2018版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数I第5讲对数与对数函数理


第 5 讲 对数与对数函数
一、选择题

?1?0 1.已知实数 a=log45,b=? ? ,c=log30.4,则 a,b,c 的大小关系为( ?2?
A.b<c<a C.c<a<b B.b<a<c D.c<b<a

)

?1?0 解析 由题知,a=log45>1,b=? ? =1,c=log30.4<0,故 c<b<a. ?2?
答案 D 2 2.设 f(x)=lg( +a)是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是( 1-x A.(-1,0) C.(-∞,0) B.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞) ).

解析 ∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,∴a=-1.

x+1 x+1 ∴f(x)=lg ,由 f(x)<0 得,0< <1, 1-x 1-x
∴-1<x<0. 答案 A 3.若函数 y=loga(x -ax+1)有最小值,则 a 的取值范围是( A.0<a<1 C.1<a<2 B.0<a<2,a≠1 D.a≥2
2 2

).

4-a 2 解析 因为 y=x -ax+1 是开口向上的二次函数,从而有最小值 ,故要使函数 y= 4 4-a 2 loga(x -ax+1)有最小值,则 a>1,且 >0,得 1<a<2,故选 C. 4 答案 C 4.若函数 f(x)=loga(x+b) 的大致图象如图所示,其中 a,b 为常数,则函数 g(x)=a +b 的大致图象是 ( ).
x
2

解析 由已知函数 f(x)=loga(x+b)的图象可得 0<a<1, 0<b<1.则 g(x)=a +b 的图象由

x

y=ax 的图象沿 y 轴向上平移 b 个单位而得到,故选 B.

1

答案 B 5.若函数 f(x)=loga(x -ax+3)(a>0 且 a≠1)满足对任意的 x1,x2,当 x1<x2≤ 时,f(x1) 2 -f(x2)>0,则实数 a 的取值范围为 A.(0,1)∪(1,3) C.(0,1)∪(1,2 3) B.(1,3) D.(1,2 3) ( ).
2

a

解析 “对任意的 x1, x2, 当 x1<x2≤ 时, f(x1)-f(x2)>0”实质上就是“函数单调递减” 2 的“伪装”,同时还隐含了“f(x)有意义”.事实上由于 g(x)=x -ax+3 在 x≤ 时递 2
2

a

a

a>1, ? ? 减,从而? ?a? g? ?>0. ? ? ?2?
答案 D

由此得 a 的取值范围为(1,2 3).故选 D.

6.已知函数 f(x)=|lg x|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 A.(2 2,+∞) C.(3,+∞) B.[2 2,+∞) D.[3,+∞)

(

).

解析 作出函数 f(x)=|lg x|的图象, 由 f(a)=f(b), 0<a<b 知 0<a<1<b, -lg a=lg b, 2 2 ∴ab=1,∴a+2b=a+ ,由函数 y=x+ 的单调性可知,当 0<x<1 时,函数单调递减,

a

x

2 ∴a+2b=a+ >3.故选 C.

a

答案 C 二、填空题 1 ?1?-2 7.对任意非零实数 a,b,若 a?b 的运算原理如图所示,则(log 8)?? ? =________. 2 ?3? 1 9 ?1?-2 解析 框图的实质是分段函数,log 8=-3,? ? =9,由框图可以看出输出 =-3. 3 2 - 3 ? ? 答案 -3.
? ?e ,x≤0, 8.设 g(x)=? ?ln x,x>0, ?
x

? ?1?? 则 g?g? ??=________. ? ?2??

1 ?1? 解析 g? ?=ln <0, 2 2 ? ?

? ?1?? ? 1? ln1 1 ∴g?g? ??=g?ln ?=e 2= . 2 ? ?2?? ? 2?

2

答案

1 2

9.已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A? B,则实数 a 的取值范围是(c,+∞), 其中 c=________. 解析 ∵log2x≤2,∴0<x≤4.又∵A? B,∴a>4,∴c=4. 答案 4 10.对于任意实数 x,符号[x]表示 x 的整数部分,即[x]是不超过 x 的最大整数.在实数轴 R(箭头向右)上[x]是在点 x 左侧的第一个整数点, 当 x 是整数时[x]就是 x.这个函数[x] 叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用.那么[log31]+[log32] +[log33]+[log34]+?+[log3243]=________. 解析 当 1≤n≤2 时,[log3n]=0,当 3≤n<3 时,[log3n]=1,?,当 3 ≤n<3 [log3n]=k. 故[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+?+[log3243]=0×2+1×(3 -3)+2×(3 - 3 )+3×(3 -3 )+4×(3 -3 )+5=857. 答案 857 三、解答题 1 2 x 11.已知函数 f(x)=log (a -3a+3) . 2 (1)判断函数的奇偶性; (2)若 y=f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,求 a 的取值范围. 1 2 x 解 (1)函数 f(x)=log (a -3a+3) 的定义域为 R. 2 1 2 -x 又 f(-x)=log (a -3a+3) 2 1 2 x =-log (a -3a+3) =-f(x), 2 所以函数 f(x)是奇函数. 1 2 x 2 x (2)函数 f(x)=log (a -3a+3) 在(-∞,+∞)上为减函数,则 y=(a -3a+3) 在(- 2 ∞,+∞)上为增函数, 由指数函数的单调性,知 a -3a+3>1,解得 a<1 或 a>2. 所以 a 的取值范围是(-∞,1)∪(2,+∞). 12. 若函数 y=lg(3-4x+x )的定义域为 M.当 x∈M 时, 求 f(x)=2 的 x 的值. 解
2 2 2 4 3 5 4 2 3 2

k

k+1

时,

x+2

-3×4 的最值及相应

x

y=lg(3-4x+x2),∴3-4x+x2>0,
3

解得 x<1 或 x>3,∴M={x|x<1,或 x>3},

f(x)=2x+2-3×4x=4×2x-3×(2x)2.
令 2 =t,∵x<1 或 x>3,∴t>8 或 0<t<2.
x

? 2?2 4 2 ∴f(t)=4t-3t =-3?t- ? + (t>8 或 0<t<2). ? 3? 3
由二次函数性质可知:

? 4? 当 0<t<2 时,f(t)∈?0, ?, ? 3?
当 t>8 时,f(t)∈(-∞,-160), 2 2 4 x 当 2 =t= ,即 x=log2 时,f(x)max= . 3 3 3 2 4 综上可知:当 x=log2 时,f(x)取到最大值为 ,无最小值. 3 3 13.已知函数 f(x)=loga

x+b (a>0,b>0,a≠1). x-b

(1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的奇偶性; (3)讨论 f(x)的单调性; 解 (1)令

x+b >0, x-b

解得 f(x)的定义域为(-∞,-b)∪(b,+∞). -x+b ?x+b?-1 (2)因 f(-x)=loga =loga? ? -x-b ?x-b? =-loga

x+b =-f(x), x-b

故 f(x)是奇函数. (3)令 u(x)=

x+b 2b ,则函数 u(x)=1+ 在(-∞,-b)和(b,+∞)上是减函数,所 x-b x-b

以当 0<a<1 时,f(x)在(-∞,-b)和(b,+∞)上是增函数;当 a>1 时,f(x)在(- ∞,-b)和(b,+∞)上是减函数. 14.已知函数 f(x)=loga

x+1 ,(a>0,且 a≠1). x-1 x+1 在定义域上是奇函数; x-1

(1)求函数的定义域,并证明:f(x)=loga (2)对于 x∈[2,4],f(x)=loga 解 (1)由

x+1 m >loga 恒成立,求 m 的取值范围. 2 x-1 ?x-1? ?7-x?

x+1 >0,解得 x<-1 或 x>1, x-1
4

∴函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞). 当 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f(-x)=loga loga -x+1 x-1 ?x+1?-1=- =loga =loga? ? -x-1 x+1 ?x-1?

x+1 =-f(x), x-1 x+1 在定义域上是奇函数. x-1 x+1 m >loga 恒成立, 2 x-1 ?x-1? ?7-x?

∴f(x)=loga

(2)由 x∈[2,4]时,f(x)=loga ①当 a>1 时, ∴

x+1 m > >0 对 x∈[2,4]恒成立. x-1 ?x-1?2?7-x?

∴0<m<(x+1)(x-1)(7-x)在 x∈[2,4]恒成立. 设 g(x)=(x+1)(x-1)(7-x),x∈[2,4] 则 g(x)=-x +7x +x-7,
3 2

g′(x)=-3x2+14x+1=-3?x- ?2+ , 3

? ?

7?

?

52 3

∴当 x∈[2,4]时,g′(x)>0. ∴y=g(x)在区间[2,4]上是增函数,g(x)min=g(2)=15. ∴0<m<15. ②当 0<a<1 时, 由 x∈[2,4]时,

x+1 m f(x)=loga >loga 恒成立, 2 x-1 ?x-1? ?7-x?


x+1 m < 对 x∈[2,4]恒成立. x-1 ?x-1?2?7-x?

∴m>(x+1)(x-1)(7-x)在 x∈[2,4]恒成立. 设 g(x)=(x+1)(x-1)(7-x),x∈[2,4], 由①可知 y=g(x)在区间[2,4]上是增函数,

g(x)max=g(4)=45,∴m>45.
∴m 的取值范围是(0,15)∪(45,+∞).

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