四川省古蔺县中学高中数学 2.1.1.1指数与指数幂的运算(1)课件 新人教A版必修1


第1课时

根式与分数指数幂

1. 理解n次方根与根式的概念;理解分数 指数幂的概念 2. 正确运用根式运算性质化简、求值;掌 握分数指数幂和根式之间的互化;分数指 数幂的运算性质。 3. 分类讨论思想,观察分析、抽象概括等 的能力。

(1) 整数指数幂的概念:
a ? ______ ( n ? N ),
n ?

a ? ______ (a ? 0),
0

a

?n

? ______ (a ? 0, n ? N ).

?

m n a ? a ? ______ (m, n ? Z ), (2) 运算性质: m n (a ) ? ______ ( m, n ? Z ),

(ab) ? _______ (n ? Z ).
n

问题1:问题2: 教材P48 提问:?正整数指数幂1.073x的含义是什么? 它具有哪些运算性质? ?
?1? P?? ? ?2?
t 5730

(*)

考古学家根据(*)式可以知道 生物死亡 t 年后, 体内的碳14含量P的值.
1 2

当生物死亡了5730年后,它体内的碳14含量P的值为

?1? 当生物死亡了5730×2年后,它体内的碳14含量P的值为 ? ? ?2?

2

?1? 当生物死亡了6000年后,它体内的碳14含量P的值为 ? ? ?2? 10000 正整数指数幂中将指数的取值范围从整数推广到实数 ? 1 ? 5730 当生物死亡了10000年后,它体内的碳14含量P的值为 ? ? ?2?

大家能指出右边各式的数学含义吗?

6000 5730

1.平方根 若x2=a, 则 x 叫做 a 的平方根(a≥0 ) 2.立方根 若x3=a, 则 x 叫做 a 的立方根 a 4 9 0 -4 -9
a的平方 根

a
(?2) ? 4
2

a的立方 根

±2 ±3 0


(?3) ? 9
2

02 ? 0



-8 -1 0 8 27

-2 -1 0 2

(?2)3 ? ?8 (?1)3 ? ?1 03 ? 0

23 ? 8
33 ? 27

3

3.若x4=a, 则 x 叫做 a 的 四 次方根(a≥0 )

4.若x5=a, 则 x 叫做 a 的五 次方根 5.若xn=a, 则 x 叫做 a 的n次方根

定义1: 若 x n ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 ,
其中 n ? 1 , 且 n ? N * .

①当n为奇数时, a的n次方根只有1个,用n a表示 ②当n为偶数时, 若a>0,则a的n次方根有2个, 用 ? n a (a ? 0)表示 若a=0,则0的n次方根有1个,是0 若a<0,则a的n次方根不存在 ±5 -3 (4)25的平方根等于________ (1)27的立方根等于________ -2 (5)16的四次方根等于_____ ±2 (2) -32的五次方根等于_____ 0 (3)0的七次方根等于_____
(6) -16的四次方根等于_______

不存在

定义1: 若 x n ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 ,
①当n为奇数时, a的n次方根只有1个,用n a表示 ②当n为偶数时?
n 式子 a 叫做根式, n 叫做根指数, a 叫做被开 定义2: 方数

其中 n ? 1 , 且 n ? N * .

根式

即: x

n

?a

x ? n a ; (当n是奇数)
根指数

n

x ? ? n a . (当n是偶数,且a>0)

a

被开 方数

试一试,有规律 吗?

? 4? ? ② ? 9? ? ③ ? 16 ? ? ④ ? ?1 ? ? ⑤ ? ?8 ? ?

2 2 4 4 3 3 3 3

4 ; 9 ; 16 ; -1 -8 ;



22 ?

2 ;
2

② (?2) 2 ? ③
3

; 3 ;

33 ?

④ 3 (?3)3 ? ⑤ 4 (?1) 4 ?

-3 1

; ;

;

那么:



? a?
n

n

? a 一定成立吗?

② n a n ? a 一定成立吗?

n n 公式1: ( a)

? 4? ? ② ? 16 ? ? ③ ? 16 ? ? ④ ? ?1 ? ? ⑤ ? ?8 ? ?

2 2 4 4 3 3 3 3

?a
4 ; 9 ; 16 ; -1 -8 ; ①
22 ?

2 ;
2

② (?2) 2 ? ③
3

; 3 ;

33 ?

④ 3 (?3)3 ? ⑤ 4 (?1) 4 ?

-3 ; 1 ;

;

当n为奇数时, n a n 公式2: 当n为偶数时, n a n

?a
a, a ? 0 ? ?| a | ? ? ?? a , a ? 0

例1: 求下列各式的值

(1) (?8)
3 4

3 4

(2) (?10)

2 2

(3) (3 ? ? )
5 10

(4) (a - b) (a ? b).
(6) a
4 12

(5) a (a ? 0)
练习: 求下列各式的值:
(1) (3)
3

-8;
2

( 2 - 3) ;

(2) (4)

(-2) ;
4

4

1 (3a - 1) (a ? ). 3
4

知识点小结:
1、两个定义
定义1: 定义2: 式子 n a叫做根式, n 叫做根指数, a 叫做被开方数
若 x n ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 , 其中 n ? 1 , 且 n ? N * .

2、两个公式:
① ②

( a) ? a
当n为奇数时, n a n

n

n

?a
a, a ? 0 ? ?| a | ? ? ?? a , a ? 0

当n为偶数时, n a n

提出问题

分数指数幂

(1).整数指数幂的运算性质是什么?
? (2).观察以下式子,并总结出规律:
? ?



5 10

a

? 5 (a 2 )5 ? a 2 ? a 5
4

10



a8 ?
2

8 (a 4 ) 2 ? a 4 ? a 2
5 2



4

a12 ?

( a 3 ) 4 ? a3 ? a 4

12



a

10

? 2 ( a ) ? a5

?a2

10

? (3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗?
?

4 3

5,

5

a

7

n

x

m

( x ? 0, m, n ? N * , 且n ? 1)

(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗? (5)你能推广到一般情形吗?

? 讨论结果:形式变了,本质没变,方根的结

果和分数指数幂是相通的。综上我们得到正 数的正分数指数幂的意义。 ? 规定:正数的正分数指数幂的意义是

a ? a (a ? 0, m, n ? N , n ? 1)
n m *

n m

注意两点: (1)分数指数幂是根式的另一种表示形式; (2)根式与分数指数幂可以进行互化. 2 4 观察:② 3 a2 ? a 3 ? (a ? 0) ? 1 1 3 ③ 5 ? 4 ?3 4 1 5
b ? b ? (b ? 0)
2

4

c ? c ? (c ? 0)
5 4

53

5

? 提出问题,讨论

1.负整数指数幂的意义是怎么规定的? ? 2.你能得出负分数指数幂的意义吗? ? 3.你认为应该怎样规定零的分数指数幂的意义? ? 4.综合上述,如何规定分数指数幂的意义?
? ?

5.分数指数幂的意义中,为什么规定,去掉这个规定 会产生什么样的后果?

6.既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数, 那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数 幂呢? ? 活动:
?
?

讨论结果:有了人为的规定后指数的概念就从整数推 广到了有理数。有理数指数幂的运算性质如下:

2. 对正数的负分数指数幂和0的分数指数 幂的规定:
(1) a ?
? m n

1

a

m n

(a>0, m, n∈N*, 且n>1). 知识 点小 结:

(2) 0的正分数指数幂等于0; (3) 0的负分数指数幂无意义.
n m

正数的正分数指数幂的意义是:
n m *

a ? a (a ? 0, m, n ? N , n ? 1)

知识点小结:
? 对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质:

(1)a r ? a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? Q)
(2)(a r ) s ? a rs (a ? 0, r , s ? Q)

(3)(a ? b) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q)

r

r r

例2:P51求值: ?点评:本题主要考察幂值运算,要按规定来解. 要转化为指数运算而不是转化为根式. p54——练习1、2 【作业布置】:

1. 教材P59——习题2.1A组——1、2题 2. 大聚焦课堂P23—24内容

3. 小聚焦课堂P12内容

1.指数的推广 正整指数幂 零指数幂 负整指数幂

整数指数幂

有理指数幂
分数指数幂

实数指数幂

2.利用函数型计算器求 a b 的值.


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