立体几何中的体积问题(精编版)


立体几何

题型一:求体积/距离类
? 熟练掌握公式(柱体、锥体、台体、球……)
? 掌握一些方法与技巧:等体积法(换顶点)、 割补法、转移法(转移高)

? 直接法(公式法):几何体形状整齐,有 较明显的垂直关系且长度已知

例2.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求点C到截面C1BD的距离.
D1
A1 D A B B1 C1

C

? 等体积法(换顶点):大多用于与棱锥体 积有关的问题中

例3

? 割补法:通过分割或者补全几何体,可将 所求几何体体积表示成若干几何体体积的 和或差(有时无法用等体积法做时,可考 虑割补法)

变式1.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a,E、F分别是BB1,DD1的中点,求四 棱锥D1-AEC1F的体积?
D1 C1 B1

A1

F

E A
D B C

变式1.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a,E、F分别是BB1,DD1的中点,求四 棱锥D1-AEC1F的体积?
D1 C1 B1

A1

F

E A
D B C

例4 (1 )
34. 如图, 已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AA1 ? 底面 ABC ,AC ? BC ? 2 ,AA AB ? 2 2 1 ?4,

M , N 分别是棱 CC1 , AB 中点.
(Ⅰ)求证: CN ? 平面 ABB1 A 1; (Ⅱ)求证: CN // 平面 AMB1 ; (Ⅲ)求三棱锥 B1 ? AMN 的体积. A1 M

C1

B1

C

A

N

B

例4 (2 )
35. 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1 C 1 中,侧棱 AA1

? 平面 ABC , ?ABC 为等腰直角三角形,

?BAC ? 90? ,且 AB ? AA1 , D, E , F 分别是 B1 A, CC 1 , BC 的中点。 (1)求证: DE / / 平面 ABC ; C1 (2)求证: B1 F ? 平面 AEF ; (3)设 AB ? a ,求三棱锥 D ? AEF 的体积。
E

B1 A1

D

F C A

B

总结
? ? ? ? 公式法 等体积法 割补法 转移法(平行、中点)(距离类)

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