高中数学基础练习:不等式分组练习题


第三章 不等式 [基础训练 A 组] 一、选择题
2 1.若 ? 2 x ? 5x ? 2 ? 0 ,则 4 x ? 4 x ? 1 ? 2 x ? 2 等于(
2



A. 4 x ? 5

B. ? 3

C. 3

D. 5 ? 4 x ) B. ( x ? 1) 2 ? 0 与 x ? 1 ? 0 D. ( x ? 1) 3 ? x 3 与

2.下列各对不等式中同解的是( A. 2 x ? 7 与 2 x ?

x ?7? x

C. x ? 3 ? 1与 x ? 3 ? 1

1 1 ? x ?1 x


3.若 2

x 2 ?1

? ( ) x ? 2 ,则函数 y ? 2 x 的值域是(
B. [ , 2] C. (??, ] D. [2, ??) )
2

1 4

A. [ , 2)

1 8

1 8

1 8

4.设 a ? 1 ? b ? ?1 ,则下列不等式中恒成立的是 (

1 1 A. ? a b

1 1 B. ? a b

C. a ? b

D. a ? 2b
2

5.如果实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 1,则 (1 ? xy)(1 ? xy) 有 (

)

1 和最大值 1 2 3 C.最小值 而无最大值 4
A.最小值

B.最大值 1 和最小值

3 4

D.最大值 1 而无最小值

6.二次方程 x2 ? (a2 ? 1) x ? a ? 2 ? 0 ,有一个根比 1 大,另一个根比 ?1 小, 则 a 的取值范围是 ( ) A. ?3 ? a ? 1 B. ?2 ? a ? 0 C. ?1 ? a ? 0 D. 0 ? a ? 2

二、填空题
1.若方程 x ? 2(m ? 1) x ? 3m ? 4mn ? 4n ? 2 ? 0 有实根,则实数 m ? _______;且实数 n ? _______。 2 .一个两位数的个位数字比十位数字大 2 ,若这个两位数小于 30 ,则这个两位数为 ________________。
2 2 2

3.设函数 f ( x) ? lg( ? x ? x ) ,则 f ( x ) 的单调递减区间是
2

3 4



4.当 x ? ______时,函数 y ? x (2 ? x ) 有最_______值,且最值是_________。
2 2

5.若 f (n) ?

n 2 ? 1 ? n, g (n) ? n ? n 2 ? 1, ? (n) ?

1 (n ? N * ) ,用不等号从小到大 2n

连结起来为____________。

1

三、解答题 1.解不等式 (1) log(2 x?3) ( x2 ? 3) ? 0 (2) ? 4 ? ?

1 2 3 x ? x ? ? ?2 2 2

2.不等式

x 2 ? 8x ? 20 ? 0 的解集为 R ,求实数 m 的取值范围。 m x2 ? 2(m ? 1) x ? 9m ? 4

? y ? x, ? 3. (1)求 z ? 2 x ? y 的最大值,使式中的 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ? y ? ?1. ? x2 y 2 ? ?1 (2)求 z ? 2 x ? y 的最大值,使式中的 x 、 y 满足约束条件 25 16

4.已知 a ? 2 ,求证: log?a?1? a ? loga ?a ? 1?

2

[综合训练 B 组] 一、选择题
1 1 , ) ,则 a ? b 的值是( 2 3 A. 10 B. ?10 C. 14 D. ?14 1? ? 1 ? ? 2.设集合 A ? ? x | ? 2?, B ? ? x | x ? ?, 则A ? B等于 ( ) 3? ? x ? ? ?1 1? ?1 ? A. ? , ? B. ? , ? ?? ?3 2? ?2 ? 1? ?1 1? ?1 ? ? ? ? C. ? ? ?, D. ? ? ?, ? ??? , ? ?? ? ??? , ? ?? 3? ? 3 3? ? 2 ? ? ? ? 5 5 2 x 2 1? x 3.关于 x 的不等式 (k ? 2k ? ) ? (k ? 2k ? ) 的解集是 ( ) 2 2 1 1 A. x ? B. x ? C. x ? 2 D. x ? 2 2 2 4.下列各函数中,最小值为 2 的是 ( ) 1 1 ? A. y ? x ? B. y ? sin x ? , x ? (0, ) x sin x 2 2 2 x ?3 ?1 C. y ? D. y ? x ? x x2 ? 2 5.如果 x 2 ? y 2 ? 1,则 3x ? 4 y 的最大值是 ( ) 1 A. 3 B. C. 4 D. 5 5 2 6.已知函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象经过点 (?1,3) 和 (1,1) 两点, 若 0 ? c ? 1 ,则 a 的取值范围是 ( ) A. (1,3) B. (1, 2) C. ? 2,3? D. ?1,3?
1.一元二次不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ( ?
2

)。

二、填空题
1.设实数 x, y 满足 x2 ? 2 xy ?1 ? 0 ,则 x ? y 的取值范围是___________。
? 2.若 A ? x | x ? a ? b ? ab ? 3, a, b ? R ,全集 I ? R ,则 CI A ? ___________。

?

?

3.若 a ? 1 ? log 1 x ? a 的解集是 [ , ] ,则 a 的值为___________。
2

1 1 4 2

4.当 0 ? x ?

?
2
?

时,函数 f ( x) ?

1 ? cos 2 x ? 8sin 2 x 的最小值是________。 sin 2 x

5.设 x, y ? R 且

1 9 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值为________. x y

2 2 ? ? x ? 2x ? 3 ? x ? 2x ? 3 6.不等式组 ? 的解集为__________________。 2 x ? x ? 2 ? 0 ? ?

3

三、解答题
3( x ?1) ? ? ? ? ? ? ?1? x 2 ? 2 x ?3 2 ?? ? 1.已知集合 A ? ? x | 2 ? , B ? ? x | log 1 (9 ? x ) ? log 1 (6 ? 2 x) ? , ?2? ? ? 3 3 ? ? ? ?

又A

B ? ? x | x 2 ? ax ? b ? 0? ,求 a ? b 等于多少?

2.函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的最小值为多少?

3.已知函数 y ?

mx 2 ? 4 3x ? n 的最大值为 7 ,最小值为 ?1 ,求此函数式。 x2 ? 1

2x x 4.设 0 ? a ? 1, 解不等式: log a a ? 2a ? 2 ? 0

?

?

4

[提高训练 C 组] 一、选择题
1.若方程 x 2 ? (m ? 2) x ? m ? 5 ? 0 只有正根,则 m 的取值范围是( A. m ? ?4 或 m ? 4 B. ? 5 ? m ? ?4 C. ? 5 ? m ? ?4 D. ? 5 ? m ? ?2 2.若 f ( x) ? lg x 2 ? 2ax ? 1 ? a 在区间 (??,1] 上递减,则 a 范围为( A. [1, 2)
2

).

?

?



B. [1, 2]
2

C. ?1, ?? ? )

D. [2, ??)

3.不等式 lg x ? lg x 的解集是 ( A. (

1 ,1) 100

B. (100, ??)

C. (

1 ,1) 100

(100, ??)

D. (0,1)

(100, ??)
)

4.若不等式 x2 ? loga x ? 0 在 (0, ) 内恒成立,则 a 的取值范围是 (

1 2

1 1 1 ? a ?1 ? a ?1 B. C. 0 ? a ? 16 16 16 2 5.若不等式 0 ? x ? ax ? a ? 1有唯一解,则 a 的取值为( A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 ? ? y ? x ?1 6.不等式组 ? 的区域面积是( ) ? ? y ? ?3 x ? 1 1 3 5 A. B. C. D. 1 2 2 2
A.

D. 0 ? a ? )

1 16

二、填空题
1.不等式 log2 (2x ?1) ? log2 (2x?1 ? 2) ? 2 的解集是_______________。 2.已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1 ,则 a ? 3.若 0 ? y ? x ?

?
2

1 ? 2

b?

1 的范围是____________。 2

, 且 tan x ? 3tan y, 则 x ? y 的最大值为________.
1 2 ) ? 1 在 x =________时,有最小值__________。 x

4.设 x ? 0 ,则函数 y ? ( x ? 5.不等式 4 ? x2 ? 三、解答题 1.若函数 f ( x) ? log a ( x ? 求实数 a 的取值范围。

x ? 0 的解集是________________。 x
a ? 4)(a ? 0, 且a ? 1) 的值域为 R , x

5

2.已知△ABC 的三边长是 a, b, c ,且 m 为正数,求证:

a b c ? ? 。 a?m b?m c?m

3.解不等式: log2 ( x ?

1 ? 6) ? 3 x

4.已知求函数 f ( x) ? (ex ? a)2 ? (e? x ? a)2 (0 ? a ? 2) 的最小值。

5. 设函数 f ( x ) ?

ax ? b 的值域为 ?? 1,4? ,求 a , b 的值。 x2 ?1

6

参考答案与解析 [基础训练 A 组]
一、选择题 1.C

1 ?2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0, (2 x ? 1)( x ? 2) ? 0, ? x ? 2 , 2
4 x2 ? 4 x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 4 ? 2 x ? 3

2.B 对于 A. 2 x ? 7, x ?

7 7 , 与 2x ? x ? 7 ? x , 0 ? x ? 2 2 对于 C. x ? 3 ? 1, x ? 3 ? 1或x ? 3 ? ?1 与 x ? 3 ? 1
对于 D. ( x ? 1) 3 ? x 3 与

1 1 ? 不成立 x ?1 x 2 1 1 3.B 2 x ?1 ? ( ) x ? 2 ? 24? 2 x , x 2 ? 1 ? 4 ? 2 x, x 2 ? 2 x ? 3 ? 0, ?3 ? x ? 1, ? y ? 2 8 4 1 1 4.C 对于 A,B,倒数法则: a ? b, ab ? 0 ? ? ,要求 a , b 同号, a b 2 2 1 ? b ? ?1 ? b ? 1, 而a ? 1,对于 a ? 2b 的反例: a ? 1.1, a2 ? 1.21, b ? 0.8, 2b ? 1.6 1 2 2 2 5.B 设 x ? cos ? , y ? sin ? ,1 ? x y ? 1 ? sin 2? 4 2 2 6.C 令 f ( x) ? x ? (a ? 1) x ? a ? 2 ,则 f (1) ? 0 且 f (?1) ? 0


1 1 ? x ?1 x

当 ?1 ? x ? 0 时,

?a 2 ? a ? 0 ? , ? 1? a ? 0 即? 2 ? ?a ? a ? 3 ? 0
二、填空题 1. 1, ?

1 2 2 ? ?4 ( m ? 12) ? 4 m (3 ? m4n ? n 4 ? 2? ) 0 2 2m2 ? 4mn ? 4n2 ? 2m ? 1 ? 0 ,即 (m ? 2n)2 ? (m ?1)2 ? 0
2 2

2 2 而 (m ? 2n) ? (m ? 1) ? 0 ,即 (m ? 2n) ? ( m ? 1) ? 0 ? m ? 1, 且n ? ?

2. 13 或 24

设十位数为 a ,则个位数为 a ? 2 ,

1 2

10a ? a ? 2 ? 30, a ?

? 1 1? , ? ? 2 2? 4. ? 1, 大,1
3. ? ?

28 , a ? N * ? a ? 1或, 2 ,即 13 或 24 11 3 3 1 1 1 1 ? x ? x 2 ? 0, ? ? x ? ,递减则 x ? ? , ∴ ? ? x ? 4 2 2 2 2 2

2 2 4 2 2 2 ,当 y? x ( 2? x ) ? ?x ?2 x ? ? (x ? 1) ?1 x2 ? 1 时, ym a x? 1 1 1 1 f ( n )? g , n ( ? ) ? ,n (? ) 5. f (n) ? ? (n) ? g (n) n2 ? 1 ? n n 2?1 ? n n 2? n

三、解答题

? x 2 ? 3 ? 1 ?0 ? x 2 ? 3 ? 1 或? 1. 解: (1) ? 得 x ? 2或 3 ? x ? 2 , 2 x ? 3 ? 1 ? ?0 ? 2 x ? 3 ? 1

? x ? ( 3, 2) (2, ??)

7

3 ?1 2 x ?x? ? 4 ? ? x2 ? 2 x ?1 ? 0 1 2 3 ?2 ? 2 2 ? x ? x ? ? 4, , (2) ? ? 2 2 2 ?x ? 2x ? 5 ? 0 ? 1 x2 ? x ? 3 ? 2 ? ? ?2 2 ? 或x ? ? 2 ? 1 ?x ? 2 ? 1 , ? ? 6 ? 1 ? x ? 6 ? 1 ? ? ? x ? (? 6 ?1, ? 2 ?1) ( 2 ?1, 6 ?1) 2. 解: x2 ? 8x ? 20 ? 0恒成立, ?mx2 ? 2(m ? 1) x ? 9m ? 4 ? 0须恒成立 当 m ? 0 时, 2 x ? 4 ? 0 并不恒成立; ?m ? 0 当 m ? 0 时,则 ? 2 ?? ? 4(m ? 1) ? 4m(9m ? 4) ? 0 ?m ? 0 1 ? ?m ? ? 得? 1 1 2 m ? , 或m ? ? ? ? 4 2
3.解: (1)作出可行域
' 2 ' 2

(2)令 x ? 5x' , y ? 4 y ' , Z m a x? 3 ;
' ' ' ' ' 2 ' 2

则 ( x ) ? ( y ) ? 1, z ? 10 x ? 4 y ,当直线 z ? 10 x ? 4 y 和圆 ( x ) ? ( y ) ? 1 相切时 z ? 116 , Zmax ? 116 4.证明:

log? a ?1? a ? log a ? a ? 1? ?

lg a lg(a ? 1) lg 2 a ? lg(a ? 1) lg(a ? 1) ? ? lg(a ? 1) lg a lg a lg(a ? 1)
2 2

2 lg a 2 2 ? lg(a ? 1) ? lg(a ? 1) ? ? lg(a ? 1) ? lg( a ? 1) lg( a ? 1) ? ? ? ( ) ? lg 2 a 而 ? ? ? ? 2 2 2 ? ? ? ? 2 即 lg a ? lg(a ?1)lg(a ? 1) ? 0, 而 a ? 2 ? lg(a ? 1) lg a ? 0

?

lg 2 a ? lg(a ? 1) lg(a ? 1) ? 0 ,即 log? a ?1? a ? loga ? a ? 1? ? 0 lg a lg(a ? 1) ? log? a ?1? a ? log a ? a ? 1?

[综合训练 B 组]
一、选择题 1.D 方程 ax ? bx ? 2 ? 0 的两个根为 ?
2

1 1 和 , 2 3

2.B 3.B 4.D

1 1 b 1 1 2 ? ? ? , ? ? ? , a ? ?12, b ? ?2, a ? b ? ?14 2 3 a 2 3 a 1 2x ?1 1 ? 2, ? 0, x ? , 或x ? 0 x x 2 5 3 1 k 2 ? 2k ? ? (k ? 1) 2 ? ? 1,? x ? 1 ? x, x ? 2 2 2 1 对于 A:不能保证 x ? 0 ,对于 B:不能保证 sin x ? , sin x 1 2 对于 C:不能保证 x ? 2 ? , 2 x ?2 ?
8

1 1 ? ?1 ? 33 1 ?1 ? 2 x x 5.D 设 x ? cos ? , y ? sin ? ,3x ? 4 y ? 3cos ? ? 4sin ? ? 5sin(? ? ? ) ? 5 ?a ? b ? c ? 3 6.B ? , a ? c ? 2, c ? 2 ? a,0 ? 2 ? a ? 1,1 ? a ? 2 ?a ? b ? c ? 1
对于 D: y ? x ? 二、填空题 1. ?? ?,?1? ? ? 1,??? 2. ? ??,6?
2 2 2 x2 ? 2 x y? y ? y ? 1 ? 1, ( x ? y ) ? 1, x ? y 或 ?1

x? y ? ? 1

a ? b ? ab ? 3 ? 2 ab ,( ab )2 ? 2 ab ? 3 ? 0, ab ? 3, ab ? 9, ab ? 3 ? 6
A ? ? x| x? a? b? a b ? 3 , ,a ? b? ? R? ? 6 , ?? ?CI A ? ? ??,6? ,

3. 2 4. 4

1 1 1 1 a ? 1 ? log 1 x ? a,( )a ? x ? ( )a ?1 ,( ) a ?1 ? , a ? 2 2 2 2 2 2
f ( x )?

2 2 1 ? c o s x2? 8 2 s ixn 2 c xo ?s 8 xs i n 1 ? ?4 tan x? ? 2 4? 4 sin x 2 2 sx in c xo s xt a n 1 9 9 x y ? ) 1 ?0 ? ? ? 10 2 ? 9 16 5. 16 x ? y ? ( x ? y ) ( ? x y y x 2 ? ?x? 3 ? ? x ? 2 x ? 3? 0 ? ??1 ? x ? 3 ?? 1 ?? ?? , 1? x ? 3 6. (1,3) ? 2 (? 1 ?) 0 ? ?( x ? 2 ) x ?x ? ? 1 0 ? ? x ? x ?2 ? 0 ?

三、解答题

?1? ?? ? ? 23?3 x , x2 ? x ? 6 ? 0, ?3 ? x ? 2, A ? ? ?3, 2 ? ? 2? 2 ?9 ? x ? 0 ? , ?1 ? x ? 3, B ? (?1,3) , A B ? (?1, 2) ?6 ? 2 x ? 0 ?9 ? x 2 ? 6 ? 2 x ? 2 方程 x ? ax ? b ? 0 的两个根为 ?1 和 2 ,则 a ? ?1, b ? ?2 ? a ? b ? ?3 x2 ? 5 1 2. 解: y ? ,令 x 2 ? 4 ? t ,(t ? 2) ? x2 ? 4 ? 2 2 x ?4 x ?4 1 y ? t ? 在 t ?? 2, ??? 上为增函数 t 1 5 ? 当 t ? 2 时, ymin ? 2 ? ? 2 2 2 2 3. 解: y( x ?1) ? mx ? 4 3x ? n,( y ? m) x2 ? 4 3x ? y ? n ? 0
1. 解: 2x
2

3( x ?1)

? 2 x ?3

显然 y ? m 可以成立,当 y ? m 时,方程 ( y ? m) x2 ? 4 3x ? y ? n ? 0 必然有实数根,? ? ? 48 ? 4( y ? m)( y ? n) ? 0, 即 y ? (m ? n) y ? mn ?12 ? 0, 而 ?1 ? y ? 7
2

??1和7 是方程 y 2 ? (m ? n) y ? mn ?12 ? 0 的两个实数根 ?m ? n ? 6 则? , m ? 1, n ? 5 ?mn ? 12 ? ?7
9

x 2 ? 4 3x ? 5 x2 ? 1 4. 解: 0 ? a ? 1,? a2 x ? 2a x ? 2 ? 1, a2 x ? 2a x ? 3 ? 0 ?y ?

(a x ? 3 ) a ( x ? 1) ? ?x ? l o g a 3
一、选择题 1.B

a 0x, ?

x 3? ,

a

log 3

[提高训练 C 组]
?? ? (m ? 2) 2 ? 4(m ? 5) ? 0 ? , ?5 ? m ? ?4 ? x1 ? x2 ? ?(m ? 2) ? 0 ?x x ? m ? 5 ? 0 ? 1 2 令 u ? x2 ? 2ax ? 1 ? a, ? ??,1? 是的递减区间,得 a ? 1
而 u ? 0 须恒成立,∴ umin ? 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 ,∴ 1 ? a ? 2 ;

2.A

2lg x ? lg2 x,lg x ? 2或 lg x ? 0, x ? 100, 或0 ? x ? 1 1 4.A x2 ? loga x 在 x ? (0, ) 恒成立,得 0 ? a ? 1 , 2 1 1 1 1 2 ? a ?1。 则 log a x ? x max ? , (log a x) min ? log a ? ? (另可画图做) 4 2 4 16 2 5.B 当 x ? ax ? a ? 0 仅有一实数根, ? ? a2 ? 4a ? 0, a ? 0或a ? 4 ,代入检验,不成立 2 或 x ? ax ? a ? 1 仅有一实数根, ? ? a2 ? 4a ? 4 ? 0, a ? 2 ,代入检验,成立!
3.D 6.D 画出可行域 二、填空题
5

1. (log 2 4 ,log 23 )

x log ? 2 (2

x x 1) ? l 2 ( 2 ? 1) ]2 2 ,? l o g? ( ? 2 2og [?

2

x 1) [1 ? lo ?g ( 2

1) ]

2

2 x log (x 2 ? 1) ? l ( 2 ? 1) ? 2? 0 ?, 2 2 x l o ?g (?2 2 2og ? 1 5 5 ? 2 x ? 1 ? 2, ? 2 x ? 3, log 2 ? x ? log 2 3 4 4 4

1)

1

2. ?

? 2? 6 ? 1 1 1 3 , 2 ? 令 y ? a ? ? b ? ,则 y 2 ? 2 ? 2 ab ? ,而 0 ? ab ? 4 2 2 2 4 ? ?

3.

? 6

2? 6 ? y?2 2 tan x ? t ayn 2y tan 2 2 t a nx (? y ? ) ? ? ? ? 2 1? t a n x ta yn ? 1 3 y t a n 1 ? 3 tan y 2 3 tan y

2 ? 3 ? y 2 ? 4,

3 3

而0 ? y ? x ? 4. ? 1,3

5. ? 3,0 ? ?0,2?

?

?

3 ? ? x? y ? 2 2 3 6 1 1 1 1 x ? ? 2或x ? ? ?2 ? ( x ? ) 2 ? 4 ? y ? ( x ? ) 2 ? 1 ? 3 x x x x

?

,0 ? x? y ?

?

, t a nx (? y ? )

当 x ? 0 时 4 ? x2 ? 1 ? 0 ,得 0 ? x ? 2 ;

当 x ? 0 时 4 ? x2 ?1 ? 0 ,得 ? 3 ? x ? 0 ;? x ? ? ? 3, 0

?

?

? 0, 2?

10

三、解答题 1. 解:令 u ? x ? 而 umin

a ? 4 ,则 u 须取遍所有的正实数,即 umin ? 0 , x ? 2 a ? 4 ? 2 a ? 4 ? 0 ? 0 ? a ? 4且a ? 1

?a ? (0,1)
2. 证明:设 f ( x) ?

?1, 4?

x (m ? 0) ,易知 (0, ??) 是 f ( x) 的递增区间 x?m a?b c ? a ? b ? c,? f (a ? b) ? f (c) ,即 a?b?m c?m a b a b a ?b ? ? ? ? 而 a?m b?m a?b?m a ?b?m a ?b?m a b c ? ? ? a?m b?m c?m 1 ? x? ?2 ? 1 1 1 ? x , 当 x ? 0 时, x ? ? 2,? x ? ? 2 ? x ? 1 ; 3. 解: 0 ? x ? ? 6 ? 8, ? x x x ? x ? 1 ? ?6 ? x ? 1 , 2 ? 2 ?3x ? 2? 2 3 当 x ? 0 时, ?6 ? x ? ? ? 2?? x ? x ?( ? 3 ?2 2 , ? 3 ? 2 2 ?)? 1
4.解: f ( x) ? e2 x ? e?2 x ? 2a(ex ? e? x ) ? 2a2 ? (ex ? e? x )2 ? 2a(ex ? e? x ) ? 2a 2 ? 2 令 ex ? e? x ? t (t ? 2), y ? f ( x) ,则 y ? t 2 ? 2at ? 2a 2 ? 2 对称轴 t ? a(0 ? a ? 2) ,而 t ? 2

?2, ??? 是 y 的递增区间,当 t ? 2 时, ymin ? 2(a ?1)2
? f ( x)min ? 2(a ?1)2 。 ax ? b , yx 2 ? y ? ax ? b, yx 2 ? ax ? y ? b ? 0, 5.解:令 y ? 2 x ?1 2 2 显然 y ? 0 可以成立,当 y ? 0 时, ? ?a ? 4 y( y ? b ) ?0 , 4 y ?4 b y ?2 a ? 0 2 2 而 ?1 ? y ? 4 ,??1和4 是方程 4 y ? 4by ? a ? 0 的两个实数根
所以 ?1 ? 4 ? b, ?1? 4 ? ?

a2 ? a ? ?4, b ? 3 。 4

11


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