合情推理与演绎推理


演绎推理与合情推理及其对中学 数学教学启示
彭燕伟 天水师范学院 数学与统计学院

pyw_2009@163.com
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主要内容:

一、推理及其分类 二、演绎推理

三、合情推理 四、如何培养学生的合情推理能力
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一、推理及其分类
1,什么是推理 推理是人们思维活动的过程,是根据一个或

几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。

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一、推理及其分类
2, 推理分类

推理按推理过程的思维方向划分,主要有演绎 推理、合情推理.合情推理分为归纳推理和类比推理。
演绎推理 推理 归纳推理

合情推理 类比推理
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一、推理及其分类
3.合情推理与演绎推理的主要区别:
①从推理形式上看, 演绎推理是由一般到特殊的推理; 归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理; 类比推理是由特殊到特殊的推理; ②从推理所得的结论看, 合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明; 演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前 提下,得到的结论一定正确。
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一、推理及其分类
③从对前提真实性要求来看。 演绎推理不要求前提必须真实;

归纳推理则要求前提必须真实;
类比推理要求前提必须真实。 ④从结论所断定的知识范围来看。 演绎推理的结论没有超出前提所断定的知识范围。 归纳推理除了完全归纳推理,结论都超出了前提所 断定的知识范围。 类比推理结论可能超出前提所断定的知识范围。
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一、推理及其分类
4.合情推理与演绎推理的主要联系: ①演绎推理如果要以一般性知识为前提,(演绎推理未必都 要以一般性知识为前提)则通常要依赖归纳推理来提供一般 性知识。 ②归纳推理离不开演绎推理。其一,为了提高归纳推理的 可靠程度,需要运用已有的理论知识,对归纳推理的个别性 前提进行分析,把握其中的因果性,必然性,这就要用到演 绎推理。其二,归纳推理依靠演绎推理来验证自己的结论。
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一、推理及其分类

俄国化学家门捷列夫通过归纳发现元素周期律,指出, 元素的性质随元素原子量的增加而呈周期性变化。后用演 绎推理发现,原来测量的一些元素的原子量是错的。于是, 他重新安排了它们在周期表中的位置,并预言了一些尚未 发现的元素,指出周期表中应留出空白位置给未发现的新

元素。

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一、推理及其分类
从数学学科发展的角度来看:

演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思
维过程。 数学结论、证明思路等的发现,主要靠合情推理。 我们不仅要学会证明,也要学会猜想。人们在认识世界

的过程中,需要通过观察、实验等获取经验;也需要辨别它
们的真伪,或将积累的知识加工、整理,使之条理化、系统 化。
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二、演绎推理
演绎推理: 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下 的结论,我们把这种推理称为演绎推理。 简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理。

演绎推理也称为逻辑推理。

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二、演绎推理
“三段论”是演绎推理的一般形式,包括: 大前提 —— 已知的一般原理;

小前提 —— 所研究的特殊情况;
结 论 —— 根据一般原理,对特殊情况做出的判断。

例如: 三角形内角和是180度,有一个图形是三角形,它的内角 和一定是180度.

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演绎推理例子:《几何原本》
《几何原本》列出了五条公设与五条公理,并在各章的

开头给出了一系列定义,然后根据这些定义,公理和公设推
导出了465条数学命题。《几何原本》的内容涉及初等数学的 各个领域,包括代数,数论,平面几何,立体几何,甚至现

代极限概念的雏形。其推理形式主要是演绎推理.

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三、合情推理
1.合情推理:
合情推理又称似真推理,是一种合乎情理,结论好 像为真的推理,它是根据已有的事实和正确的结论 ( 包 括定义、公理、定理等 ) 、实验和实践的结果,以及个 人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。

合情推理分为:归纳推理和类比推理
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三、合情推理
合情推理通常具有下列特征 : (1) 思维形式的直觉性、猜测性,思维过程的跳跃性和非常 规性。 (2) 经验性。表现为与个人原有的知识和经验密切相关。 (3) 思维方式的自由性。常表现为较少受逻辑规则的严格约 束和限制,以及数学表述的非形式化。 (4) 结论的或然性。即合情推理的结果不能保证绝对正确。
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三、合情推理
2.归纳推理:
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事 物的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概栝出一

般结论,(简称归纳)部分推出整体,个别推出一般。
例如: ①天下乌鸦一般黑. ②燕子低飞,蚂蚁搬家等现象时,我们会得到一个判断:天要下雨了. ③直角三角形内角和是180度;锐角三角形内角和是180度;钝角三角 形内角和是180度;直角三角形,锐角三角形和钝角三角形是全部的三 角形;所以,一切三角形内角和都是180度。
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归纳推理的例子:

由下图可以发现什么结论?

1=12,
1+3=4=22,

1+3+5=9=32,
1+3+5+7=16=42,……

1+3+5+7+……+(2n-1)=n2

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归纳推理的例子:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点 数V和棱数E, 它们之间有什么关系. 欧拉公式

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归纳推理的例子:欧拉公式
多面体
三棱锥
四棱锥 三棱柱

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 4 4 6 5 5 8 5 6 9

五棱锥
立方体 正八面体

五棱柱
截角正方体 尖顶塔
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归纳推理的例子:欧拉公式
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥

立方体
正八面体 五棱柱

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 4 4 6 5 5 8 5 6 9 6 6 10 6 8 12 8 6 12

截角正方体
尖顶塔
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归纳推理的例子:欧拉公式
多面体

F+V-E=2

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 三棱锥 4 4 6 四棱锥 5 5 8 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 正八面体 8 6 12 五棱柱 7 10 15 截角正方体 7 10 15 尖顶塔 9 9 16

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归纳推理的例子: 费马数

法国数学家费马提出猜想: 2n 2 ? 1( n ? N * ) 的数都是质数. 任何形如
F0=2^(2^0)+1=3 F1=2^(2^1)+1=5 F2=2^(2^2)+1=17 F3=2^(2^3)+1=257 F4=2^(2^4)+1=65537

只有1和它本身 两个约数的自 然数,叫质数 (素数)。

反例与证明的价值是 同等重要的!

F5=641×6700417 F6 = 274177 × 67280421310721 F7 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721 F8 = 1238926361552897 ×9346163971535797776916355819960689658405123754163818 8580280321
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归纳推理的例子:歌德巴赫猜想

任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和

不小于6的偶数=奇质数+奇质数

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归纳推理的例子:歌德巴赫猜想 歌德巴赫猜想的提出过程:
6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=5+11, ?, 1000=29+971, 1002=139+863,



根据上述过程,歌德巴赫大胆地猜想:任何一个不小于6的偶 数都等于两个奇质数之和
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不小于6的偶数=奇质数+奇质数
"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个
的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。

a=1;b=1
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3.类比推理:
由两类对象具有某些类似特性和其中一类对象的某些已

知特性,推出另一类对象也具有这些特性的推理称为类比推
理。简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理。 例如: ①黄河断流的原因——淮河断流的原因 ②鲁尔区综合整治的主要措施———山西煤矿的产业结构 调整 ③平面几何-------球面几何
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利用平面向量的性质类比得空间向量的性质 空间向量 平面向量 ? ? ? ? 若 a ? ( a1 , a 2 ) , b ? ( b1 , b2 )则 若a ? (a1 , a2 , a3 ) ,? (b1 , b2 , b3 ) 则 b ? ? ? ? ① a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 ) ① a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 )

? ? ? ? ② a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 ) ② a ? b ? (a ? b , a ? b , a ? b ) 1 1 2 2 3 3
? ③ ? a ? (? a1 , ? a2 )(? ? R )


? ? ? ? ⑤ a // b ? a1 ? ? b1 , a2 ? ? b2 (? ? R) ⑤ a // b ? a ? ? b , a ? ? b , a ? ? b (? ? R) 1 1 2 2 3 3

? ? a ? b ? a1b1 ? a2 b2

? ③ ? a ? (? a1 , ? a2 , ? a3 )(? ? R)

? ? ④ a ? b ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b3

? ? ? ? ⑥ a ? b ? a1b1 ? a2 b2 ? 0 ⑥ a ? b ? a b ? a b ? a b ? 0 1 1 2 2 3 3

? ⑦ | a |? a12 ? a 22

? ⑦ | a |? a12 ? a22 ? a32

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利用圆的性质类比得出球的性质

圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦

球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2 球的体积 V = πR3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
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与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
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类比平面内直角三角形的勾股定理,给出空 间中四面体性质的猜想.
A



c2=a2+b2
a


c b


s1 o s2

s3
B
C

猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
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在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任 一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:
pa pb pc ? ? ?1 ha hb hc

试通过类比,写出在空间中的类似结论.

平面上

空间中
A P B C C D


形 结 论
B

A P pb pc pa

pa pb pc ? ? ?1 ha hb hc

pa pb pc pd ? ? ? ?1 ha hb hc hd
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四.如何培养学生的合情推理能力 1.养成总结的习惯
(1)复习 (2)整理 (3)归纳 (4)总结 (8)自觉养成总结习惯

归纳、总结

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四.如何培养学生的合情推理能力 2.尝试(试验)
在数学学习、教学与研究中,尝试是不容忽视的。学 生可以通过亲自动手操作,从中探究、学习和发现数学规 律,从而达到提高学生数学素养和综合能力的目的。

给学生时间,机会,不要怕学生犯错误
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四.如何培养学生的合情推理能力 3.比较

例题的作用

比较是一种学习的方法。一般来说,比较所根据

的相似属性越多,相似属性之间相互关联程度越高, 相似数学模型越精确,则比较的应用也就越可靠。在 数学的学习和教学中,类比不仅是一种推理方法,也 是一种寻求解题思路、猜测问题答案和结论发现方法。

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四.如何培养学生的合情推理能力 4.联想

知识间的联系

联想是人们在认识事物过程中,通过一个事物的

触发而迁移到另一个事物的思维。联想可以克服两个
概念在某种意义上的差距,并在另一种意义上将两者 连接起来,形成一种新颖的思想,因此联想思维是创 造性思维的重要表达形式。
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四.如何培养学生的合情推理能力 5.直觉
直觉就是直接的觉察,它是人脑对客观事物的一种迅 速识别、敏锐而深入的洞察或领悟;是人们自觉或不自

觉考虑某一个问题时,在头脑中突如其来的一种创造性
设想。广义的直觉是指包括直接的认识、情感和意志活 动在内的一种心理现象。

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四.如何培养学生的合情推理能力 6.猜想
猜想是不知其真假的数学叙述,它一般被看做是正确的, 但暂时没有被证明或反证。当猜想被证明后,它便成为定理。

当找到反例时,猜想就被推翻。数学猜想大都因为类比推理,
不完全归纳而产生,也有偶然发现的巧合而出现。并非所有 的猜想都能解决。

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数学中的猜想

欧氏第五公设猜想

费马大定理
地图的”四色猜想” 歌尼斯堡七桥猜想 卡拉比猜想 西塔潘猜想
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数学中的猜想: 欧氏第五公设猜想
同平面内一条直线和另外两条直线相交,若 在某一侧的两个内角的和小于而直角,则这 一直线经无限延长后在这一侧相交。 在同一平面内任何两条直线都有公共点(交 点)。 从直线外一点,至少可以做两条直线和这条 直线平行

欧氏几何

黎曼几何

非欧几何
罗氏几何

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数学中的猜想: 费马大定理
当整数n > 2时,关于x, y, z的不定方程

xn ? y n ? z n

无正整数解。

x2 ? y 2 ? z 2
x3 ? y 3 ? z 3
x4 ? y 4 ? z 4 ………
xn ? y n ? z n

3? =5? +12? ...… +4? ,5? =13?

维尔斯于1994年9月彻底圆 满证明了“费马大定理” 。

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数学中的猜想: 地图的“四色猜想”

每幅地图都 可以用四种颜色 着色,使得有共 同边界的地区着 上不同的颜色。

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数学中的猜想: 歌尼斯堡七桥猜想 18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱 格尔河上有7座桥,将河中的两个岛和河岸连结,如图 所示。城中的居民经常沿河过桥散步,于是提出了一个 问题:能否一次走遍7座桥,而每座桥只许通过一次, 最后仍回到起始地点。

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数学中的猜想: 卡拉比猜想 卡拉比猜想源于代数几何,是由意大利著名几何学 家卡拉比在1954年国际数学家大会上提出的:在封闭的 空间,有无可能存在没有物质分布的引力场?卡拉比认 为是存在的,可是没有人能证实,包括卡拉比自己。 数学家丘成桐27岁攻克几何学上难题“卡拉比猜 想”,并因此在1982年(33岁)获得数学界的“诺贝尔 奖”——菲尔兹奖

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数学中的猜想: “西塔潘猜想”
中国目前最年轻的教授刘路,22岁
“西塔潘猜想”是由英国数理逻辑学家西塔 潘于上个世纪90年代提出的一个反推数学领 域关于拉姆齐二染色定理证明强度的猜想。 在组合数学上,拉姆齐(Ramsey)定理是要 解决以下的问题:要找这样一个最小的数n, 使得n个人中必定有k个人相识或l个人互不 相识。2011年5月,由北京大学、南京大学 和浙江师范大学联合举办的逻辑学术会议在 浙江师范大学举行,中南大学数学科学与计 算技术学院酷爱数理逻辑的刘路的报告给这 一悬而未决的公开问题一个否定式的回答, 彻底解决了西塔潘的猜想。
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“钱学森之问” “为什么我们的学校总是培养不出杰出人才?”

要培养杰出人才,会思考,会创 新,关键在于教育,在于基础教育, 在于每一位教师! 教育要从知识型、技能型人才教育模式向创造 型、发明型人才培养转型,既在教育过程中既要重视 演绎推理,也要重视合情推理!
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