宁夏育才中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理


宁夏育才中学 2015-2016-1 高二年级期末考试 数学(理科)试卷
(试卷满分 150 分,考试时间为 120 分钟) 命题人: 一.选择题(本题共 12 题,每个题目只有一个正确选项,每题 5 分,共 60 分) 。 1. 已知椭圆 离( ) A. 2 B. 3
25 9

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 , 则 P 到另一焦点距 25 16
C. 5 D. 7
y2 x2 ? ? 1 一定有相同的 25 ? K K ? 9

2 2 2 . K 为小于 9 的实数时,曲线 x ? y ? 1 与曲线

(

) A.焦距 B.准线 C.顶点 D.离心率

3 . 动 点 P 到 点 M (1,0) 及 点 N (3,0) 的 距 离 之 差 为 2 , 则 点 P 的 轨 迹 是 ( ) A.双曲线
?

B.双曲线的一支
?
?

C.一条射线
? ? ?

D.两条射线

4 .已知向量 a ? (1,1,0), b ? (?1,0,2) ,且 k a ? b 与 2 a ? b 互相垂直,则 k 的值为 ( ) A.1 5.若曲线 ( ) A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0 C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0 B.

1 5

C.

3 5

D.

7 5

y ? x 4 的 一 条 切 线 l 与 直 线 x+4y-8=0 垂 直 , 则 l 的 方 程 为

6 . 实 半 轴 长 等 于 2 5 , 并 且 经 过 点 B(5,?2) 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 是 ( A . )

x2 y2 x2 y2 ? ?1 或 ? ?1 20 16 16 20

B .

x2 y2 ? ?1 5 16

C .

x2 y2 ? ?1 20 16

D.

x2 y2 ? ?1 16 20

2 2 7.已知动点 P( x, y ) 满足 x ? ( y ? 3) ?

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10 ,则动点 P 的轨迹是



) A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.线段

8 . 在 正 方 体 ABCD - A1 B1C1 D1 中 , 求 直 线 A1 B 和 平 面 A1 B1CD 所 成 的 角 为

1



) A.

? 12
若 )

B.

? 6


C. 足

? 4

D. ,

? 3

9

. (

f(x ) ? ax 4 ? bx 2 ? c
B. 2 . 下 列

f ?(1) ? 2



f? (?1) ?

A.-4 10 ( )

C. -2 命 题 正 确

D.4 的 是

A. 到 x 轴距离为 5 的点的轨迹是 y=5 B. 方程

x ? 1 表示的曲线是直角坐标平面上第一象限的角平分线 y

C. 方程(x ?

y )2 ? (xy ? 1)2 ? 0 表示的曲线是一条直线和一条双曲线

D. 2 x 2 ? 3 y 2 ? 2 x ? m ? 0 通过原点的充要条件是 m=0 11.曲线 y ?

x 在点 ?1,1? 处的切线方程 为( 2x ?1
B. x ? y ? 2 ? 0
2

) D. x ? 4 y ? 5 ? 0

A. x ? y ? 2 ? 0

C. x ? 4 y ? 5 ? 0

12.若直线 y=kx-2 与抛物线 y =8x 交于 A,B 两个不同的点,且 AB 的中点的横坐 标为 2, 则 ( ) A.2 B.-1 C.2 或-1 D.1± 5

k



二.填空题(本题共 4 道题,每题 5 分,共 20 分) 。 13 .若曲线 y ? x ? ax ? b 在点 (0,b ) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则 a=_____;
2

b=_____; 14.以等腰直角△ ABC 的两个底角顶点为焦点,并且经过另一顶点的椭圆的离心率为 ________. 15.已知 f ( x) ? x ? 3xf ?(2), 则 f ?(2) ?
2



x2 y2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 、 F2 的连线互相垂直,则△ 16.椭圆 25 9

PF1 F2 的面积为



2

三.解答题(本题共 6 道小题,共 70 分) 。 17.(本小题满分 10 分) 请用函数求导法则求出下列函数的导数。 (1) y=e
sin x

(2)y=

x+3 x+2

(3) y ? ln(2x ? 3) (5) y ? cos( 2x ?

(4) y ? (x

2

? 2)(2x ? 1)

?
3

)

18.(本小题满分 12 分) 如图所示, 正方体 ABCD ? M、 N、 E、 F 分别是棱 A1B 1 , A1B 1C 1D 1 中,

用空间向量方法 证明: 平面 AMN∥平面 EFDB。 A1D 1 ,B 1C 1 , C 1D 1 的中点,

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=x +x-16. (1 ) 求满足斜率为 4 的曲线的切线方程; (2) 求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (3) 直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原 点,求直线 l 的方程.
3

20. (本小题满分 12 分)
2 2 已知动圆 P 与圆 F 且与圆 F2 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1相内切, 1 : ( x ? 3) ? y ? 81 相切,

记圆心 P 的轨迹为曲线 C ,求曲线 C 的方程;

3

21. (本小题满分 12 分) 已知正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? 2, AA 1 ? 4. (Ⅰ)求证: BD ? AC 1 ; (Ⅱ)求钝二面角 A ? AC 1 ?D 1 的余弦值;

? 平面 PBD ,若存在, (Ⅲ)在线段 CC1 上是否存在点 P ,使得平面 ACD 1 1
求出

CP 的值;若不存在,请说明理由. PC1

22. (本题满分 12 分) 已知椭圆 5x 2 ? 9 y 2 ? 45 ,椭圆的右焦点为 F, (1)求过点 F 且斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长. (2)求以 M(1,1)为中点的椭圆的弦所在的直线方程. (3)过椭圆的右焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A,B,求弦 AB 的中点 P 的轨迹方程.

4

宁夏育才中学 2015-2016-1 高二年级期中考试 数学(理科)答题卷 (试卷满分 150 分,考试时间为 120 分钟) 一.选择题(满分 60 分) 1 D 2 A 3 C 4 D 5 A 6 C 7 B 8 B 9 C 10 D 11 B 12 A 命题人:

二.填空题(满分 20 分) 13. 15. a=1 -2 b=1 14.

2 2

16. 9

三.解答题(满分 70 分) 17.(本题满分 10 分) 解:(1) y ? ? e sin x cos x (2) y ? ?

( x ? 3)?( x ? 2) ? ( x ? 3)(x ? 2)? 1 ?? 2 ( x ? 2) ( x ? 2) 2
2 2x ? 3

(3) y ? ? ln( 2 x ? 3) ? (4)

y? ? ( x 2 ? 2)?(2x ? 1) ? ( x 2 ? 2)(2x ? 1)? ? 2x(2x ? 1) ? 2( x 2 ? 2) ? 6x 2 ? 2x ? 4
(5) y ? ? ?2 sin( 2 x ?

?
3

)

18.(本题满分 12 分) 证明:以 D 为坐标原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立空间直角坐 标,设正方体棱长为 2,各点坐标如下:A(2,2,0),B(2,2,0),E(1,2,2), F(0,1,2),M(2,1,2),N(1,0,2).

5

设平面 AMN 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , AM ? (0,1,2) , MN ? (?1,?1,0)

?

? AM ? n1 ? y1 ? 2 z1 ? 0 ? n1 ? (2,?2,1) ? ? AN ? n1 ? ? x1 ? y1 ? 0
设平面 EFDB 的法向量为 n2 ? ( x2 , y 2 , z 2 ) , DE ? (1,2,2) , DF ? (0,1,2)

?DF ? n2 ? y 2 ? 2 z 2 ? 0 ? n1 ? (2,?2,1) ? ?DE ? n2 ? x2 ? 2 y 2 ? 2 z 2 ? 0
可知 n1 ? n2 ,即平面 AMN//平面 EFDB,得证。

19.(本题满分 12 分) 解: (1)设切点坐标为 ( x0 , y0 ) ,由已知得 f ?( x0 ) ? k切 ? 4 即 3x0 ? 1 ? 4
2

x0 ? 1, -1
切点为(1,-14)时,切线方程为: y ? 14 ? 4(x - 1) ,即 4x-y-18=0 切点为(-1,-18)时,切线方程为: y ? 18 ? 4(x ? 1) ,即 4x-y-14=0

(2)由已知得:切点为(2,-6) ,k 切 ? f ?(2) ? 13 ,则切线方程为 y ? 6 ? 13(x? 2) 即 13x ? y ? 32 ? 0

(3) 设切点坐标为 ( x0 , y0 ) , 由已知得 f ?( x0 ) ? k 切 ? 3x0 ? 1 , 且 y0 ? x0 ? x0 ? 16
2 3

切线方程为: y ? y0 ? k ( x ? x0 )

y ? ( x0 ? x0 ? 16) ? (3x0 ? 1)(x ? x0 )

3

2

(0,0)带入得 x0 ? ?2, y0 ? ?26

求得切线方程 为: y ? 26 ? 13( x ? 2) ,即 13x-y=0。

20. (本题满分 12 分) 解:由已知: F1 (?3,0) , r1 ? 9 ; F2 (3,0) , r2 ? 1 ,设所求圆圆心 P(x,y) ,半径 为 r。 作图可得 ?

? ? PF1 ? 9 ? r ,则有 PF 1 ? PF 2 ?8?6? F 1 F2 ? ? PF2 ? r ? 1

即点 P 在以 F1 (?3,0) 、 F2 (3,0) 为焦点,2a=8,2c=6 的椭圆上

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 16 ? 9 ? 7
6

x2 y2 则 P 点轨迹方程为: ? ?1 16 7

21.(本题满分 12 分) 解:以 D 点为坐标原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立空间 直角坐标系,各点坐标如下:A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0) A1(2,0,4),B1(2,2,4),C1(0,2,4),D1(0,0,4) (1) 证明:BD=(-2,-2,0), A1C=(-2,2,-4) BD ·A1C=--2 ? (-2)+(-2) ? 2+0 ? (-4)=0,即 BD ? A1C。

(2)解:设平面 AA1C 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) AA1=(0,0,4) ,AC=(-2,2,0)

? AA ? n1 ? 4 z1 ? 0 ? n1 ? (1,1,0) ? ? AC ? n1 ? ?2 x1 ? 2 y1 ? 0
设平面 A1C D1 的法向量为 n2 ? ( x2 , y 2 , z 2 ) , D1A1=(2,0,0) ,A1C =(-2,2,4)

?D1 A1 ? n2 ? 2 x2 ? 0 ? n2 ? (0,2,1) ? ? A1C ? n2 ? ?2 x2 ? 2 y 2 ? 4 z 2 ? 0 cos ? n1 , n2 ?? n1 ? n2 2 10 ? ? n1 ? n2 5 2? 5
10 5

即钝二面角 A-A1C- D1 的余弦值为 ?

(3)设点 P(0,2,m) (0 ? m ? 4) ,设平面 PBD 的法向量为 n0 ? ( x0 , y0 , z 0 ) DB=(2,2,0) DP=(0,2,m)

?DB ? n0 ? 2 x0 ? 2 y 0 ? 0 ? n0 ? (m,?m,2) ? ?DP ? n0 ? 2 y 0 ? m z0 ? 0
? 平面 PBD 得: n0 ? n2 ? 0 可得 m=1 由平面 ACD 1 1
综上:存在点 P,且满足

CP 1 ? PC1 3

22.(本题满分 12 分)

x2 y2 ? ? 1 ,右焦点为 F(2,0) 解:椭圆 5 x ? 9 y ? 45 ? 9 5
2 2

7

(1) 过点 F (2, 0) 且斜率为 1 的直线为 y=x-2, 设 l 与椭圆交于点 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y 2 )

?5 x 2 ? 9 y 2 ? 45 2 消去 y 得 14x ? 36x ? 9 ? 0 ? y ? x ? 2 ?
x1 ? x 2 ? 18 9 , x1 ? x 2 ? ? 7 14

AB ? 1 ? k 2

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2

?

30 7

(2) 设 l 与椭圆交于 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y 2 ) ,由已知得

x1 ? x2 y ? y2 ? 1, ? 1, 1 2 2

k?

y1 ? y 2 x1 ? x2
两 式 相 减 得 :

2 2 ? ?5 x1 ? 9 y1 ? 45 ? 2 2 ? ?5 x2 ? 9 y 2 ? 45

5( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 9( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0

? y1 ? y 2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 9( y1 ? y 2 )? ?x ?x ? ??0 2 ? ? 1
5 ? 9k ? 0
L 方程为 y-1= ? 即k ? ?

5 9

5 (x-1) 即 5x+9y-14=0 9

x ? x2 ? x? 1 ? ? 2 (3) 设点 P(x,y) ,A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y 2 ) ,且 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 2 ?

k AB ? k FP 即 k ?

y1 ? y 2 y ? 0 ? x1 ? x2 x ? 2

2 2 ? ?5 x1 ? 9 y1 ? 45 两式相减得: 5( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 9( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0 ? 2 2 ? ?5 x2 ? 9 y 2 ? 45

? y1 ? y 2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 9( y1 ? y 2 )? ?x ?x ? ??0 2 ? ? 1
? y ? 5 x ? 9 y? ??0 ? x ?2?
整理得: 5x ? 9 y ? 10x ? 0
2 2

8

AB 中点的轨迹方程为 5x 2 ? 9 y 2 ? 10x ? 0

9


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