高中数学必修4:第二章《平面向量》测试(5)(新人教A版必修4)


第二章
一、选择题

平面向量 单元测试
) D. a ? 2b ? 0

1.若三点 A(2,3), B(3, a), C (4, b) 共线,则有( A. a ? 3, b ? ?5 B. a ? b ? 1 ? 0

C. 2a ? b ? 3

2.设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP 1 ? ?cos? , sin ? ? ,

OP2 ? ?2 ? sin ? , 2 ? cos ? ? ,则向量 P 1P 2 长度的最大值是(
A. 2 B. 3 C. 3 2 3.下列命题正确的是( ) A.单位向量都相等 D. 2 3



? ? C. | a ? b | ?| a ? b | ,则 a ? b ? 0 ? ? D.若 a 0 与 b0 是单位向量,则 a0 ? b0 ? 1 ? ? ? ? 0 4.已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 a ? 3b ? (
A. 7 B. 10 C. 13 D. 4

B.若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 是共线向量(





5.已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ? 4, 且 a ? b ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为 A.

?

?

?

?

? ?

?

?

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2
) D. ( 4,2) 或 (?4,?2)

6.若平面向量 b 与向量 a ? (2,1) 平行,且 | b |? 2 5 ,则 b ? ( A. ( 4,2) B. (?4,?2) C. (6,?3)

二、填空题
1.已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ,向量 b ? ( 3, ?1) ,则 2a ? b 的最大值是

?

?

?

?



2.若 A(1, 2), B(2,3), C( ?2,5) ,试判断则△ABC 的形状_________. 3.若 a ? (2, ?2) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标为__________。 4.若向量 | a |? 1,| b |? 2,| a ? b |? 2, 则 | a ? b |?

?

?

?

?

? ? ?

? ?
?



b ? 5 ,则向量 b ? ______。 5.平面向量 a, b 中,已知 a ? (4, ?3) , b ? 1 ,且 a?
三、解答题

? ?

-1-

1.已知 a, b , c 是三个向量,试判断下列各命题的真假.

? ? ?

(1)若 a ? b ? a ? c 且 a ? 0 ,则 b ? c

? ?

? ?

?

?

?

? ? ?

(2)向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 a cos? ( ? 是 a 与 b 的夹角), 方向与 a 在 b 相 同或相反的一个向量.

?

?

?

?

?

2.证明:对于任意的 a, b, c, d ? R ,恒有不等式 (ac ? bd )2 ? (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 )

3.平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

?

?

1 3 ) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ,使 2 2

? ? ? ? ? ? ? ? x ? a ? (t 2 ? 3)b , y ? ?ka ? tb , 且 x ? y ,试求函数关系式 k ? f (t ) 。

4.如图,在直角△ABC 中,已知 BC ? a ,若长为 2 a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ 与BC 的夹角 ? 取何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值。

-2-

, ? ?? ?

?
2

第二章
一、选择题 1.C

平面向量

答案

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? (1, a ? 3), AC ? (2, b ? 3), AB // AC ? b ? 3 ? 2a ? 6, 2a ? b ? 3

2.C

???? ? PP 1 2 ? (2 ? sin ? ? cos? ,2 ? cos ? ? sin ? ),
???? ? PP 2(2 ? cos ? )2 ? 2sin 2 ? ? 10 ? 8cos ? ? 18 ? 3 2 1 2 ?

3.C

单位向量仅仅长度相等而已,方向也许不同;当 b ? 0 时, a 与 c 可以为任意向量;

?

?

| a ? b | ?| a ? b | ,即对角线相等,此时为矩形,邻边垂直;还要考虑夹角
4.C 5.C

? ? ? ? ? ? a ? 3b ? a 2 ? 6a ? b ? 9b 2 ? 1 ? 6cos 600 ? 9 ? 13 ? ? a? b 2 1 ? cos ? ? ? ? ? ? ,? ? 3 a b 4 2

6.D 设 b ? ka ? (2k , k ), ,而 | b |? 2 5 ,则 5k 2 ? 2 5, k ? ?, b ? (4, 2), 或(?4, ?2) 二、填空题 1. 4

?

?

?

?

? ? 2a ? b? ( 2 c ? os ?

3, 2 ?? sin

? ? a ? 1 )b ,? 2 ?

? ? 8? 8 s ?i n ( ?
3

)

16

4

-3-

2.直角三角形

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? A B? ( 1, 1 )A ,C ? ?( 3 , 3 A ? )B , AC ? 0 A? ,B A C

3. (

2 2 2 2 , ), 或(? ,? ) 2 2 2 2
设所求的向量为 ( x, y), 2 x ? 2 y ? 0, x ? y ? 1, x ? y ? ?
2 2

2 2

4.

6

由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得

?2 ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?2 ? ?2 ?2 a ? b ? a ? b ? 2 a ? 2 b ? a ? b ? 2 a ? 2 b ? a ? b ? 2 ? 2? 4 ? 4 ? 6
5. ( , ? ) 三、解答题 1.解: (1)若 a ? b ? a ? c 且 a ? 0 ,则 b ? c ,这是一个假命题

4 5

3 5

设 b ? ( x, y ), 4 x ? 3 y ? 5, x ? y ? 1, x ?
2 2

?

4 3 ,y?? 5 5

? ?

? ?

?

?

?

?

因为 a ? b ? a ? c , a ? (b ? c ) ? 0 ,仅得 a ? (b ? c )

? ?

? ? ? ? ?

?

? ?

(2)向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 a cos? ( ? 是 a 与 b 的夹角), 方向与 a 在 b 相 同或相反的一个向量.这是一个假命题

?

?

?

?

?

?

?

因为向量 a 在 b 的方向上的投影是个数量,而非向量。

?

?

2.证明:设 x ? (a, b), y ? (c, d ) ,则 x ?y ? ac ? bd , x ? 而 x ?y ? x y cos ? , x ?y ? x y cos ? ? x y 即 x?y ? x y ,得 ac ? bd ?

?

?

? ?

?

? a 2 ? b2 , y ? c2 ? d 2

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

a 2 ? b2 c 2 ? d 2

?(ac ? bd )2 ? (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 )
3.解:由 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

?

?

? ? ? ? 1 3 b ? 0, a ? 2, b ? 1 ) 得 a? 2 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [a ? (t 2 ? 3)b ]? (?ka ? tb ) ? 0, ?ka 2 ? ta? b ? k (t 2 ? 3)a? b ? t (t 2 ? 3)b 2 ? 0
?4k ? t 3 ? 3t ? 0, k ? 1 3 1 (t ? 3t ), f (t ) ? (t 3 ? 3t ) 4 4

-4-

4. 解:? AB ? AC,? AB ? AC ? 0.

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ? AP ? ? AQ, BP ? AP ? AB, CQ ? AQ ? AC , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ? BP ? CQ ? ( AP ? AB) ? ( AQ ? AC )

? AP ? AQ ? AP ? AC ? AB ? AQ ? AB ? AC ? ?a 2 ? AP ? AC ? AB ? AP ? ?a 2 ? AP ? ( AB ? AC) 1 ? ?a 2 ? PQ ? BC 2 1 ? ?a 2 ? PQ ? BC 2 2 ? ?a ? a 2 cos? .

故当cos? ? 1,即? ? 0(PQ与BC方向相同 )时, BP ? CQ最大.其最大值为 0.

-5-


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