深圳市2014年第二次调研考试答案(文科数学)


2014 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 50 分. 1 B 2 C 3 A 4 D 5 B 6 C 7 A 8 D 9 C 10 B

二、填空题:本大题每小题 5 分;第 14、15 两小题中选做一题,如果两题都做,以第 14 题的得分为最后得分),满分 20 分. 11. 8 . 12. ?

2 5 . 5

13.

2 . 4

14. ? 2,

? ?

??

?. 4?

15. 2 .

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin ?x ? cos? ?x ? (1)当 ? ? 1 时,求 f ?

? ?

?? ? ,其中 x ? R , ? ? 0 . 6?

??? ? 的值; ?3?

(2)当 f ( x) 的最小正周期为 π 时,求 f ( x) 在 [0 , 解: (1)当 ? ? 1 时, f ?

π ] 上取得最大值时 x 的值. 4

π π 3 3 ?π? .………………………4 分 ?0 ? ? ? sin ? cos ? 3 2 2 2 ?3?
? ? 3 1 ?? cos ?x ? sin ?x ? ? sin ?x ? 2 2 6?

(2) f ( x) ? sin ?x ? cos? ?x ?

1 3 ?? ? ? sin ?x ? cos ?x ? sin? ?x ? ? ,………………………………8 分 2 2 3? ?




π? ? ? π 且 ? ? 0 得 ? ? 2 ,所以 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? , ………………………9 分 ? 3? ?

由 x ? [0 ,

π π π 5π ] 得 2 x ? ? [ , ] ,…………………………………………………11 分 4 3 3 6 π π π 时, f ( x)max ? 1 . ……………………………………12 分 ? 即x? 12 3 2
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?当 2x ?

【说明】本题主要考查特殊角的三角函数值,两角和与差的正、余弦公式,以及正、余弦函 数的图象,以及闭区间上的最值问题,考查了考生运算求解、变形化简的能力.

17.(本小题满分 13 分) 某企业通过调查问卷(满分 50 分)的形式对本企业 900 名员工的工作满意度进行调查, 并随机抽取了其中 30 名员工( 16 名女员工, 14 名男员工)的得分,如下表:
女 男 47 37 36 35 32 34 48 43 34 46 44 43 36 38 47 40 46 39 41 32 43 48 42 50 33 40 43 34 35 49

(1)根据以上数据,估计该单位得分大于 45 分的员工人数; (2) 现用计算器求得这 30 名员工的平均得分为 40.5 分, 若规定大于平均得分为 “满意” , 否则为“不满意” ,请完成下列表格:
“满意” 的人数 女 男 合计 “不满意” 人数 合计

16 14 30

(3)根据上述表中数据,利用独立性检验的方法判断,能否在犯错误的概率不超过1% 的前提下,认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关? 参考数据:
P(K 2≥k ) k

0.10 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.001 10.828

解: (1)从表中可知, 30 名员工中有 8 名得分大于 45 分,……………………………1 分 所以任选一名员工,它的得分大于 45 分的概率是 所以估计此次调查中,该单位共有 900 ? (2)完成下列表格:
“满意”的人数 女 男 合计 “不满意”人数 合计

8 4 ? , ………………………2 分 30 15

4 ? 240 名员工的得分大于 45 分. ………4 分 15

12
3 15

4 11
15

16 14 30
…………………………………8 分

(3)假设 H 0 :性别与工作是否满意无关, ……………………………………………9 分

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根据表中数据,求得 K 的观测值 k ?
2

30 ? ?12 ?11 ? 3 ? 4 ? 152 ?16 ?14

2

? 8.571 ? 6.635 ,……11 分

查表得 P K 2 ? 6.635 ? 0.010 . ………………………………………………………12 分

?

?

? 能在犯错误的概率不超过 1% 的前提下,认为性别与工作是否满意有关. ………13 分
【说明】本题主要考查了古典概型,列联表,独立性检验的方法等知识,考查了考生处理 数据和运算求解的能力.

18.(本小题满分 13 分) 如图 4,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, PB ? 平面 ABCD . (1)若 AC ? 6 , BD ? 8 , PB ? 3 , 求三棱锥 A ? PBC 的体积; (2)若点 E 是 DP 的中点,证明: BD ? 平面 ACE . 解: (1 ) 四边形 ABCD 为菱形,

D

A

E

B

则知 BD 与 AC 相互垂直平分, ………1 分

C

? 底面 ABCD 的面积为 S菱形ABCD ? ? S?ABC

P 图4 1 ? S菱形 ABCD ? 12 , ………………………………………………………………3 分 2

1 ? 6 ? 8 ? 24 , 2

又 PB ? 平面 ABCD ,且 PB ? 3 , ………………………………………………………4 分

1 ? 三棱锥 A ? PBC 的体积为 VA? PBC ? VP ? ABC ? ? PB ? S?ABC ? 12 . …………………6 分 3
证明: ( 2 )设 BD 与 AC 相交于点 O ,连结 OE , ………7 分

D

A

O 为 BD 的中点, E 是 PD 的中点,
? OE / / PB , ………………………………………………9 分
又 PB ? 平面 ABCD ,? OE ? 平面 ABCD , …………10 分 又 BD ? 平面 ABCD ,? OE ? BD , ……………………11 分

O
E
C

B

由( 1 )知 AC ? BD ,……………………………………………12 分 又 AC

OE ? O ,

图4

P

? BD ? 平面 ACE . ………………………………………………………………………13 分
【说明】本题主要考察三棱锥的体积,空间点、线、面的位置关系,考查空间想象能力、 运算能力和逻辑推理能力.
第 3 页 共 9 页

19. (本小题满分 14 分) 设等差数列 {an } 公差为 d , S n 是 {an } 中从第 2n ?1 项开始的连续 2n ?1 项的和,即

S1 ? a1 ,
S2 ? a2 ? a3 ,
S3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ,
??

Sn ? a2 n?1 ? a2 n?1 ?1 ? ? ? a2 n ?1 ,
?? (1)当 a1 ? 3, d ? 2 时,求 S 4 ; (2)若 S1 , S 2 , S3 成等比数列,问:数列 {Sn } 是否成等比数列?请说明你的理由. 解: (1)

a1 ? 3, d ? 2, 所以 an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ,………………………………2 分

由 Sn ? a2 n?1 ? a2 n?1 ?1 ? ? ? a2 n ?1 可得:

S4 ? a23 ? a23 ?1 ? ??? ? a24 ?1 ? a8 ? a9 ? ??? ? a15 , ………………………………………4 分

? S4 ?

? a8 ? a15 ? ? 8 ? 192 .
2

……………………………………………………………6 分

2 (2)∵ S1 , S 2 , S3 成等比数列,∴ S1 ? a1 ? 0 ,且 S1 ? S3 ? S2 , …………………8 分 2 由 S1 ? S3 ? S2 ,得 a1 (a4 ? a5 ? a6 ? a7 ) ? (a2 ? a3 )2 ,

即 a1 (4a1 ? 18d ) ? (2a1 ? 3d ) , 2a1d ? 3d .
2 2

3 d .…………………………………………………………………10 分 2 S 2n a 当 d ? 0 时,Sn ? 2n?1 a1 ? 0 , n ?1 ? n ?1 1 ? 2(常数) ,n ? N * ,{Sn } 成等比数列; Sn 2 a1
∴ d ? 0 或 a1 ? 当 a1 ?

3 2n ?1 (2n ?1 ? 1) d 时, Sn ? a2 n?1 ? a2 n?1 ?1 ? ? ? a2 n ?1 ? 2n ?1 a2 n?1 ? d 2 2
? 2 [a1 ? (2
n ?1 n ?1

2n ?1 (2n ?1 ? 1) ? 1)d ] ? d 2

3 ? ?3 ? 2n ?1? d ? 2n ?1 ? a1 ? d ? 2 ? ?2

?

3 d ? 4n ?1 ? 0 , 2
第 4 页 共 9 页

Sn ?1 Sn

3 d ? 4n , n ? N * , {Sn } 成等比数列.……………………14 分 ? 2 ? 4 (常数) 3 n ?1 d ?4 2

【说明】本题主要考查等差、等比数列的定义、通项与求和,会根据一个数列的通项证明 等比数列,考查考生运算求解、推理论证、变形处理能力.

20.(本小题满分 14 分)

x2 y 2 1 如图 5,椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , F 为右焦点,点 A 、 B 分别 M a b 2
为左、右顶点,椭圆 E 上的点到 F 的最短距离为 1 . (1)求椭圆 E 的方程; (2)设 t ? R 且 t ? 0 ,过点 M (4, t ) 的直线 MA,MB 与 椭圆 E 分别交于点 P , Q .求证:点 P, F , Q 共线. 解: (1)由椭圆 E 的离心率为 得

y

P
A
O

F

B

x

Q

1 , 2

图5

c 1 ? 即有 a ? 2c , …………………………………………………………………1 分 a 2
…………………………………………………………………2 分

?b2 ? a2 ? c2 ? 3c2 ,

? E 的方程可化为

x2 y2 ? ?1. 4c 2 3c 2

设椭圆上的动点 H ( x0 , y0 ) ? ?2c ? x0 ? 2c ? ,

F (c,0) ,

? HF ?
又由

? x0 ? c ?

2

? y0 2 ①,……………………………………………………………3 分

x0 2 y0 2 3 ? 2 ? 1 即 y0 2 ? 3c 2 ? x0 2 ②, 2 4c 3c 4
1 2 ? x0 ? 4c ? ? ?2c ? x0 ? 2c ? ,…………………………4 分 4

②代入①整理可得: HF ?

? 当 x0 ? 2c 时, HF min ? c ? 1 .

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故所求椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ………………………………………………………6 分 4 3

(注:若直接用 a ? c 作为最小值,如果答案正确扣 2 分) (2)证明:由(1)可知 A(?2, 0), B(2, 0) ,

t t , kMB ? , 6 2 t 故 MA 的方程为 y ? ( x ? 2) , 6
所以 kMA ?

t ? y ? ( x ? 2) ? ? 6 2 2 2 2 联立方程组 ? 2 ,得 (27 ? t ) x ? 4t x ? (4t ?108) ? 0 .……………………8 分 2 x y ? ? ?1 ? 3 ?4
故 xA ? xP ?

?4t 2 , 27 ? t 2

?4t 2 54 ? 2t 2 , ? xA ? ? xP ? 27 ? t 2 27 ? t 2
代入 MA 的方程,得 yP ?

t 18t . ( xP ? 2) ? 6 27 ? t 2
…………………………………………………………10 分

?点 P (

54 ? 2t 2 18t , ). 27 ? t 2 27 ? t 2

同理,可求得点 Q (

2t 2 ? 6 ?6t , ) .………………………………………………………11 分 3 ? t2 3 ? t2

3t 2 ? 27 ?18t t 2 ? 9 ?6t , ) , FQ ? ( , ), 于是 PF ? ( 27 ? t 2 27 ? t 2 3 ? t2 3 ? t2
即 PF ?

27 ? t 2 FQ . 3(3 ? t 2 )

……………………………………………………………13 分

?t ? R 且 t ? 0 ,点 P, F , Q 三点共线. ………………………………………………14 分
【说明】本题主要考查椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系,代数法求方程的解,考查考 生数形结合、运算求解、转化与化归以及分析与解决问题的能力. 21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) 在区间 ? a, b ? 上有意义, 若存在 c ? ? a, b ? , 使得 f ( x) 在 ? a, c ? 上单调递减,
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在 ? c, b ? 上单调递增,则称 f ( x) 为区间 ? a, b ? 上的单谷函数, c 为谷点. (1)已知 m ? R ,判断函数 f ( x) ?
*

1 3 m ?1 2 x ? x ? mx 是否为区间 ? 0, 2? 上的单谷函数; 3 2
n n 2

?2? (2)已知函数 f n ( x) (n ? N 且 n ? 2) 的导函数 f n?( x) ? x ? ??? ? x ? x ? 3 ? ? ? ? 2 , ?3?
①证明: f n ( x) 是区间 ? 0, ? 上的单谷函数; 3 ②记函数 f n ( x) 在区间 ? 0, ? 上的谷点为 xn ,证明: xn?1 ? xn . 3 解(1)

? 2? ? ?

? 2? ? ?

f ?( x) ? x2 ? (m ? 1) x ? m ? ( x ? 1)( x ? m) , ………………………………1 分

(i)当 m ? 0 时, x ? ? 0,1? 有 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ? 0,1? 单调递减,

x ? ?1, 2 ? 有 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ?1, 2? 单调递增,
所以 f ( x) 是区间 ? 0, 2? 上的单谷函数; ………………………………………2 分

(ii)当 0 ? m ? 1 时, x ? ? 0, m ? 有 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ? 0, m? 单调递增, 所以 f ( x) 不是区间 ? 0, 2 ? 上的单谷函数; (iii)当 m ? 1 时, x ? ? 0,1? 有 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ? 0,1? 单调递增; 所以 f ( x) 不是区间 ? 0, 2 ? 上的单谷函数. ………………………………………3 分

综上,当 m ? 0 时, f ( x) 是区间 ? 0, 2? 上的单谷函数; 当 m ? 0 时, f ( x) 不是区间 ? 0, 2? 上的单谷函数. …………………………………4 分 (2)①证明:记 g n ( x) ? f n?( x) ? x n ? ??? ? x 2 ? x ? 3 ?

?2? ? ?2, ?3?

n

? ( x) ? nxn?1 ? ??? ? 2 x ? 1 , …………………………………………………………5 分 ? gn

? 2? ? ( x) ? 0 , ? 当 x ? ? 0, ? 时, gn ? 3? ? 2? ? 函数 f n?( x) 在区间 ?0, ? 上单调递增. ? 3?
………………………………………………6 分

第 7 页 共 9 页



?2? ?2? 4 f n?(0) ? 3 ? ? ? 2, 且 n ? 2 时, ? ? ? , ?3? ?3? 9

n

n

? f n?(0) ? 0 ,

2 ?2? ?2? ? 2? f n?( ) ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 3 ? ? ? 2 , 3 ?3? ?3? ? 3?
2? ?2? ?1 ? ? ? 3? ?3? ? ? 2 1? 3
n

n

n

? ? n n ? ? ? 3? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 0 , ? ? ? ? ?3? ?3?

…………………………………………8 分

? 2? ? 函数 f n?( x) 在 ? 0, ? 存在唯一零点,记为 xn , ? 3?
? x ? ? 0, xn ? 有 f n?( x) ? 0 ,即 f n ( x) 在区间 ? 0, xn ? 单调递减;

? 2? ? 2? x ? ? xn , ? 有 f n?( x) ? 0 ,即 f n ( x) 在区间 ? xn , ? 单调递增; ? 3? ? 3? ? 2? ? 当 n ? 2 时, f n ( x) 为 ?0, ? 上的单谷函数. ? 3?
②证明: ………………………………………10 分

?2? f n?( x) ? x ? ??? ? x ? x ? 3 ? ? ? 2 , ?3?
n 2

n

? f n??1 ( xn ) ? xn

n ?1

?2? ? xn ??? ? xn ? xn ? 3 ? ? ?3?
n 2

n ?1

,……………………………11 分 ? 2 (i)

由 f n?( xn ) ? 0 可得: xn n ? ??? ? xn 2 ? xn ? 2 ? 3 ?

?2? ? ,代入(i)有: ?3?

n

f n??1 ( xn ) ? xn

n ?1

n n ?1 ? ?2? ? ?2? ? ? 2 ? 3? ? ? ? 3? ? ? 2 , ? ?3? ? ? ? ?3?

即 f n??1 ( xn ) ? xn

n ?1

?2? ?? ? , ?3?

n

………………………………………………………12 分
n

? 2? ?2? xn ? ? 0, ? ,? xn n?1 ? xn n ? ? ? , ? 3? ?3?

第 8 页 共 9 页

? f n??1 ( xn ) ? 0 ,

f n??1 ( xn?1 ) ? 0 ,

? f n??1 ( xn ) ? f n??1 ( xn?1 ) ,
由①知 f n??1 ( x) 单调递增,

? xn?1 ? xn .

…………………………………………………………………14 分

【说明】 本小题主要考查函数、 导数、 不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、 不等式问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力,同时也考查分类讨论思想、函数 与方程思想、化归与转化思想.

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