【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:7.2 两条直线的位置关系(共45张PPT)


§7.2

两条直线的位置关系

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理

1.平行
(1)若两条直线的斜率k1,k2均存在,在y轴上的截距为b1,b2, k1=k2且b1≠b2 则l ∥l 的充要条件是_________________________.
1 2

(2)若两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 则l1∥l2的充要条件为A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2

-B2C1≠0).

目录

2.垂直 k1k2=-1 (1)若两条直线的斜率k1,k2均存在,则l1⊥l2?__________; (2)若两条直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2 :A2x+B2y+C2 =0, A1A2+B1B2=0 则l1⊥l2?______________. 3.两条直线的夹角
l1 到 l2 的角 l1 与 l2 的夹角 逆时针 直线 l1 与 l2 相交,l1 依_______ l1 到 l2 的角与 l2 到 l1 的 方向旋转到与 l2 重合时所转的 角中不超过 90° 的角 θ2 角 θ1 k2-k1 k2-k1 tan θ2=| 1+k1·2 k tan θ1= (θ ≠90° ) 1+k1·2 1 k |(θ2≠90° )

定义 计算 公式

目录

4.交点 两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的交点
?A1x+B1y+C1=0 ? 坐标是方程组? 的解,其中①当 ? ?A2x+B2y+C2=0

A1B2-A2B1≠0 ____________________时两条直线相交于一点,②当 A1B2-
A2B1=0 且 A1C2-A2C1≠0(或 B1C2-B2C1≠0)时两条直线无交 点即平行,③当 A1B2-A2B1=0 且 A1C2-A2C1=0(或 B1C2- B2C1=0)两条直线有无数个交点即重合.

目录

5.点到直线的距离

|Ax0+By0+C| d= A2+B2 点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离为_____________,
特别地,两条平行直线 Ax+By+C1=0,Ax+By+C2=0 间的 |C1-C2| |C1-C2| 2 2 距离为 d=__________.在运用公式 d= 求平行直线间 A +B 2 2 A +B 的距离时, 一定要把两直线相应的 x, 项系数化成相等的系数. y

目录

6.直线系方程 (1)平行直线系:与直线Ax+By+C=0平行的直线可以表示为 Ax+By+m=0(C≠m),其中m为待定系数 ___________________________________________. (2)垂直直线系:与直线Ax+By+C=0垂直的直线可以表示为 Bx-Ay+m=0,其中m为待定系数 _________________________________________. (3)过两条直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0交

点的直线系为:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0
(λ∈R)(其中不包括直线l2).

目录

思考探究 1.(1)“直线l1的斜率与直线l2的斜率相等”是“直线l1∥l2”的什

么条件?
(2)“直线l1的斜率与直线l2的斜率之积为-1”是“直线l1⊥l2”的 什么条件?

提示:(1)是“既不充分,也不必要”条件.
“斜率相等”也可能推出两直线重合,故不充分,若l1∥l2也 有可能斜率都不存在,故不必要. (2)若“斜率之积为-1”可得出l1⊥l2,有充分性,若l1⊥l2,也 可能斜率之积不为-1,不必要,故“斜率之积为-1”是l1⊥l2 的充分条件.

目录

思考探究

2.在应用点到直线的距离公式时,应将直线方程化成何
种形式? 提示:应将直线方程化为一般式.

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课前热身
1.(教材改编)下列四条直线: 3 1 l1:y=-2x+3;l2:y=x- ;l3:y= x+3;l4:y=4 中,夹 2 2 角为 45° 的两直线为( A.l1 与 l2 C.l3 与 l4 ) B.l2 与 l3 D.l2 与 l4

答案:D
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2.(2012· 高考浙江卷)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-

1=0与直线l2:x+2y+4=0平行”的(
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

)

解析:选C.由a=1可得l1∥l2,反之,由l1∥l2可得:a=1.
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3.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平 行,则m的值为( A.0 C.2 答案:B ) B.-8 D.10

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4.原点(0,0)到直线l:x-y=5的距离为________.
5 2 答案: 2 5.直线kx+3k-y=0过定点________.

答案:(-3,0)

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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 两条直线的平行与垂直 在两条直线 l1、l2 斜率都存在,且不重合的条件下,才有 l1 ∥l2?k1=k2 与 l1⊥l2?k1k2=-1. 若直线 l1、l2 的方程分别为 A1x+B1y+C1=0 和 A2x+B2y+ C2=0,则 l1∥l2 的必要条件是 A1B2-A2B1=0,而 l1⊥l2 的 充要条件是 A1A2+B1B2=0.解题中为避免讨论, 常依据上面 结论去操作.
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例1

已知直线:l1:ax+2y+6=0,

l2:x+(a-1)y+a2-1=0.

(1)试判断l1与l2是否平行;
(2)l1⊥l2时,求a的值.
分类明确直 运用位置关 → → 线的斜率 ― 系建立等式 ― 得结果

【思路分析】

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【解】 (1)法一:当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0, l1 不平行于 l2; 当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 不平行于 l2; a 当 a≠1 且 a≠0 时,两直线可化为 l1:y=- x-3, 2 1 l2:y= x-(a+1), 1-a ?- a= 1 , ? 2 1-a ∴l1∥l2?? 解得 a=-1,

?-3≠-?a+1?, ?

综上可知,a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行.

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法二:由 A1B2-A2B1=0,得 a(a-1)-1×2=0, 由 A1C2-A2C1≠0,得 a(a2-1)-1×6≠0,
?a?a-1?-1×2=0 ?a -a-2=0, ? ? ∴l1∥l2?? 2 ?? 2 ?a?a -1?-1×6≠0 ?a?a -1?≠6. ? ?
2

∴a=-1, 故当 a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行.

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(2)法一:当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1 与 l2 不垂直; 当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 与 l2 不垂直; a 当 a≠1 且 a≠0 时,l1:y=- x-3, 2 1 l2:y= x-(a+1). 1-a a 1 2 由(- )· =-1?a= . 2 1-a 3 法二:由 A1A2+B1B2=0, 2 得 a+2(a-1)=0?a= . 3

目录

【误区警示】

不重合的两条直线,当两直线的斜率均不存在

时,两直线平行;当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜 率为 0,两直线垂直;当一条直线的斜率不存在,另一条直线 的斜率是非零实数时,则两直线相交但不垂直.第(1)问若解法 a 1 一中不按 a 与(a-1)是否为 0 作分类讨论,只由- = , 2 1-a 得 a=-1 时,l1∥l2,这样无依据地转化也是错误的.

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考点 2

两直线的交点及夹角

当 l1 与 l2 不垂直时,l1 到 l2,l2 到 l1 的角不同,是互补关系, π 其夹角是二者之一,当 l1⊥l2 时,二者都是 . 2

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例2 已知直线 l 经过两条直线 l1:x+2y=0 与 l2:3x-4y-
π 10=0 的交点,且与直线 l3:5x-2y+3=0 的夹角为 ,求直线 4 l 的方程.

π 【思路分析】 先求 l1 与 l2 的交点,再利用 l 与 l3 的夹角为 , 4 求 l 的斜率,通过点斜式可得 l 的方程.

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【解】

?x+2y=0 ?x=2 ? ? 由? ,得? , ? ? ?3x-4y-10=0 ?y=-1

即 l1 与 l2 的交点为 Q(2,-1). 设所求直线 l 的斜率为 k, 5 k- 2 π 则 tan = 5 ,即|2k-5|=|2+5k|, 4 1+ k 2 7 3 ∴k=- 或 k= . 3 7 7 3 ∴所求直线方程为 y+1=- (x-2)或 y+1= (x-2). 3 7 即 7x+3y-11=0 或 3x-7y-13=0.

? ? ?

? ? ?

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【思维总结】 根据题意所求直线为两条,与 l3 形成等腰直角 三角形,也可用“到角”公式.

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考点3

距离问题

应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式处理问题 时,直线方程应化为一般式,特别是两平行线间的距离公式

中x、y系数必须相等.

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例3

已知点P(2,-1).

(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程;
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离 是多少? 【思路分析】 系数即可. 设出直线方程,利用点到直线的距离公式求

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【解】

(1)①当 l 的斜率 k 不存在时显然成立,

∴l 的方程为 x=2; ②当 l 的斜率 k 存在时, 设 l 的方程为:y+1=k(x-2),即 kx-y-2k-1=0. |-2k-1| 3 由点到直线距离公式得 =2,∴k= , 2 4 1+k ∴l 的方程为:3x-4y-10=0. 故所求 l 的方程为 x=2 或 3x-4y-10=0.

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(2)作图可得过 P 点与原点 O 距离最大的直线是过 P 点且与 PO 垂直的直线,由 l⊥OP,得 klkOP=-1, 1 所以 kl=- =2. kOP 由直线方程的点斜式得 y+1=2(x-2),即 2x-y-5=0. 即直线 2x-y-5=0 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线,最 |-5| 大距离为 = 5. 5 【思维总结】 在(1)中易丢掉方程x=2,在(2)中可借助直角

三角形斜边与直角边的关系说明.
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跟踪训练 1.(2012· 高考浙江卷)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最 小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线 l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距 离,则实数a=________.

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解析:因曲线 C2:x2+(y+4)2=2 到直线 l:y=x 的距离为 0-?-4? - 2=2 2- 2= 2,则曲线 C1 与直线 l 不能相交, 2 即 x2+a>x,∴x2+a-x>0. 设 C1:y=x2+a 上一点为(x0,y0), |x0-y0| -x0+x2 +a 0 则 点 (x0 , y0) 到 直 线 l 的 距 离 d = = = 2 2

?x0-1 ?2+a-1 2? ? 4 4a-1
2
9 答案: 4



9 = 2,所以 a= . 4 4 2

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考点4

关于直线的对称性

关于直线的对称性主要是以直线为对称轴,研究点与点的对

称,直线与直线的对称.

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例4

已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),求:

(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标;

(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程.
【思路分析】 (1)直线l为线段AA′的垂直平分线,利用垂直

关系,中点坐标公式解方程组求出A′点坐标;
(2)转化为点关于直线的对称.

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【解】

(1)设 A′(x,y),再由已知

? ? ? x-1 y-2 ?2× 2 -3× 2 +1=0. ?
y+2 2 ·=-1, x+1 3

? 解得? 4 ?y=13.

33 x=- , 13

∴A′(-

33 4 , ). 13 13

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(2)在直线 m 上取一点如 M(2,0), M(2,0)关于直线 l 的对称点 则 必在 m′上,设对称点为 M′(a,b),

? ? 则? b-0 2 ?a-2×3=-1. ?

a+2 b+0 2× -3× +1=0, 2 2

6 30 ∴M′( , ). 13 13

?2x-3y+1=0, ? 设 m 与 l 的交点为 N,由? 得 N(4,3). ?3x-2y-6=0, ?

又∵m′经过点 N(4,3),∴方程为 9x-46y+102=0.

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【思维总结】

以上解法都是转化为点的对称性求解.对于

(2)也可用到角公式求斜率.

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跟踪训练
2.在本例条件下,求直线l关于点A(-1,-2)对称的直线 l′的方程.
解:由题意可知:l∥l′. 设 l′的方程为 2x-3y+n=0 点 A 到 l 与 l′的距离相等. |2×?-1?-3×?-2?+1| |2×?-1?-3×?-2?+n| ∴ = 2 2 2 +?-3? 22+?-3? 2 即|n+4|=5,∴n=1(舍),n=-9 ∴l′的方程为:2x-3y-9=0.

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方法感悟
方法技巧
1.判定直线的位置关系,一般是要么转化为斜截式,判断斜 率与截距的关系,要么转化为一般式,利用系数的运算. 2.待定直线方程时,可利用直线系: (1)与直线 Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线系方程为 Ax +By+C1=0(A2+B2≠0 且 C1≠C). (2)与直线 Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线系方程为 Bx -Ay+C1=0. (3)过两直线 A1x+B1y+C1 =0(A2 +B2 ≠0),A2x+B2y+C2= 1 1 0(A2 +B2 ≠0)的交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+ 2 2 B2y+C2)=0(但不包含直线 A2x+B2y+C2=0). 3.关于直线的对称性问题,一般转化为点的对称性来解决.
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失误防范
1.判定两直线平行与垂直的关系时,如果给出的直线方程中 存在字母系数,不仅要考虑斜率存在的情况,还要考虑斜率 不存在的情况. 2.注意两直线形成的角中,到角与夹角的区别与联系,当斜 率不存在时,不能用公式求解,而要考虑数形结合来求.

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考向瞭望把脉高考
命题预测 两直线的位置关系主要是平行、垂直、相交,教材中通过平

行、垂直关系的引入,得出平行线间的距离及点到直线的距
离.命题者抓住这个契机,将两个距离公式作为命题点,试 题多以选择题、填空题的形式出现,但一般不单独命题,常

与圆综合,切线问题还常与导数综合.
2011年高考中,在本知识点上单独命题的有浙江卷、安徽 卷.多数试卷中与圆结合的题目较多,大纲全国卷求两点间

的距离,天津卷求在参数方程条件下圆的半径r,

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上海卷以直线(线段)为背景命制了创新型题目.综合考查学生

分析问题解决问题的能力,这种新定义题目作为压轴题是题
目命制的新动向,应引起注意.2012年高考中,浙江卷考查了

点到直线的距离.重庆卷则考查了直线与圆的位置关系及点
到直线的距离.

预测2014年的高考对本节的考查仍从最基础的知识命题,注
重与圆的综合.
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规范解答 例

(本题满分18分)(2011· 高考上海卷)已知平面上的线段l

及点P,在l上任取一点Q,线段PQ长度的最小值称为点P到线 段l的距离,记作d(P,l). (1)求点P(1,1)到线段l:x-y-3=0(3≤x≤5)的距离d(P,l). (2)设l是长为2的线段,求点集D={P|d(P,l)≤1}所表示的图

形面积.

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(3)写出到两条线段l1,l2距离相等的点的集合Ω={P|d(P,l1)= d(P,l2)},其中l1=AB,l2=CD,A,B,C,D是下列三组点 中的一组.对于下列三组点只需选做一种,满分分别是①2分, ②6分,③8分;若选择了多于一种的情形,则按照序号较小

的解答计分.
①A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,0). ②A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,-2). ③A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0).

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【解】

(1)设 Q(x,x-3)是线段 l:x-y-3=0(3≤x≤5)上一

点,则|PQ|= ?x-1? 2+?x-4?2 ?x-5 ?2+9(3≤x≤5), = 2 ? 2? 2 当 x=3 时,d(P,l)=|PQ|min= 5.(4 分) (2)设线段 l 的端点分别为 A,B,以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的中点为坐标原点建立直角坐标系, 则 A(-1,0),B(1,0),点集 D 由如下曲线围成,如图①.

图①
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l1:y=1(|x|≤1),l2:y=-1(|x|≤1), C1:(x+1)2+y2=1(x≤-1), C2:(x-1)2+y2=1(x≥1), 其面积为 S=4+π.(10 分) (3)①选择 A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,0), Ω={(x,y)|x=0},如图②.(12 分) ②选择 A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,-2), Ω={(x,y)|x=0,y≥0}∪{(x,y)|y2=4x,-2≤y<0}∪{(x,y)|x +y+1=0,x>1}.如图③.(15 分)

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③选择 A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0), Ω={(x,y)|x≤0,y≤0}∪{(x,y)|y=x, 0<x≤1}∪{(x,y)|x2=2y-1, 1<x≤2}∪{(x,y)|4x-2y-3=0,x>2},如图④.(18 分)

图②

图③

图④

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【名师点评】

本题是以直线(线段)的方程为背景命制的一道

新定义型综合创新题,综合考查了学生分析问题、解决问题 的能力,正确理解新定义,依据点到直线的距离、动点到定 点的距离、抛物线的定义及集合的运算等知识作为基础,才 能正确解答此题.

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