数学一轮复习试题


2012 年数学一轮复习试题古典概型与几何概型
一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的 括号内.) 1.一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏,让孩子把分别写有“One”,“World”, “One”,“Dream”的四张卡片随机排成一行,若卡片按从左到右的顺序排成“One World One Dream”,则孩子会得到父母的奖励,那么孩子受到奖励的概率为( 1 A. 12 1 C. 14 1 B. 13 1 D. 15 )

1 解析:试验包含的基本事件的个数为 12 个,故排对的概率为 ,选 A. 12 答案:A S 2.在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点,则△PBC 的面积大于 的概率为( 4 1 A. 4 3 C. 4 1 B. 2 2 D. 3 )

1 S 解析:如图,当 BM= BA 时,△MBC 的面积为 ,而当 P 在 M、A 之间运动时,△PBC 4 4 3 AB 4 S 3 S 3 的面积大于 ,而 MA= AB,则△PBC 的面积大于 的概率 P= = .故选 C. 4 4 4 AB 4

答案:C 3.有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗小玻璃球,若小球落在阴影部分, 则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是( )

3 1 1 1 解析:各选项中奖的概率依次为 , , , ,故选 A. 8 4 3 3 答案:A 4.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注数字外完全 相同,现从中随机取 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是( 1 A. 12 1 C. 5 1 B. 10 3 D. 10 )

解析:随机从袋子中取 2 个小球的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4), (2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共有 10 种,其中数字之和为 3 或 6 的有(1,2),(1,5),(2,4),∴数字 3 之和为 3 或 6 的概率是 P= . 10 答案:D 5.如图所示,在边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域.在正方形中随机 2 撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为 ,则阴影区域的面积为( 3 )

4 A. 3 2 C. 3

8 B. 3 1 D. 3

S阴 2 8 解析:正方形的面积为 4,由 = ,知阴影区域的面积为 ,选 B. 4 3 3 答案:B 6.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡 片上的数字之和为奇数的概率为( 1 A. 3 2 C. 3 1 B. 2 3 D. 4 )

解析: 4 张卡片中随机取 2 张共有 6 种取法, 从 取得 2 张卡片上数字之和为奇数即{1,2}, 4 2 {1,4},{3,2},{3,4}四种,故其概率为 = .故选 C. 6 3 答案:C

二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 24 分, 共 把正确答案填在题后的横线上. ) 7.甲、乙两人玩数字游戏,先由甲心中任想一个数字记为 a,再由乙猜甲刚才想的数 字,把乙想的数字记为 b,且 a、b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,则称“甲乙心有灵犀”, 现任意找两个人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为________. 解析:数字 a,b 的所有取法有 62=36 种,满足|a-b|≤1 的取法有 16 种,所以其概率 16 4 为 P= = . 36 9 4 答案: 9 8.设 D 是半径为 R 的圆周上的一定点,在圆周上随机取一点 C,连接 CD 得一弦,若 A 表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”,则 P(A)=________.

? 解析:如图所示,△DPQ 为圆内接正三角形,当 C 点位于劣弧 PQ 上时,弦 DC>PD,
1 ∴P(A)= . 3

1 答案: 3 9.任取一个三位正整数 n,则对数 log2n 是一个正整数的概率是________. 解析:∵26=64,27=128,28=256,29=512,210=1024, ∴满足条件的正整数只有 27,28,29 三个, 3 1 ∴所求的概率是 P= = . 900 300 答案: 1 300

10.已知函数 f(x)=2ax2-bx+1,若 a 是从区间[0,2]上任取的一个数,b 是从区间[0,2] 上任取的一个数,则此函数在[1,+∞)上递增的概率为________. 解析:令 t=ax2-bx+1,函数 f(x)在[1,+∞)上递增,根据复合函数单调性的判断方 法,则 t=ax2-bx+1 须在[1,+∞)上递增,

-b ∴- ≤1,即 2a≥b. 2a

?0≤a≤2, ? 由题意得?0≤b≤2, ?2a≥b. ?
画出图示得阴影部分面积. 1 2×2- ×2×1 2 3 ∴概率为 P= = . 4 2×2 3 答案: 4 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步 骤.) 11.汉字是世界上最古老的文字之一,字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的 天性.如图,三个汉字可以看成是轴对称图形.

(1)请再写出 2 个可看成轴对称图形的汉字; (2)小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计一个游戏,规则如下:将这三个 汉字分别写在背面都相同的三张卡片上,背面朝上,洗匀后抽出一张,放回洗匀后再抽出一 张,若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”)则小敏获胜,否 则小慧获胜. 你认为这个游戏对谁有利?请用列表或画树状图的方法进行分析, 并写出构成 的汉字进行说明. 解:(1)如:田、日等; (2)这个游戏对小慧有利. 每次游戏时,所有可能出现的如果如下(列表): 第二张卡片 第一张卡片 土 口 木 土 (土,土) (口,土) (木,土) 口 (土,口) (口,口) (木,口) 木 (土,木) (口,木) (木,木)

总共有 9 种结果, 且每种结果出现的可能性相同, 其中能组成上下结构的汉字的结果有 4 种: (土, 土)“圭”, (口, 口)“吕”, (木, 口)“杏”或“呆”, (口, 木)“呆”或“杏”. 所 4 5 以小敏获胜的概率为 ,小慧获胜的概率为 .所以这个游戏对小慧有利. 9 9 12.设有关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上 述方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根 的概率. 解:记事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0 有实根”, 当 a≥0,b≥0 时,方程 x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件为 a≥b. (1)基本事件共有 12 个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0), (3,1),(3,2),其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为 9 3 P(A)= = . 12 4 (2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}. 构成事件 A 的区域为 {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}, 所以所求的概率为 1 3×2- ×22 2 2 P(A)= = . 3 3×2 13.已知集合 A={x|-1≤x≤0},集合 B={x|ax+b·x-1<0,0≤a≤2,1≤b≤3}. 2 (1)若 a,b∈N,求 A∩B≠?的概率; (2)若 a,b∈R,求 A∩B=?的概率. 解:(1)因为 a,b∈N,(a,b)可取(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2), (2,3)共 9 组. 令函数 f(x)=ax+b·x-1,x∈[-1,0], 2 则 f′(x)=a+bln2·x. 2 因为 a∈[0,2],b∈[1,3],所以 f′(x)>0, 即 f(x)在[-1,0]上是单调递增函数. b f(x)在[-1,0]上的最小值为-a+ -1. 2

b 要使 A∩B≠?,只需-a+ -1<0,即 2a-b+2>0. 2 所以(a,b)只能取(0,1),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)共 7 组. 7 所以 A∩B≠?的概率为 . 9 (2)因为 a∈[0,2],b∈[1,3],所以(a,b)对应的区域为边长为 2 的正方形(如图),面积为 4.

由(1)可知,要使 A∩B=?; b 只需 f(x)min=-a+ -1≥0?2a-b+2≤0,所以满足 A∩B=?的(a,b)对应的区域是图 2 中的阴影部分. 1 1 1 所以 S 阴影= ×1× = , 2 2 4 1 4 1 所以 A∩B=?的概率为 P= = . 4 16


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