辽宁省实验中学分校2015-2016学年高二数学下学期阶段性测试试题理(新)


辽宁省实验中学分校 2015-2016 学年度下学期阶段性测试 数学学科 高二年级

第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.知复数 z ? a 2 ? 1 ? ?a ? 2?i?a ? R? ,则“ a ? 1 ”是“ z 为纯虚数”的 A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

?

?





2.在一组样本数据 ?x1 , y1 ?, ?x2 , y2 ? ,?, ? xn , yn ? ( n ? 2, x1 , x2 , ,?, xn 不全相等) 的散点图中,若所有样本点 ?xi , yi ?(i=1,2,?, n )都在直线 y ? ? 样本数据的样本相关系数为 A.-1 B.-

1 x ? 1 上,则这组 3
( )

1 3
?x ?0

C.1

D.

1 3

3.设 f (x) 存在导函数且满足 lim 处的切线的斜率为 A.-1 B.-2

f ?1? ? f ?1 ? 2?x ? ? ?1 , 则曲线 y ? f ?x ? 上的点 (1,f ?1? ) ?x
( C.1 D. )

1 2

2 4.设随机变量ξ 服从正态分布 N(1,? ) ,若 p (ξ <2)=0.8,则 p (0<ξ <1)的值为



) B.0.4 C.0.3 D.0.2 ( )

A.0.6

5.已知随机变量 X 的取值为 0, 1, 2, 若 p(X=0) =

1 , E (X) =1, 则D (X) = 5
D.

A.

2 5

B.

4 5

C.

2 3

4 3


x ?x 6.设 a ? R ,函数 f ?x ? ? e ? ae 的导函数为 f ?? x ? ,且 f ?? x ? 是奇函数,则 a = (

A.0

B.1

C.2

D.-1
1

7.若 n ?

1 ? ? x ? ? 的展开式中常数项为 ?0 2 xdx, 则 ? 2x ? ?
2

n





A.

1 2

B. -

1 2

C.

3 2

D. -

3 2

8.某 5 个同学进行投篮比赛,已知每个同学投篮命中率为 0.8,每个同学投篮 2 次,且投篮 之间和同学之间都没有影响.现规定:投中两个得 100 分,投中一个得 50 分,一个未中 得 0 分, 记 X 为 5 个同学的得分总和, 则 X 的数学期望为 A.400 B.200 C.100 D.80 ( )

9.已知 f ?? x ? 是定义在 R 上的函数 y ? f ?x ? 的导函数,且满足 f ?? x ? >1,则不等式

f ?x? ? 2 x ? 1 ? f ?3x ? 1? 的解集为
A. ? x | x ? ? ? B. ?x | x ? 1?





? ?

1? 2?

C. ?x | x ? ?1?

D. ?x | x ? 1?

10 将 3 本相同的小说,2 本相同的诗集全部分给 4 名同学,每名同学至少 1 本,则不同的分 法有 A.24 种 B.28 种 C.32 种 D.36 种 ( ) ( )

11.在区间[0,2]上随机取两个数 x , y ,则 0≤ xy ≤2 的概率是 A.

1 - ln 2 2

B.

3 - 2ln2 4

C.

1 ? ln 2 2

D.

1 ? 2 ln 2 2

12.已知函数 f ? x ? ? a ln x ? 值

1 2 x ? bx 存在极小值,且对于 b 的所有可能取值 f ?x ? 的极小 2
( C. - e D. ? )

恒大于 0,则 a 的最小值为 A. - e
3

B. - e

2

1 e

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

2

13.在复平面内,复数 z ?

3i 的共轭复数的虚部为 ? 1 ? 2i



14.从编号为 1,2,?10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个,已知选出 4 号球的条件下,选 出球的最大号码为 6 的概率为 ;

15.某台小型晚会由 6 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙 不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,则该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 种; 16.已知: ?x ? 2? ? a0 ? a1 ?x ?1? ? a2 ?x ?1? ??? a8 ?x ?1? ,其中 a i (i=0,1,2?8)
8 2 8

为实常数,则 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? 8a8 =



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本题满分 10 分 ) 在极坐标系下,已知圆 O: ? ? cos? ? sin ? 和直线 l: ? sin ?? ?

? ?

??

2 , ?? 4? 2

(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 ? ? ?0,? ? 时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标.

18.(本题满分 12 分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关, 对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的 2*2 列联表:

喜爱打篮球 男生 女生 合计 10

不喜爱打篮球 5

合计

50
3

己知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到不喜爱打篮球的学生的概率为 (1)请将上面的 2*2 列联表补充完整;

2 5

(2)是否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由: (3)己知喜爱打篮球的 10 位女生中,A1,A2,A3 还喜欢打乒乓球,B1,B2,B3 还喜欢打 羽毛球,C1,C2 还喜欢踢足球,现在从喜欢打乒乓球、喜欢打羽毛球、喜欢踢足球 的 8 位女生中各选出 1 名进行其他方面的调查,求 B1 和 C1 不全被选中的概率. (下面的临界值表供参考)

(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19.(本题满分 12 分) 某中学 篮球队进行了 4 次体能测试,规定:按顺 序测试,一旦测试合格就不必参加以后 的测试,否则 4 次测试都要参加;若王浩同学在 4 次测试中每次合格的概率组成一个公 差为

1 1 的等差数列,他第一次测试合格的概率不超过 ,且他直到第二次测试才合格的 5 2

概率为

8 ; 25

(1)求王浩同学第一次参加测试就合格的概率; (2)求王浩同学 参加测试的次数 X 的分布列和数学期望.
4

20.(本题满分 12 分) 在一次考试中,5 名同学数学 、物理成绩如下表所示: 学生 数学 (x 分) 物理 (y 分) A 89 87 B 91 89 C 93 89 D 95 92 E 97 93

(1) 根据表中数据,求物理分 y 对数学分 x 的回归方程: (2)要从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选出 2 名参加一项活动,以 X 表示选中的 同学中物理成绩高于 90 分的人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望.

?? (附:回归方程中 b

? ?x
n i ?1 n

i

? x yi ? y
i

??

?

? ?x
i ?1

?x

?

2

?x ) ? ? y ?b ,a

21.(本题满分 12 分) 已知函数 f ?x ? ? x ln x (1)求函数 f ?x ? 的极值; (2)设函数 g ?x ? ? f ?x ? ? k ?x ? 1? ,其中 k∈R,求函数 g ?x ? 在区间[1, e ]上的最大值.

5

22.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

x ln x 和 g ( x) ? m( x ? 1) (m ? R) . x ?1

(1)当 m =1 时,求方程 f ?x ? ? g ?x ? 的实根; (2)若对于任意的 x ? [1, ? ?), f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 m 的取值范围;

1007

(3)求证 :

? 4i
i ?1

2

4i ? ln 2015 . ?1

辽宁省实验中学分校 2015-2016 学年度下学期阶段性测试
6

数学学科答案 一、选择题 AADCA DCAAB CA

二、填空题 13.

3 5

14.

1 14

15.

42

16. 1024

三、解答题 17.解:(1)圆 O: ? ? cos? ? sin ? ,即 ? 2 ? ? cos? ? ? sin ?
2 2 2 2

圆 O 的直角坐标方程为:x +y =x+y,即 x +y -x-y=0.(2 分) 直线 l: ? sin ?? ?

? ?

??

2 ,即 ? sin ? ? ? cos? ? 1 ?? 4? 2

则直线 l 的直角坐标方程为:y-x=1,即 x-y+1=0.(5 分) (Ⅱ)由. 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为 18 .解: (1)表格填空如下: ( 8 分) . (10 分)

喜爱打篮球 男生 女生 合计 ?(4 分) 20 10 30

不喜爱打篮球 5 15 20

合计 25 25 50

50?20?15 ? 10? 5? (2)∵ K ? ≈8.333>7.879.?(6 分) 25? 25? 30? 20
2 2

∴有 99 .5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关.?(8 分) (3)用 M 表示“B1,C1 不全被选中”这一事件,
7

则其对立事件. M 表示“B1,C1 全被选中”这一事件,

p ( M )=

3 1 ? .?(10 分) 3? 3? 2 6
5 .?(12 分) 6

由对立事件的概率公式得 p (.M)=1? p ( M ) =

19.解析: (1)设王浩同学四次测试合格的概率依次为:

1 1 1 1 a, a ? , a ? 2 ? , a ? 3 ? ( a ? ) , 5 5 5 2
由题设知, (1 ? a)( a ? ) ? 解得, a ?

??????2 分

1 5

8 2 ,即 25a ? 20a ? 3 ? 0 , 25

1 3 1 或a ? ? (舍去), 5 5 2
1 ; 5
??????6 分

故王浩同学第一次参加测试就合格的概率为 (2)由题设知, X 取值为 1,2,3,4, 由(1)知, P ( X ? 1) ?

1 4 2 8 , P ( X ? 2) ? ? ? , 5 5 5 25

P ( X ? 3) ?

4 3 3 36 ? ? ? , 5 5 5 125
??????10 分

1 8 36 24 P( X ? 4) ? 1 ? ? ? ? , 5 25 125 125
则 X 的分布列为: ? P 1 2 3 4

1 5

8 25

36 125

24 125

∴ EX ? 1?

1 8 36 24 309 ? 2 ? ? 3? ? 4? ? , 5 25 125 125 125
309 . 125
????????12 分

即王浩同学参加测试的次数 X 的数学期望为

20.解: (1)由已知得. x =93, y =90?(2 分)

8

? ?x ? x? =40, ? ?x ? x ??y
5 2
5

i ?1

i

i ?1

i

i

? y =30

?

? ? 0.75, a ? ? 20.25, 物理分 y 对数学分 x 的回归方程为 b

? ? 0.75x ? 20.25 ??????6 分 y

(2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,
1 1 C22 1 C22 1 C2 C2 2 P(X=0)= 2 ? =16,P(X=1)= ? ,P(X=2)= 2 ? ?(9 分) C4 6 C4 6 C 42 3

故 X 的分布列为: X 0 1 2

P

1 6

2 3

1 6

∴E(X)=0×

1 2 1 +1× +2× =1.?(12 分) 6 3 6

21 解 (1)f′(x)=ln x+1(x>0). ??????1 分 1 -1 令 f′(x)≥0,得 ln x≥-1=ln e ,x≥ ; e

? 1? 令 f′(x)≤0,得 x∈?0, ?. ? e? ?1 ? 所以 f(x)的单调递增区间是? ,+∞?, ?e ? ? 1? 单调递减区间是?0, ?, ??????3 分 ? e?
f(x)的极小值为 f? ?=- . e f(x)无极大值. ??????4 分
9

?1? ? ?

1 e

(2)g(x)=xln x-k(x-1),则 g′(x)=ln x+1-k, 由 g′(x)=0,得 x=e 所以,在区间(0,e 在区间(e 当e
k-1 k-1 k-1 k-1



)上,g(x)为递减函数 ,

,+∞)上,g(x)为递增函数. ??????6 分

≤1,即 k≤1 时,在区间[1,e]上,g(x)为递增函数,

所以,g(x)的最大值为 g(e)=e-ke+k; ??????7 分 当 1<e
k-1

<e,即 1<k<2 时,

g(x)的最大值是 g(1)或 g(e),
e 由 g(1)=g(e),得 k= , ??????8 分 e-1 e 当 1<k< 时, g(e)=e-ek+k>0=g(1), e-1

g(x)最大值为 g(e)=e-ke+k,
当 e ≤k<2 时,g(e)=e-ek+k<0=g(1), e-1

g(x)最大值为 g(1)=0; ??????10 分
当e
k-1

≥e,即 k≥2 时,在区间[1,e]上,g(x)为递减函数,

所以 g(x)最大值为 g(1)=0. ??????11 分 e 综上,当 k< 时,g(x)最大值为 e-ke+k; e-1 e 当 k≥ 时,g(x)的最大值为 0. ??? ???12 分 e-1 22.解: (1)m=1 时, f ( x) ? g ( x)即
x ln x ? x ?1 x ?1

而 x > 0,所以方程即为 ln x ? x ?

1 ?0 x

??????1 分

10

1 1 1 ? x2 ? x ?1 令 h( x ) ? ln x ? x ? ,则 h '( x) ? ? 1 ? 2 ? ? x x x x2

1 3 ?[( x ? )2 ? ] 2 4 ?0, x2

而 h(1)=0,故方程 f(x)=g(x)有惟一的实根 x=1. ??????4 分
1 (2) ?x ?[1, ??), f ( x) ? g ( x),即ln x ? m( x ? ) , x 1 设 F ( x) ? ln x ? m( x ? ) ,即 ?x ? [1, ??), F ( x) ? 0 x

F '( x) ?

1 1 ?mx2 ? x ? m ? ???????????????5 分 ? m(1 ? 2 ) ? x x x2

①若 m ? 0 ,则 F '( x) ? 0 , F ( x) ? F (1) ? 0 ,这与题设 F ( x) ? 0 矛盾?6 分 ②若 m ? 0 , 方程 ?mx 2 ? x ? m ? 0 的判别式 ? ? 1 ? 4m2 , 当 ? ? 0 ,即 m ?
1 时, F '( x) ? 0 , 2

∴ F ( x) 在 (1, ??) 上单调递减, ∴ F ( x) ? F (1) ? 0 , 即不等式成立???????????????????7 分 当0? m?
1 时,方程 ?mx 2 ? x ? m ? 0 有两正实根,设两根为 x1 , x2 , 2
1 ? 1 ? 4m 2 ? (0,1), 2m x2 ? 1 ? 1 ? 4m2 ? (1, ??) 2m

( x1 ? x2 ) x1 ?

当 x ? (1, x2 ), F '( x) ? 0, F ( x) 单调递增, F ( x) ? F (1) ? 0 与题设矛盾, 综上所述, m ?
1 。 2

所以,实数 m 的取值范 围是 ? , ?? ? -------------8 分
1 1 1 时, ln x ? ( x ? ) 成立. 2 2 x

?1 ?2

? ?

(3)由(Ⅱ)知,当 x ? 1 时, m ? 不妨令 x ?

2k ? 1 ? 1,(k ? N? ) , 2k ? 1

所以 ln

2k ? 1 1 2k ? 1 2k ? 1 4k , ? ( ? )? 2 2k ? 1 2 2k ? 1 2k ? 1 4k ? 1
11

ln(2k ? 1) ? ln(2k ? 1) ?

4k ,(k ? N? ) ??????????????10 分 4k 2 ? 1

4 ? ?ln 3 ? ln1 ? 4 ? 12 ? 1 ? 4? 2 ? ????????????????11 分 ?ln 5 ? ln 3 ? 4 ? 22 ? 1 ? 4? n ? ln(2n ? 1) ? ln(2n ? 1) ? ? 4 ? n2 ? 1 ?

累加可得
ln(2n ? 1) ? ?
i ?1 n

4i (n ? N? ) . 4i 2 ? 1
1007

取 n=1007,即得

? 4i
i ?1

2

4i ? ln 2015 ??????????????12 分 ?1

12


相关文档

更多相关文档

辽宁省实验中学分校2014-2015学年高二数学下学期阶段性测试(6月)试题 理
辽宁省实验中学分校2014-2015学年高二数学下学期阶段性测试(6月)试题 文
辽宁省实验中学分校2015-2016学年高二物理下学期阶段性测试试题(新)
2015-2016学年辽宁省实验中学分校高二下学期6月阶段性测试生物试题
辽宁省实验中学分校2015-2016学年高二英语下学期阶段性测试试题(新)
辽宁省实验中学分校2015-2016学年高一下学期6月阶段性测试数学试题
2015-2016学年辽宁省实验中学分校高二下学期6月阶段性测试地理试题
2015-2016学年辽宁省实验中学分校高二下学期6月阶段性测试物理试题
辽宁省实验中学分校2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理
辽宁省实验中学分校2015-2016学年高一物理上学期10月阶段性测试试题 理
辽宁省实验中学分校2015-2016学年高一语文上学期10月阶段性测试试题
辽宁省实验中学分校2015-2016学年高一历史上学期10月阶段性测试试题 理
辽宁省实验中学分校2015-2016学年高一政治上学期10月阶段性测试试题 理
辽宁省大连市第二十高级中学2015-2016学年高二期初考试地理试题
电脑版