
确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为 A(a,b), 半径为 r。 (其中 a、b、r 都是常数,r>0)设 M(x,y)为这个圆上任 意一点,那么点 M 满足的条件是(引导学生自己列出) P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点 M 适合的条件

学生活动

教 学 过 程 及 方 法

( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r
2
6

① ②

化简可得: ( x ? a) ? ( y ? b)2 ? r 2
4

A
2

M

-5

5

-2

-4

引导学生自己证明 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 为圆的方程,得出结 论。
2 2 2

1

教师课时教案
教 问题与情境及教师活动
方程②就是圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准

学生活动

学 方程。 3、知识应用与解题研究 例 1:写出圆心为 A(2, ?3) 半径长等于 5 的圆的方程,并判断点 过

M1 (5, ?7), M2 (? 5, ?1) 是否在这个圆上。 程 分析探求:可以从计算点到圆心的距离入手。 探究:点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的关系的判断方法: 及 2 (1) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r ,点在圆外
方 (2) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r 2 ,点在圆上 法
(3) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r ,点在圆内
2

例 2: ? ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B(7, ?3), C (2, ?8), 求它 的外接圆的方程 分析:从圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 可知,要确定 圆的标准方程, 可用待定系数法确定 a、b、r 三个参数. (学生自己运算 解决) 例 3:已知圆心为 C 的圆 l : x ? y ? 1 ? 0 经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) , 且圆心在 l : x ? y ? 1 ? 0 上,求圆心为 C 的圆的标准方程. 分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小 .圆心为 C 的 圆经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,由于圆心 C 与 A,B 两点的距离相等,所以 圆心 C 在险段 AB 的垂直平分线 m 上,又圆心 C 在直线 l 上,因此圆心

C 是直线 l 与直线 m 的交点,半径长等于 CA 或 CB 。
4

l
2

A

-5

5

m

-2

C

B

-4

-6

总结归纳:比较例(2) 、例(3)可得出 ? ABC 外接圆的标准方程的两种求 法: ( 1 )根据题设条件,列出关于 a、b、r 的方程组,解方程组得到 a、b、r 得值,写出圆的标准方程. (2)根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大 小,然后再写出圆的标准方程.

2

教师课时教案
问题与情境及教师活动 学生活动

4.练习:课本 p127 第 1、3、4 题 .小结:
1、 圆的标准方程。 2、 点与圆的位置关系的判断方法。 3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。

教 学 过 程 及 方 法

教 学 小 结 课 后 反 思
3


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