高中数学 1.5.1曲边梯形的面积课件 新人教A版选修2-2


思考一:如何求出下列图形的面积?

y

A

从中你有何 启示?

?
o
B

x

“分割”得到熟悉 的图形

思考二:想一想我国魏晋时期的数学家刘徽是如何 研究圆的面积?

有何 启示

? 以直代曲

曲边梯形

?

A B
C

下面先研究一个特殊情形 : 如何求抛物线y ? x 与直线x ? 1, y ? 0,x轴所围成的平面图形的面 积S ?
y

2

y ? x2

S
o
1

x

思考 左图中的曲边多边形 与我们熟悉的"直边图形"的 主要区别是什么?能否将求 这个曲边多边形面积S 的问 题转化为求 "直边图形"面积 问题 ?

y

"以直代曲"的思想
y ? x2

S
o
1

?
x

启发

用直边形(比如矩形)逼近 曲边形的方法, 求图中阴 影部分面积

为了计算曲边三角形的面积S,将它分割成许多小曲 边梯形
对任意一个小曲边梯形,用“直边”代替“曲边”(即 在很小范围内以直代曲),有以下三种方案“以直代 曲” 。
y

y ? x2

o

i ?1 i n n

方案1

方案2

方案3

1 x

根据方案一,分割越细,面积的近似值就 越精确。当分割无限变细时,这个近似值 就无限逼近所求曲边梯形的面积S。
y
y

y
y ? x2

y

y?x

2

y ? x2

y ? x2

???
o
1x o
1x o

1x

o

1x

第一种方案“以直代曲”的具体操作过程

垂线, 把曲边梯形分成 n个小曲边梯形 ?如图?,
n

在区间 ?0,1? 上间 2 y ? x 隔地插入n ? 1个点, 将它等 分成n个小区间: ? 1? ? 1 2 ? ?n ? 1 ? i o ?0, n ? , ? n , n ? , ? ??, ? n ,1? , 1 x n ? ? ? ? ? ? ?i ? 1 i ? 记第i个区间为? , ? ?i ? 1 ,2,? ? ?, n?, 其长度为 ? n n? i i ?1 1 Δx ? ? ? . 分别过上述 n ? 1个点作x轴的 n n n

?1?分割

y

i ?1 n

它们的面积记作 ?s1 , ?S2 ,? ? ?, ?Sn .显然, S ? ? ?Si .

y

y ? x2

o
y

i ?1 i n n

1 x

y ? x2

o

i ?1 i n n

1

x

记f ? x ? ? x . 如图,当n很大 ,即?x很小 ?i ?1 i ? 时, 在区间 ? , ?上,函数 ? n n? f ? x ? ? x 2的值变化很小 , 近 似等于一个常数 , 不妨认为 i ?1 它近似地等于左端点 n ? i ?1? 处的函数值 f ? ?.从图形 ? n ? 上看, 就是用平行于 x轴的 直线段近似
2

?2?近似代替

y

y ? x2

o
y

i ?1 i n n

1

y ? x2

o

i ?1 i n n

1

地代替小曲边梯形的曲 ?i ? 1 i ? 边.这样, 在区间 ? , ? ? n n? ' 上, 用小矩形的面积 ?Si x 近似地代替 ?S i ,即在局部 小范围内"以直代曲", 则有 ? i ?1? ' ? S i ? ?S i ? f ? ? ?x ? ? n ? 2 ? i ?1? 1 ? ? ? ?i ? 1,2,? ? ?, n ?. x ? n ? n

?3?求和

由?2?,图中阴影部分的面积 Sn 为 2 n n n ? i ?1? ? i ?1? 1 ' Sn ? ? ?Si ? ? f ? ??x ? ? ? ? ? n i ?1 i ?1 i ?1 ? n ? ? n ?
y

1 ? 1? 1 ? n ? 1? 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? n ?n? n ? n ? n
1 ?n ? 1?n?2n ? 1? ? 3 n 6
o

2

2

1 ? 2 ? ? ? ? ? ?n ? 1? ?n ? 1?n?2n ? 1? . 6 i ?1 i
2 2
n n

可以证明 y ? x2

2

1

x

1 ? 1 ?? 1? 从而可得S的近似值S ? Sn ? ?1 ? ??1 ? ?. 3 ? n ?? 2n ?

y

y

y
y ? x2

y

y?x

2

y ? x2

y ? x2

???
o
1x o
1x o

1x

o

1x

?4?取极限

分别将区间?0,1?等分成 4,8, ,20,? ? ?等份 ?上图?, 可以看到,当n趋向于无穷大 ,即?x趋向于0时, 1 ? 1 ?? 1 ? Sn ? ?1 ? ??1 ? ?趋向于 S , 从而有 3 ? n ?? 2n ? n 1 ? i ?1? S ? lim S ? lim f ? ? ? n n ?? n ?? i ?1 n ? n ? 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? lim 1 ? 1 ? ? . ? ? ? ? n ?? 3 ? n ?? 2n ? 3

探究 在 " 近似代替" 中,如果认为函数f ?x ? ? x 2 在 ?i ? 1 i ? 区间? , ? ?i ? 1 ,2,? ? ?, n?上的值近似地等于右端 点 ? n n? i ?i? 处的函数值 f ? ?, 用这种方法能求出 S 的值吗? n ?n? 1 ?i ? 1 i ? 若能求出 , 这个值也是 吗 ? 取任意ξ i ? ? , ?处 3 ? n n? 的函数值f ?ξ i ?作为近似值 ,情况又怎样?

?i ? 1 i ? 可以证明 ,取f ?x ? ? x 在区间? , ? 上任意一 ? n n? 点ξ i处的值f ?ξ i ?作近似值 , 都有
2

1 1 S ? lim ? f ?ξ i ?Δx ? lim f ?ξ i ? ? . n ?? n ?? n 3 i?1

n

一般地, 对如图1.5 ? 1 所示的曲边梯形 , 我们 也可以采用分割、近 似代替、求和、取极 值的方法求出其面积 .

y

f ?b? f ?a?

y ? f ?x ?

o

a
图1.5 ? 1

b

x

求由连续曲线y?f(x)对应的曲边梯形面积的方法
n个小区间: ?a, x1 ?,? x1, x2 ?, 每个小区间宽度⊿x ?
b?a n

(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成

? xi?1, xi ?, ,? xn?1, b?,

(2)取近似求和 :任取xi?[xi?1, xi],第i个小曲边梯形的面积用 y 高为f(x )而宽为?x的小矩形面积
i

f(xi)?x近似之。

y=f ( x)

取n个小矩形面积的和作为曲边梯
形面积S的近似值:S ?

? f (x )?x
i ?1 i

n

面积S为 S ? lim
n??

(3)取极限:,所求曲边梯形的 n

? f (x )?x
i ?1 i

O

a

xi-1 xi xi

b

x

?x

练习:1、把区间〔1,3〕n等分,所得n个小区间 的长度应为( ) A、1/n B、2/n C、1/2n D、3/n 2、关于近似替代下列说法正确的是( ) A、在分割后的每个小区间上,只能用左端点的函 数值近似替代; B、在分割后的每个小区间上,只能用右端点的函 数值近似替代; C、在分割后的每个小区间上,只能用中间端点的 函数值近似替代; D、在分割后的每个小区间上,可以用区间内任意 一点的函数值近似替代。

3、在区间〔0,8〕上插入9个等分点,则所分的 小区间长度为 4/5 ;第5个小区间是

[16/5,4]

练习
求直线x ? 0, x ? 2, y ? 0与曲线y ? x 所围成的曲边梯形的面 积.
2

总结
求曲边梯形面积的方法:
分割 以直代曲 求和 逼近


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