【赢在课堂】2016高考数学 3.4反证法课件 北师大版选修1-2


§3.4 反证法

学习目标 1.了解反证法是间接证明的一 种基本方法; 2.了解反证法的思考过程、特点; 3.会用反证法证明一些简单的数学 问题.

思维脉络

反证法 1.概念 在证明数学命题时,先假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推出 的结果与定义、公理、定理相矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假 定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立.由此断定命题的结论成立, 这种证明方法叫作反证法. 2.三个步骤 (1)反设→作出否定结论的假设. (2)推理→进行推理,导出矛盾. (3)结论→否定假设,肯定结论.

名师点拨
反证法的实质是否定结论导出矛盾,从而证明原命题正确.

练一练 1
命题“a,b 是实数,若|a-1|+|b-1|=0,则 a=b=1”用反证法证明时,应假 设 . 解析:“a=b=1”是“a=1 且 b=1”,又“p 且 q”的否定为“ p 或 q”, 所以“a=b=1”的否定为“a≠1 或 b≠1”. 答案:a≠1 或 b≠1

练一练 2
用反证法证明命题“若 x2-(a+b)x+ab≠0,则 x≠a 且 x≠b”时,应假 设 . 答案:x=a 或 x=b

探究一

探究二

探究三

探究四

探究一用反证法证明否定性命题
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题,此 类问题的正面比较模糊,而反面比较具体,适合使用反证法.

探究一

探究二

探究三

探究四

典例提升 1
已知三个正数 a,b,c 成等比数列,但不成等差数列,求证: , , 不成 等差数列. 思路分析:此题为否定形式的命题,可用反证法并结合等差中项、等比 中项的定义来证明. 证明:假设 , , 成等差数列, 则 + =2 ,即 a+c+2 =4b. ∵b2=ac,∴b= ,∴a+c+2 =4 . ∴( ? )2=0,即 = , 从而 a=b=c,与 a,b,c 不成等差数列矛盾, 故 , , 不成等差数列.

探究一

探究二

探究三

探究四

变式训练 1 设{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和. (1)求证:数列{Sn}不是等比数列. (2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么? (1)证明:(反证法)假设{Sn}是等比数列, 2 2 则2 =S1S3,即1 (1+q)2=a1· a1(1+q+q2). ∵a1≠0,∴(1+q)2=1+q+q2,即 q=0,与 q≠0 矛盾, 故{Sn}不是等比数列. (2)解:当 q=1 时,{Sn}是等差数列. 当 q≠1 时,{Sn}不是等差数列. 假设当 q≠1 时,{Sn}是等差数列, 则 S1,S2,S3 成等差数列,即 2S2=S1+S3, ∴2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2). ∵a1≠0,∴2(1+q)=2+q+q2,∴q=q2. ∵q≠1,∴q=0,与 q≠0 矛盾. ∴当 q≠1 时,{Sn}不是等差数列.

探究一

探究二

探究三

探究四

探究二用反证法证明结论中含有“至多”“至少”类命题
在所证命题的结论中出现“至多”“至少”等词语时,由于所包含的情形较多, 直接证明较复杂且不易说清,因此常用反证法证明.常见结构词与反设词列 表如下:
原结 论词 反设词 等于 (= ) 不等 于(≠) 大于 (> ) 不大 于(≤) 小于 (< ) 不小 于(≥) 对任 对所有 意x不 x 成立 成立 存在某 存在 个 x 不 某个 x 成立 成立 至少 一个 至多 一个

一个都 至少 没有 两个

探究一

探究二

探究三

探究四

典例提升 2

已知 a,b,c 均为实数,且 a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ , 求证:a,b,c 中至少有一个大于 0. 思路分析:这是“至少”型命题,故用反证法,假设 a,b,c 三个数都不大于 0,即 a≤0,b≤0,c≤0,然后通过推理得出矛盾. 证明:假设 a,b,c 都不大于 0, 即 a≤0,b≤0,c≤0, 得 a+b+c≤0, 而 a+b+c=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3≥π-3>0,即 a+b+c>0,与 a+b+c≤0 矛盾, 所以 a,b,c 中至少有一个大于 0.

π 2

π 3

π 6

探究一

探究二

探究三

探究四

变式训练 2 已知 f(x)=x2+ax+b. 求证:(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2. 1 (2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 . 2

探究一

探究二

探究三

探究四

证明:(1)f(1)+f(3)-2f(2) =(1+a+b)+(9+3a+b)-2(4+2a+b)=2. 1 (2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 ,
1 1 1 2 2 2 1 1 1 由|f(1)|< ,得- <1+a+b< . 2 2 2 1 1 1 由|f(2)|< ,得- <4+2a+b< . 2 2 2 1 1 由①,得- <-1-a-b< . 2 2 2

即|f(1)|< ,|f(2)|< ,|f(3)|< .

① ② ③

由②③,得-1<3+a<1, 所以-4<a<-2. 这与|f(3)|< 矛盾.
1 2

所以 f(3)=9+3a+b=f(2)+5+a>- +5-4= , 所以假设不成立,原命题成立.

1 2

1 2

探究一

探究二

探究三

探究四

探究三用反证法证明唯一性命题
当证明结论以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的 命题时,由于反设结论易于推出矛盾,故常用反证法证明.

探究一

探究二

探究三

探究四

典例提升 3
用反证法证明:过已知直线 a 外一点 A 有且只有一条直线 b 与已知直 线 a 平行. 思路分析:由平行直线的定义可知过直线外一点至少可以作一条已知 直线的平行线.而“只有一条”可通过假设过点 A 有两条直线与直线 a 平行, 由平行公理推出与假设矛盾. 证明:由两条直线平行的定义和几何图形可知,过点 A 至少有一条直线 b 与直线 a 平行.假设过点 A 还有一条直线 b'与已知直线 a 平行,即 b∩b'=A,b' ∥a.因为 b∥a,由平行公理知 b'∥b.这与假设 b∩b'=A 矛盾,所以假设错误, 原命题成立.

探究一

探究二

探究三

探究四

变式训练 3 已知一点 A 和平面 α.求证:经过点 A 只能有一条直线和平 面 α 垂直. 证明:如图,点 A 在平面 α 外,假设经过点 A 至少有平面 α 的两条垂线 AB,AC(B,C 为垂足),那么 AB,AC 是两条相交直线,它们确定一个平面 β,平面 β 和平面 α 相交于直线 BC.因为 AB⊥平面 α,AC⊥平面 α,BC?α,所以 AB⊥ BC,AC⊥BC.

在平面 β 内经过点 A 有两条直线都和 BC 垂直,这与平面几何中“经过 直线外一点只能有已知直线的一条垂线”相矛盾. 故经过一点 A 只能有一条直线和平面 α 垂直.

探究一

探究二

探究三

探究四

探究四易错辨析
易错点:应用反证法时不能准确地否定结论

探究一

探究二

探究三

探究四

典例提升 4
用反证法证明命题“若 ab 不是偶数,则整数 a,b 都不是偶数”时,应假设 为 . 错解:整数 a,b 不都是偶数. 错因分析:整数 a,b 不都是偶数包括的情况是:①a 是偶数,b 是奇数;②a 是奇数,b 是偶数;③a,b 都是奇数.显然,否定的结论并不是结论的对立面,所 以不正确.题目中“整数 a,b 都不是偶数”即“整数 a,b 都是奇数”. 正解:整数 a,b 不都是奇数.

1

2

3

4

5

1.异面直线在同一平面内的射影不可能是( ) A.两条平行直线 B.两条相交直线 C.一个点与一条直线 D.同一条直线 解析:假设两条直线在同一平面的射影是同一直线,则这两条直线的位置关 系为平行或相交或重合,这均与两直线异面矛盾,故异面直线在同一平面中 的射影不可能为一条直线. 答案:D

1

2

3

4

5

2.命题“关于 x 的方程 ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是( A.无解 B.两解 C.至少有两解 D.无解或至少有两解 答案:D

)

1

2

3

4

5

3.用反证法证明命题“a,b∈N,如果 ab 可以被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个 能被 5 整除”时,假设的内容是 . 答案:a,b 都不能被 5 整除

1

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4

5

4.用反证法证明“在一个三角形中,至少有一个内角大于或等于 60°”的过 程如下: 已知:△ABC 的三个内角 A,B,C. 求证:A,B,C 中至少有一个大于或等于 60°. 证明:假设 , 则 A+B+C<60°+60°+60°=180°, 这与 矛盾,因此假设不成立,原命题正确. 答案:A,B,C 都小于 60°,即 A<60°,B<60°,C<60° 三角形的内角和是 180°

1

2

3

4

5

5.设 x,y 均是正实数,且 x+y>2,求证: 证明:反证法:假设 则
1+ ≥2 1+ 1+ <2 和 <2 1+ 且 ≥2 .

1+ <2



1+ <2

中,至少有一个成立.

都不成立,

∵x,y 都是正实数,

1 + ≥ 2, ∴ 相加得 2+x+y≥2(x+y),∴x+y≤2,与 x+y>2 矛盾. 1 + ≥ 2, ∴假设不成立,原命题结论正确.


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