选修4-5绝对值不等式的解法


绝对值不等式的解法

复习:
1.绝对值的定义: 2.几何意义:
一个数的绝对值表示这个数对应的点到 原点的距离.
x2
B O

|x|=

x 0 -x

X>0 X=0 X<0

x1
A

X

|x1| =|OA|

|x2| =|OB|

方程│x│=2的解集?
-2 0 2

为{x│x=2或x=-2}

观察、思考: 不等式│x│<2的解集? 为{x│-2 < x < 2 }
-2 0 -a a2 不等式│x│> 2解集? 为{x│x > 2或x<-2 }

-2 0 2 -a a 类比:|x|<3的解 |x|>3 的解 -a<x<a 归纳:|x|<a(a>0)

|x|<-2的解

|x|>a (a>0) |x|>-2的解 X>a 或 x<-a

如果

a

>0,则

x ? a ? ?a ? x ? a

x ? a ? x ? ?a或x ? a

引伸:
如果把|x|<2中的x换成“x-1”,也就是 | x-1 | <2如何解?

如果把|x|>2中的x换成“3x-1”,也就 是
| 3x-1 | >2 如何解? 解题反思:
整体换元。

归纳:型如| f(x)|<a, |f(x)|>a

(a>0)

不等式的解法:

f ( x) ? a ? ?a ? f ( x) ? a
f ( x) ? a ? f ( x) ? ?a或f(x)? a

例 1 解不等式

2x ? 3 ? 5
解: 这个不等式等价于
? 5 ? 2x ? 3 ? 5 ? 5 ? 3 ? 2x ? 3 ? 3 ? 5 ? 3

? 2 ? 2x ? 8 ?1 ? x ? 4

因此,不等式的解集是(–1,4)

例 2 解不等式 2 x ? 3 >5 解:这个不等式等价于

2x ? 3 ? 5


(1)

2 x ? 3 ? ?5
(1)的解集是(4,+∞),

(2)

(2)的解集是(-∞,-1),

∴ 原不等式的解集是 (4,+∞)∪ (-∞,-1)。

巩固练习:
求下列不等式的解集

① |2x+1|<5
② 3|1-4x|>9 ③ |4x|<-1

(-3,2) (-∞,-1/2)∪(1,+ ∞)

?
R

④ |x2-5x|>-6

⑤ 3<| 2x+1 | <5

(-3,-2)∪(1,2)

引伸:
型如 | f(x)|<a, |f(x)|>a的不等式中 “a”用代数式替换,如何解?

例:解不等式 | 5x-6 | < 6 – x

(Ⅰ)当5x-6≥0,即x≥6/5时,不等式化为 5x-6<6-x,解得x<2, 所以6/5≤x<2 (Ⅱ)当5x-6<0,即x<6/5时,不等式化为 -(5x-6)<6-x,解得x>0
所以0<x<6/5 综合(Ⅰ)、 (Ⅱ)取并集得(0,2) 解:
5x-6 ≥ 0
(Ⅰ ) 或

解:对绝对值里面的代数式符号讨论:

解不等式 | 5x-6 | < 6 – x

5x-6<0

(Ⅱ)

-(5x-6)<6-x 5x-6<6-x 解(Ⅰ)得:6/5≤x<2 解(Ⅱ) 得:0<x<6/5 取它们的并集得:(0,2)

解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
分析:对6-x 符号讨论, 当6-x≦0时,显然无解; 当6-x>0时,转化为-(6-x)<5x-6<(6-x) 解: 由绝对值的意义,原不等式转化为: 6-x≤0 6-x>0 -(6-x)<5x-6<(6-x)

(Ⅰ ) 或

(Ⅱ )

无解

解(Ⅰ)得:0<x<2; (Ⅱ) 无解

综合得0<x<2

解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
分析:对6-x 符号讨论, 进一步反思 :不等式组 当6-x ≦0时,显然无解; 中 6-x>0 是否可以去掉 当6-x>0时,转化为-(6-x)<5x-6<(6-x)

解: 类型 1 由绝对值的意义,原不等式转化为:

有更一般的结论: 6-x>0 X<6 |f(x)|<g(x) -g(x)<f(x)<g(x) -(6-x)<5x-6 -(6-x)<5x-6<(6-x) |f(x)|>g(x) f(x)>g(x) 或 f(x)<-g(x) 5x-6<(6-x)
0<x<2

练习:把下列绝对值不等式转 化为同解的非绝对值不等式。
1、|2x-3|<5x 2、|x2-3x-4|>4 3、| x-1 | > 2( x-3)
x x ? x?2 x?2

4、

5、| 2x+1 |> | x+2 |

类型2
x ? a ? x ? b ? c和 x ? a ? x ? b ? c
例:

x ?1 ? x ? 2 ? 5
方法1:几何意义 方法3:函数的观点 方法2:去绝对值

解不等式

x ? 2 ? x ?3 ? 7 2x ? 4 ? 3x ? 3 ? 7

课堂小结: (1)数学知识: 常见的绝对值不等式的解法 (2)数学思想 转化的思想 分类讨论的思想 整体的思想

同 学 们 再 见 !

引例:某电机厂承担一项任务,为自来水厂加 工一种圆形管道,管道直径设计为50毫米,由 于实际加工过程中存在误差,规定成品管道实 际直径与设计值相差不能超过1毫米,否则为次 品,设成品管道的实际半径x毫米,那么x应该 满足什么条件?
解:由题意成品管道的直径为2x 毫米

0

50

由绝对值的意义可知,结果也可表示为:

| 2x-50 | ≦1

反思评价我们的解题方法:

解不等式:|x-1| > |x-3|
方法一 方法二 方法三

依据: |a|>|b|
解:因为 |x-1| > |x-3|

a2>b2

所以 两边平方可以等价转化为
(x-1)2>(x-3)2
化简整理:x>2

平方法:注意两边都为非负数

解:如图,设“1”对A,“3”对应B,
“X”对应 M(不确定的),即为动点。
由绝对值的几何意义可知 :

|x-1| =MA

|x-3|=MB

|x-1| > |3-x| 几何的意义 为MA>MB,
A 0 1 2 B 3

分类讨论:
分析:两个|x-1| 、|x-3|要讨论,按照绝对值 里面的代数式符号进行讨论。可以借助数轴分 类。
解: 0 1 3

找零点

分段
讨论 综合

使|x-1|=0,|x-3|=0,未知数x的值 为1和3 1、当x≧3时,原不等式可以去绝对值符号 化为:x-1>x-3 解集为R,与前提取交集, 所以x≧3; 2、当1≦x<3时,同样的方法可以解得2<x<3 3.当x<1时, x无解
综合有:x>2


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