与名师对话二轮理科数学2-8-4


与名师对话· 系列丛书

二轮专题复习·课标版·数学(理)

第 二 篇

思想方法篇

第1页

第二篇

思想方法篇

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专 题 八

数学思想方法

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第二篇

思想方法篇

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重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂

第四讲

转化与化归思想

课 时 作 业

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专题八

第四讲

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2014 考纲解读
重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂

1. 掌握转换与化归的基本类型:正与 反、一般与特殊的转化,常量与变量的 转化,数与形的转化,相等与不等的转 化,实际问题与数学模型的转化. 2.掌握常见的转化方法:直接转化法, 换元法, 数形结合法, 参数法, 构造法, 坐标法,类比法,特殊化法,一般化方 法,等价问题法,补集法.
课 时 作 业

第4页

专题八

第四讲

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核心考点 向熟悉类型转化
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2015 年高考预测 1.利用换元法对问题进行转化与化归. 2.正与反,一般与特殊的转化. 3.函数、不等式与方程之间的转化.
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逆向转化 抽象向具体转化

空间图形向平面图 4.数与形之间的转化与化归. 形转化

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专题八

第四讲

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第6页

专题八

第四讲

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考点一
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利用换元转化

【自主回顾】 代数问题三角化,往往可充分利用三角函数的特有性质,使 较为复杂的问题得以简化,从而获得解答. 1.若
?2 ? f? x+1?=lg ? ?
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x,则 f(x)的解析式为________.

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专题八

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2 2 解析:令 +1=t(t>1),则 x= , x t -1
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∴f(t)=lg

2 2 ,∴f(x)=lg (x>1). t -1 x-1
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2 答案:f(x)=lg (x>1) x-1

第8页

专题八

第四讲

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2.(2014· 南京模拟)函数 f(x)= x+ 1-x的值域为______.
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解析:∵f(x)的定义域为 x∈[0,1], ∴设 x=sin
2

? π? α?0≤α≤2?, ? ? ? π? 2sin?α+4?∈[1, ? ?

则 y=sin α+cos α=
答案:[1, 2]

2].

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专题八

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【典例剖析】
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(2014· 辽宁卷)对于 c>0,当非零实数 a,b 满足 4a2-2ab+ 3 4 5 4b -c=0 且使|2a+b|最大时, - + 的最小值为________. a b c
2

【思路启迪】 先换元,利用方程根的判别式求解出|2a+b| 取最大值的条件,再消去字母,配方处理.

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专题八

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【解析】
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设 2a+b=x,则 2a=x-b,

∴(x-b)2-b(x-b)+4b2-c=0, x2-3bx+6b2-c=0,即 6b2-3xb+x2-c=0, ∴Δ=9x2-4×6×(x2-c)≥0, 8 ∴3x -8x +8c≥0,∴x ≤ c. 5
2 2 2

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8 当|2a+b|=|x|取最大时,有 (2a+b) = c, 5
2

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专题八

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8 ∴4a +4ab+b = c. 5
2 2

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又∵4a2-2ab+4b2=c,① b 2 2 2 4 2 2 ∴ = ,∴b= a,代入①得 4a -2a·a+ a · 4=c, a 3 3 3 9 3 ∴a=2 c 10,b= c 3 10或 a=-2 c 10,

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第12页

专题八

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b=-
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c 10. c , b= 10 c 3 4 5 3 4 时, 有 - + = - + 10 a b c 3 c c 2 10 10
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3 当 a= 2

? 1 10? 5 2 10 4 10 5 ? ?2 - = - + = 5 - 2≥ -2 , ? ? 5 c c c c ? c ?

1 10 5 当 = 5 ,即 c=2时等号成立. c 3 1 此时 a=4,b=2.

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专题八

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3 当 a=-2
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c 10,b=-

c 10时,

3 4 5 2 10 4 10 5 - + =- + + a b c c c c 2 10 5 = + >0, c c
?3 4 5? 5 3 1 综上可知 c= ,a= ,b= 时,?a-b+c ?min=-2. 2 4 2 ? ?
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【答案】 -2

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专题八

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涉及最值问题往往转化为利用函数的性质、基本不等式、二
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次函数等问题,注意换元法的应用.
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专题八

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【举一反三】 1. 函数 f(x)=cos 2x+2sin x 的最小值和最大值分别为(
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)

A.-3,1

B.-2,2

3 C.-3, 2

3 D.-2, 2
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专题八

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解析:cos 2x=1-2sin2x, ∴f(x)=1-2sin2x+2sin x=-2sin2x+2sin x+1.
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设 t=sin x,则 t∈[-1,1], ∴y=-2t2+2t+1 3 易得 ymax= ,ymin=-3.故选 C. 2
答案:C
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专题八

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2.函数 f(x)=(2-sin x)(2-cos x)的最小值为________.
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解析:f(x)=(2-sin x)(2-cos x)=4-2(sin x+cos x)+sin xcos x. 设 t=sin x+cos x,则 t2=1+2sin xcos x, t2-1 ∴sin xcos x= ,其中 t∈[- 2, 2]. 2
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专题八

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t 2 -1 1 3 2 g(t)=4-2t+ = (t-2) + . 2 2 2
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9-4 2 ∴当 t= 2时,g(t)取得最小值 . 2 9-4 2 ∴f(x)的最小值为 . 2
9-4 2 答案: 2
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专题八

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3.(2013· 浙江卷)设 e1,e2 为单位向量,非零向量 b=xe1+
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π |x| ye2,x,y∈R.若 e1,e2 的夹角为6,则|b|的最大值等于________.
解析:根据题意,得
2 2 ? |x| ? x x ? ?2 = 2= | b | ? x e + y e ? ?xe1?2+?ye2?2+2xye1· e2 ? ? 1 2

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专题八

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x2 = = 2 2 π x +y + 3xy 2 2 x +y +2xycos 6
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x2

1 = =? . ? ?y? 1 3 y y 3 ? ?2 1+?x?2+ x + ?x ? +4 2 ? ? ? ?
?y 因为? ?x+ ?

1

3? ?2 1 1 +4≥4, 2? ? |x| |x| 0<|b|≤2.故|b|的最大值为 2.

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所以

?|x| ? 0<?|b|?2≤4,所以 ? ?

答案:2

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专题八

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考点二
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利用等价转化

【自主回顾】 有的命题若直接考虑,则显得无从下手,若把命题化归为它 的等价命题,往往柳暗花明.解题时要注意命题与等价命题的转 化,尤其是原命题与逆否命题的转化. 1 1.(2014· 西安质检)若 tan θ+tan θ=4,则 sin 2θ=( 1 1 1 1 A. B. C. D. 5 4 3 2 )
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专题八

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解析:由 tan θ+
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1 sin θ cos θ 1 =4,∴ + =4 , =4, tan θ cos θ sin θ sin θcos θ

1 ∴sin 2θ= .选 D. 2
答案:D
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专题八

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2.(2014· 广州模拟)从直线 l:x+y=1 上一点 P 向圆 C:x2 +y2+4x+4y+7=0 引切线,则切线长的最小值为(
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)

23 46 A. 2 B. 2 C. 23 D. 46
解析:圆 C 的标准方程为(x+2) +(y+2) =1,设过点 P 的 切线与圆相切于点 Q, 则 CQ⊥PQ, 所以|PQ|2=|PC|2-12.所以|PC| 最小时,|PQ|最小,此时直线 PC⊥l,
2 2

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第24页

专题八

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|-2-2-1| 5 2 25 23 2 |PC|= = 2 , 故|PQ| 的最小值为 2 -1= 2 , PQ 2
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46 的最小值为 2 .
答案:B
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专题八

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【典例剖析】
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(2013· 山东卷)设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0, xy 2 1 2 则当 z 取得最大值时,x+ y- z 的最大值为( 9 A.0 B.1 C.4 D.3 )
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【思路启迪】 先消元,再应用基本不等式求解.

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专题八

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【解析】
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xy xy 1 1 = = ≤ =1,当且仅 z x2-3xy+4y2 x 4y 4-3 + - 3 y x
2

?1 ? 2 1 2 1 2 当 x=2y 时等号成立,此时 z=2y ,x +y - z =-y2+ y=-? y-1? ? ?
2

+1≤1,当且仅当 y=1 时等号成立,故所求的最大值为 1.
【答案】 B

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第27页

专题八

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把多元问题进行消元是解决不等式问题的一个主要手段, 在
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本题中通过已知的三元关系式,把第一个最值转化为二元关系, 进而找出了三个元的关系,最后的最值问题就转化为一元关系.
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【举一反三】 1.(2014· 德州模拟)
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专题八

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如图,正四面体 PABC 中,M 为棱 AB 的中点,则 PA 与 CM 所成角的余弦值为(
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) 3 B. 4 3 D. 3
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3 A. 2 3 C. 6

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专题八

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解析:如图,取 PB 中点 N,连接 CN、MN.∠CMN 为 PA 与 CM 所成的角(或补角), 设 PA=2, 则 CM= 3, MN=1, CN= 3. 3 ∴cos∠CMN= 6 .故选 C.
答案:C

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第31页

专题八

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2.(2014· 洛阳高三联考)已知三棱锥 D-ABC 中,AB=BC= 1,AD=2,BD= 5,AC= 2,BC⊥AD,则三棱锥的外接球的
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体积为________.
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第32页

专题八

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解析:依题意,AB2+BC2=2=AC2,所以 BC⊥AB,又 BC ⊥AD,因此 BC⊥平面 ABD.又 AD2+AB2=5=BD2,所以 AB⊥
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AD.可将该三棱锥补形成一个长方体,该长方体的长、宽、高分 别是 1、1、2.设外接球的半径为 R,则 2R= 12+12+22= 6,
? 6 4π 3 4π ? ? 6?3 R= 2 ,球的体积 V= 3 R = 3 ×? ? = 6π. ? 2 ?
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答案: 6π

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3.如图,某区有 7 条南北向街道,5 条东西向街道,从 A 点走向 B 点最短的走法有________种.(用数字作答)

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第34页

专题八

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解析: 每条东西向的街道分成 6 段, 每条南北街道分成 4 段, 从 A 到 B 最短的走法,无论怎样走,一定包括 10 段,其中 6 段
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方向相同,另 4 段方向也相同.每种走法,即是从 10 段中选出 6 段,这 6 段是走东西方向,剩下 4 段是走南北方向.从 A 点走 向 B 点最短的走法共有 C6 C4 10· 4=210(种).
答案:210
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考点三
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利用等与不等转化

【自主回顾】 函数与方程、不等式联系密切,解决方程、不等式的问题需 要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借 助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简, 一般可将不等关系转化为最值(值域)问题,从而求出参变量的范 围.
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第36页

专题八

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2 1 1.(2014· 吉林长春第一次调研)若两个正实数 x,y 满足 + x y
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=1,并且 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,-2)∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞) C.(-2,4) D.(-4,2)

)

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第37页

专题八

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?2 1 ? 4y x 4y ? ? 解析:x+2y=(x+2y) x+y =2+ x +y+2≥8,当且仅当 x ? ?
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x = , 即 4y2=x2 时等号成立, x+2y>m2+2m 恒成立, 则 m2+2m<8, y m2+2m-8<0,解得-4<m<2,故选 D.
答案:D
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第38页

专题八

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2. (2014· 云南昆明高三检测)若直线 y=2x+m 是曲线 y=xln x 的切线,则实数 m 的值为________.
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第39页

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1 解析:设切点为(x0,x0ln x0),由 y′=(xln x)′=ln x+x·= x
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ln x+1, 得切线的斜率 k=ln x0+1, 故切线方程为 y-x0ln x0=(ln x0+1)(x-x0),整理得 y=(ln x0+1)x-x0,与 y=2x+m 比较得
? ?ln x0+1=2, ? ? ?-x0=m,

解得 x0=e,故 m=-e.

课 时 作 业

答案:-e

第40页

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【典例剖析】
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(2014· 辽宁卷)当 x∈[-2,1]时,不等式 ax3-x2+4x+3≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.[-5,-3] C.[-6,-2]
? 9? B.?-6,-8? ? ?

)

课 时 作 业

D.[-4,-3]

【思路启迪】 讨论 x 的取值情况并分离字母 a,把不等式 恒成立转化为函数最值,求解 a 的取值范围.

第41页

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【解析】 当 x=0 时, ax3-x2+4x+3≥0 变为 3≥0 恒成立, 即 a∈R.
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2 x -4x-3 3 2 当 x∈(0,1]时,ax ≥x -4x-3,a≥ , x3

?x2-4x-3? ? ∴a≥? 3 ? ?max. x ? ?

x2-4x-3 设 φ(x)= , x3 ?2x-4?x3-?x2-4x-3?3x2 φ′(x)= x6 x2-8x-9 ?x-9??x+1? =- =- >0, x4 x4
第42页

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∴φ(x)在(0,1]上递增,φ(x)max=φ(1)=-6. ∴a≥-6.
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x2-4x-3 当 x∈[-2,0)时,a≤ , x3
?x2-4x-3? ? ∴a≤? 3 ? ?min. x ? ?
课 时 作 业

x2-4x-3 ?x-9??x+1? 仍设 φ(x)= ,φ′(x)=- . x3 x4 当 x∈[-2,-1)时,φ′(x)<0,

第43页

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当 x∈(-1,0)时,φ′(x)>0. ∴当 x=-1 时,φ(x)有极小值,即为最小值.
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1+4-3 而 φ(x)min=φ(-1)= =-2,∴a≤-2. -1 综上知-6≤a≤-2.
【答案】 C
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第44页

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(1)含参变量的不等式中, 求参数取值范围是热点, 当变量易
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于分解时,转化为 a0>f(x)(或 a0<f(x))恒成立或有解的问题,再转 化为函数最值问题或值域问题. (2)若已知条件等式, 求某一代数式的取值范围时, 常将其转 化为求函数的值域问题或利用基本不等式解决.
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【举一反三】 1. (2014· 郑州模拟)若曲线 f(x)=ax2+ln x 存在垂直于 y 轴的
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切线,则实数 a 的取值范围是( A.(0,+∞) B.R

)
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C.(-∞,0) D.(-∞,-1]

第46页

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1 解析:f ′(x)=2ax+ ,其中 x>0. x
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1 由题意可知,2ax+ =0 在(0,+∞)上有实数根, x 即 2ax2+1=0 在(0,+∞)上有实数根, ∴a<0.
答案:C
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第47页

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2.(2014· 西安高三统一检测)在△ABC 中,N 是 AC 边上一
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→ 1→ → → 2→ 点,且AN=2NC,P 是 BN 上的一点,若AP=mAB+9AC,则实 数 m 的值为( )
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1 1 A.9 B.3 C.1 D.3

第48页

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解析:
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→ 1→ → 1→ → → 如图,因为AN=2NC,所以AN=3AC,AP=mAB+

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第49页

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2→ 2 → 2→ 9AC=mAB+3AN,因为 B、P、N 三点共线,所以 m+3=1,
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1 所以 m= ,选择 B. 3
答案:B
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第50页

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3.已知函数 f(x)=x2+2x+aln x,若函数 f(x)在区间(0,1]上 为单调增函数,则实数 a 的取值范围是________.
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第51页

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2

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a 解析:∵f(x)=x +2x+aln x,∴f′(x)=2x+2+ . x
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∵f(x)在(0,1]上为单调增函数, a ∴2x+2+x ≥0 在(0,1]上恒成立, 即 a≥-2x2-2x 在(0,1]上恒成立. ∵0<x≤1 时,-2x2-2x<0, ∴a≥0.即 a 的取值范围是[0,+∞).
答案:[0,+∞)
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第52页

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1.在三角函数中,一般将复杂的三角问题转化为已知或易 解的三角问题. 2.在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知 识的交汇题目时,常将平面向量语言与三角函数,平面几何、解 析几何语言进行转化. 3.在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等 比数列求解.
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专题八

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4.在解决导数问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切 线问题,转化为其导函数 f′(x)构成的方程、不等式问题求解.
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5.在解决解析几何、立体几何问题时,常常在数与形之间 进行转化.
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1.特殊与一般的转化策略
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已知函数

? a? x f(x)=?e +ex?(a∈R,e ? ?

是自然对数的底数),在区 )
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间[0,1]上单调递增,则 a 的取值范围是( A.[0,1] C.[-1,1] B.[-1,0]

D.(-∞,-e2)∪[e2,+∞)

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【思维导图】
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【正确解答】 因为函数 f(x)在区间[0,1]上单调递增, 取 a=-1,
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1 则函数 f(x)=e -ex,
x

1 x 当 0≤x≤1 时, f ′(x)=e + x>0, e 所以函数 f(x)在区间[0,1]上单调递增,排除 A,D. 取 a=1,

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1 则函数 f(x)=e + x, e
x

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2x e -1 1 x 当 0≤x≤1 时,f ′(x)=e - x = x ≥0, e e

所以函数 f(x)在区间[0,1]上单调递增,排除 B.选 C.

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【答题模板】
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确立需转化的目标问题;

寻找“特殊元素”(或“一般元素”); 确立新目标问题; 解决新目标问题; 回顾反思.
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(2014· 西安质检)已知点 P 是△ABC 所在平面内的一点,边
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→ 1-λ → 1 → AB 的中点为 D,若PD= 2 PA+2CB,其中 λ∈R,则点 P 一定 在( ) A.AB 边所在的直线上 B.BC 边所在的直线上 C.AC 边所在的直线上 D.△ABC 的内部
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→ → 解析:取 λ=1,则 2PD=CB,因为边 AB 的中点为 D,所
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→ → → → → → → → → 以PA+PB=2PD, 所以PA+PB=PB-PC, 所以PA=CP, 所以 A, C,P 三点共线,因此点 P 一定在 AC 边所在的直线上.
答案:C
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2.忽视定义域致误
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若关于 x 的方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)有两实数解, 则 a 的取值范围是________.
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【错解】 原方程等价于(x-1)(3-x)=a-x,即 a=-x2+ 5x-3.
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构造函数 y1=-x

2

? 5?2 13 +5x-3=-?x-2? + 4 和 ? ?

y2=a,作出它
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们的图象,如图所示. 13 当 a< 4 时,原方程有两个实数解. 于是 a
? 13? 的取值范围是?-∞, 4 ?. ? ?

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【错因分析】 没有考虑方程中变量 x 的取值范围.
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【正确解答】 原方程等价于
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? ?x-1>0, ?3-x>0, ? ?a-x>0, ? ??x-1??3-x?=a-x,
2 ? ?a=-x +5x-3, 即? ? ?1<x<3.

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构造函数 y1=-x
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2

? 5?2 13 +5x-3=-?x-2? + 4 (1<x<3)和 y2=a, ? ?

作出它们的图象,如图所示. 13 当 3<a< 4 时,原方程有两个实数解. 于是 a
? 13? 的取值范围是?3, 4 ?. ? ?

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在有关方程,函数的等价变形中,应特别注意定义域,不能
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只关注解析式,而忽视变量的范围.
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π π (2014· 南京模拟)若4<x<2,则函数 y=tan 2xtan3x 的最大值 为________.
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4 2tan x 3 解析:tan 2xtan x= 1-tan2x

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? ? 1 2 ? =-2??tan x-1?+tan2x-1? ? - 4, ? ?

π π ∵ <x< ,∴tan2x-1>0, 4 2 由均值不等式得:tan 2x· tan3x ≤-2×2 1 ?tan x-1?· 2 -4=-8, tan x-1
2

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2

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1 当且仅当 tan x-1= 2 ,即 tan x= 2时等号成立,所 tan x-1
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以所求最大值为-8.
答案:-8
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请做:课时作业(二十五)

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