9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系练习题


§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、选择题 1.已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x,y 为实数, 且 x+y=1},则 A∩B 的元素个数为( A.4 解析 法一 B.3 ). C.2 D.1

(直接法)集合 A 表示圆,集合 B 表

示一条直线,又圆心(0,0)到直线 x+y=1 的距离

d=

1 2 = <1=r,所以直线与圆相交,故选 C. 2 2 (数形结合法)画图可得,故选 C.

法二

答案 C 【点评】 本题法二采用数形结合法求解与法一比较显得更容易、更直观. 2.过圆 x2+y2=1 上一点作圆的切线与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A、B 两点,则 |AB|的最小值为( A. 2 C.2 ) B. 3 D.3

解析 设圆上的点为(x0,y0),其中 x0>0,y0>0,则切线方程为 x0x+y0y=1. 1 1 分别令 x=0,y=0 得 A( ,0),B(0, ),

x0

y0

∴|AB|=

1 1 1 ? ?2+? ?2= ≥

x0

y0

x0y0

1 =2. x +y2 0 2
2 0

答案 C 3.若直线 2x-y+a=0 与圆(x-1)2+y2=1 有公共点,则实数 a 的取值范围 ( ). B.-2- 5≤a≤-2+ 5 D.- 5<a< 5 |a+2| ≤1, 5

A.-2- 5<a<-2+ 5 C.- 5≤a≤ 5

解析 若直线与圆有公共点,即直线与圆相交或相切,故有 解得-2- 5≤a≤-2+ 5.

答案 B 4.设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|= ( A.4 ). B.4 2 C.8 D.8 2

解析 设与两坐标轴都相切的圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=a2,将点(4,1)代入 得 a2-10a+17=0,解得 a=5±2 2,设 C1(5-2 2,5-2 2),则 C2(5+2 2, 5+2 2),则|C1C2|= 32+32=8. 答案 C 5.直线 y=kx+3 与圆(x-2)2+(y-3)2=4 相交于 M、N 两点,若|MN|≥2 3, 则 k 的取值范围是( ? 3 ? A.?- ,0? ? 4 ? C.[- 3, 3] ). ? 3 3? B.?- , ? 3? ? 3 ? 2 ? D.?- ,0? ? 3 ?

解析 如图,若|MN|=2 3,则由圆与直线的位置关系 可知圆心到直线的距离满足 d2=22-( 3)2=1.∵ 直线方程为 y=kx+3,∴d= |k·2-3+3| =1,解得 1+k2

k=±

3 3 3 .若|MN|≥2 3,则- ≤k≤ . 3 3 3

答案 B 6. 若圆(x-a)2+(y-b)2=b2+1 始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4 的周长,则 a, b 满足的关系是( ) A.a2+2a+2b-3=0 B.a2+b2+2a+2b+5=0 2 C.a +2a+2b+5=0 D.a2-2a-2b+5=0 解析 即两圆的公共弦必过(x+1)2+(y+1)2=4 的圆心, 两圆相减得相交弦的方程为-2(a+1)x-2(b+1)y+a2+1=0, 将圆心坐标(-1,-1)代入可得 a2+2a+2b+5=0. 答案 C 7.直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 相交于 M , N 两点, 若 MN ≥2 3 , 则k 的取值范围是( )

? 3 ? A. ? ? , 0 ? ? 4 ?

? 3 3? , ? B. ? ? ? 3 3?

? C. ? ? ? 3, 3 ?

? 2 ? D. ? ? , 0 ? ? 3 ?

答案 B 二、填空题 8.已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x-1 被圆 C 截 得的弦长为 2 2,则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为________. 解析 由题可知,设圆心的坐标为(a,0),a>0,则圆 C 的半径为|a-1|,圆心到 直线 l 的距离为 |a-1| |a-1| 2 ,根据勾股定理可得,( ) +( 2)2=|a-1|2,解得 2 2

a=3 或 a=-1(舍去),所以圆 C 的圆心坐标为(3,0),则过圆心且与直线 l 垂直
的直线的方程为 x+y-3=0. 答案 x+y-3=0 9.过点(-1,-2)的直线 l 被圆 x2+y2-2x-2y+1=0 截得的弦长为 2,则直 线 l 的斜率为________. 解析 将圆的方程化成标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,其圆心为(1,1),半径

r=1.由弦长为 2得弦心距为
=0,∴

2 .设直线方程为 y+2=k(x+1), 即 kx-y+k-2 2

|2k-3| 2 17 = ,化简得 7k2-24k+17=0,∴k=1 或 k= . 2 2 7 k +1 17 7

答案 1 或

10.已知直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=2 交于不同的两点 A、B,O 是坐标原点, |→ OA+→ OB| ≥|→ AB|,那么实数 m 的取值范围是________. 解析 方法 1:将直线方程代入圆的方程得 2x2+2mx+m2-2=0,Δ =4m2-8(m2 m2-2 2 -2)>0 得 m <4, 即-2<m<2.设点 A(x1, y1), B(x2, y2), 则 x1+x2=-m, x1x2= , 2 |→ OA+→ OB|≥|→ AB|即|→ OA+→ OB|≥|→ OB-→ OA|,平方得→ OA·→ OB≥0,即 x x +y y ≥0,
1 2 1 2

即 x1x2+(m+x1)(m+x2)≥0,即 2x1x2+m(x1+x2)+m ≥0,即 2×

2

m2-2
2

+m(-m)

+m2≥0,即 m2≥2,即 m≥ 2或 m≤- 2.综合知-2<m≤- 2或 2≤m<2. 方法 2:根据向量加减法的几何意义|→ OA+→ OB|≥|→ AB|等价于向量→ OA,→ OB的夹角为 锐角或者直角,由于点 A,B 是直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=2 的交点,故只要 |m| 圆心到直线的距离大于或者等于 1 即可, 也即 m 满足 1≤ < 2, 即-2<m≤- 2 2 或者 2≤m<2. 答案 (-2,- 2]∪[ 2,2) 11. 从原点向圆 x2+y2-12y+27=0 作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧 长为________. 解析 (数形结合法)如图,圆 x2+y2-12y+27=0 可化为 x2+(y-6)2=9,圆心坐标为(0,6),半径为 3. 在 Rt△OBC 中可得:∠OCB= ∴所求劣弧长为 2π . 答案 2 π 【点评】 数形结合法是把题中的“数”与“形”有效结合,相辅相助,解题方 便、直观,在圆的有关问题中较为常见. 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且只有四个点到直线 12x -5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是________. 解析 画图可知,圆上有且只有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,该圆 半径为 2 即圆心 O(0,0)到直线 12x-5y+c=0 的距离 d<1,即 0< -13<c<13. 答案 (-13,13) 三、解答题 13.已知:圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB=2 2时,求直线 l 的方程. 解析 将圆 C 的方程 x2+y2-8y+12=0 配方得标准方程为 x2+(y-4)2=4,则 此圆的圆心为(0,4),半径为 2. |c| <1,∴ 13 π 2π ,∴∠ACB= , 3 3

(1)若直线 l 与圆 C 相切,则有

|4+2a| 3 =2.解得 a=- . 2 4 a +1

(2)过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,

? ? 得?|CD| +|DA| =|AC| =2 , 1 ? |DA|= |AB|= 2. ? 2
|CD|=
2

|4+2a| , a2+1
2

2

2

解得 a=-7 或 a=-1. 故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. 14.已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为 1 的直线 l,使以 l 被圆 截得的弦 AB 为直径的圆过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明 理由. 解析 假设存在斜率为 1 的直线 l,满足题意,则 OA⊥OB. 设直线 l 的方程是 y=x+b,其与圆 C 的交点 A,B 的坐标分别为

y1 y2 A(x1,y1),B(x2,y2)则 · =-1, x1 x2
即 x1x2+y1y2=0① ?y=x+b, 由? 2 2 ?x +y -2x+4y-4=0 消去 y 得:2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0,

1 ∴x1+x2=-(b+1),x1x2= (b2+4b-4),② 2

y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2
1 1 = (b2+4b-4)-b2-b+b2= (b2+2b-4).③ 2 2 把②③式代入①式,得 b2+3b-4=0,解得 b=1 或 b=-4,且 b=1 或 b=-4 都使得 Δ =4(b+1)2-8(b2+4b-4)>0 成立.故存在直线 l 满足题意,其方程 为 y=x+1 或 y=x-4. 15.已知与圆 C:x2+y2-2x-2y+1=0 相切的直线 l 交 x 轴,y 轴于 A,B 两点, |OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2). (1)求证:(a-2)(b-2)=2; (2)求线段 AB 中点的轨迹方程;

(3)求△AOB 面积的最小值. 解析 (1)证明:圆的标准方程是(x-1)2+(y-1)2=1,设直线方程为 + =1, |a+b-ab| =1, a2+b2 即 a2+b2+a2b2+2ab-2a2b-2ab2=a2+b2,即 a2b2+2ab-2a2b-2ab2=0, 即 ab+2-2a-2b=0,即(a-2)(b-2)=2. (2)设 AB 中点 M(x,y),则 a=2x,b=2y,代入(a-2)(b-2)=2, 1 得(x-1)(y-1)= (x>1,y>1). 2 即 bx+ay-ab=0,圆心到该直线的距离 d= (3)由(a-2)(b-2)=2 得 ab+2=2(a+b)≥4 ab, 解得 ab≥2+ 2(舍去 ab≤2- 2), 当且仅当 a=b 时,ab 取最小值 6+4 2, 所以△AOB 面积的最小值是 3+2 2. 16.已知圆 C 的方程为 x2+y2=4. (1)求过点 P(1,2)且与圆 C 相切的直线 l 的方程; (2)直线 l 过点 P(1,2),且与圆 C 交于 A、B 两点,若|AB|=2 3,求直线 l 的方 程; (3)圆 C 上有一动点 M(x0,y0),→ ON=(0,y0),若向量→ OQ=→ OM+→ ON,求动点 Q 的轨 迹方程,并说明此轨迹是什么曲线. 解析 (1)显然直线 l 的斜率存在,设切线方程为 y-2=k(x-1), 则由 |2-k| 4 =2,得 k1=0,k2=- , 2 3 k +1

x y a b

从而所求的切线方程为 y=2 和 4x+3y-10=0. (2)当直线 l 垂直于 x 轴时, 此时直线方程为 x=1, l 与圆的两个交点坐标为(1, 3)和(1,- 3),这两点的距离为 2 3,满足题意;当直线 l 不垂直于 x 轴时, 设其方程为 y-2=k(x-1), 即 kx-y-k+2=0,设圆心到此直线的距离为 d(d>0),则 2 3=2 4-d2, 得 d=1,从而 1= |-k+2| 3 ,得 k= ,此时直线方程为 3x-4y+5=0, 2 4 k +1

综上所述,所求直线方程为 3x-4y+5=0 或 x=1. (3)设 Q 点的坐标为(x,y),M 点坐标是(x0,y0),→ ON=(0,y0), ∵→ OQ=→ OM+→ ON,∴(x,y)=(x0,2y0)? x=x0,y=2y0.

x y ?y?2 ∵x +y =4,∴x +? ? =4,即 + =1. 2 4 16 ? ?
2 2 2 0 2 0 2

∴Q 点的轨迹方程是 + =1,轨迹是一个焦点在 y 轴上的椭圆. 4 16

x2

y2


相关文档

更多相关文档

9.4直线与圆、圆与圆的位置关系
9.4直线与圆、圆与圆的位置关系(理_作业)
九年级数学直线与圆、圆与圆的位置关系习题
专题9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系(练)2016年高考文科数学一轮复习测试题练习题
2014届高考数学理科试题大冲关:9.4直线与圆、圆与圆的位置关系
第九章 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
2014届高考数学一轮复习 第8章 第4节《直线与圆、圆与圆的位置关系》名师首选练习题 新人教A版
§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
高三一轮复习9.4直线与圆圆与圆的位置关系
9.4直线与圆、圆与圆的位置关系(1)
圆的方程、直线和圆、圆与圆的位置关系复习经典例题
高考数学直线与圆圆与圆的位置关系
《圆与圆的位置关系》练习题精选
2013高中数学高考题详细分类考点39 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系
直线和圆的方程练习题
电脑版