扇形的周长一定的情况下如何求其最大面积


扇形的周长一定的情况下如何求其最大面积 若扇形的周长等于 20,那么当扇形的中心角为多大时扇形的面积 最大?扇形的最大面积是多少? 解法一:设扇形的弧长为 l ,扇形所在圆的半径为 R,扇形的中心角 为 ? ,则 l ? ?R ,扇形的面积 S ? lR , 因为扇形的周长为 20,即 l ? 2 R ? 20 , 由均值定理
a?b ?a?b? ? ab ,当 且 仅 当 a ? b时 取 “ ?” 号 , 知: ab ? ? ? , 2 ? 2 ?
2 2 2

1 2

l ? 2R ? ? 20 ? 即 l ? 2R ? ? ,当且仅当 l ? 2R ? 10时取“ ?”号, ? ? ? ? ? ? 100 ? 2 ? ? 2?

? ? 2弧度, 所以 ?R ? 2R,即扇形的中心角

因为 l ? 2 R ? 4S, 所以 4S ? 100 ,即S ? 25, 即当扇形的中心角 ? =2 弧度时,扇形的面积 S 有最大值且 S max ? 25 . 解法二:设扇形的弧长为 l ,扇形所在圆的半径为 R,扇形的中心角 为 ? ,则 l ? ?R ,扇形的面积 S ? lR ? ?R 2 , 因为扇形的周长为 20,即 l ? 2R ? ?R ? 2R ? ?? ? 2?R ? 20, 所以 R ?
20 1 1 ,代入扇形的面积 S ? lR ? ?R 2 中去,得: ? ?2 2 2
2

1 2

1 2

即得到一个关于 ?的一元二次方程 S? 2 ? ?4S ? 200?? ? 4S ? 0, ? 该方程有解, ? ? ? ?4S ? 200? ? 4 ? S ? 4S ? 0,即?S ? 50? ? S 2,
2 2

1 200? ? 20 ? 2 S ? ? ?? ? S ?? ? 2? ? 200?, ? ? 2 2 ?? ? 2? ?? ? 2 ?

由?S ? 50? ? S 2 ? ?50 ? S ? ? S 2 ? S ? 25,即S有最大值25,
2 2

?? ? 2? ? 0, 解得? ? 2. 将S ? 25代入S ?? ? 2? ? 200?,整理得:
2 2

即当扇形的中心角 ? ? 2弧度时扇形的面积有最 大值且S max ? 25.


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