5.5确定二次函数的解析式课件


学习目标
? 1、会利用待定系数法求二次函数的表达式; (重点) ? 2、能根据已知条件,设出相应的二次函数 的表达式的形式,较简便的求出二次函数 表达式。(难点)

一、教学目标:
1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函

数表达式的思想方法,培养数学应用意识. 2.会利用待定系数法求二次函数的表达式. 3.灵活应用二次函数的三种形式:一般式,顶点式, 交点式,以便在用待定系数法求解二次函数表达 式时减少未知数的个数,简化运算过程。

二、重点和难点:

根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式, 既是重点又是难点。

复习提问:
1.二次函数表达式的一般形式是什么?
y=ax? +bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)

2. 二次函数表达式的顶点式是什么?
y=a(x-h)2+k (a ≠0)

3.若二次函数y=ax? +bx+c(a≠0)与x轴两交点为 (x1,0),(x2,0)则其函数表达式可以表示成什么形 式?
y=a(x-x1)(x-x2)(a ≠0)

例 题 选 讲
例 1 已知抛物线的顶点为(-1,-6),并且图像经
过点(2,3)求抛物线的表达式?
解:因为二次函数图像的顶点坐标是(-1,-6),
一般式: y=ax2+bx+c

所以,设所求的二次函数为

y=a(x+1)2-6

交点式: y=a(x-x1)(x-x2)

由条件得:点( 2 , 3 )在抛物线上, 代入上式,得

3=a(2+1)2-6,

得 a=1

顶点式: y=a(x-h)2+k

所以,这个抛物线表达式为 y=(x+1)2-6 即:y=x2+2x-5

封面

例题

例 题 选 讲
例2
已知点A(-1,6)、B(4,6)和C(3,2), 求经过这三点的二次函数表达式。 解: 设所求的二次函数为
一般式: y=ax2+bx+c

y=ax2+bx+c

y

将A、B、C三点坐标代入得:

交点式: y=a(x-x1)(x-x2)

解得:
顶点式: y=a(x-h)2+k

a-b+c=6 16a+4b+c=6 9a+3b+c=2 a=1, b=-3, c=2

o

x

所以:这个二次函数表达式为:

y=x2-3x+2
封面 例题

例 题
例3

选 讲

已知抛物线与X轴交于A(-1,0),B(1,0) 并经过点M(0,1),求抛物线的表达式? y o x

解: 因为函数过A(-1,0),B(1,0)两点 :
一般式: y=ax2+bx+c

所以设所求的二次函数为y=a(x+1)(x-1) 由条件得: 点M( 0,1 )在抛物线上 所以:a(0+1)(0-1)=1 得: a=-1 故所求的抛物线表达式为 y=- (x+1)(x-1) 即:y=-x2+1

交点式: y=a(x-x1)(x-x2)

顶点式: y=a(x-h)2+k

封面

例题

例4. 二次函数y=ax +bx+c的图象过点A(0,5), B(5,0)两点,它的对称轴为直线x=3, 求这个二次函数的解析式。
解: ∵ 二次函数的对称轴为直线x=3 ∴设二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k 图象过点A(0,5),B(5,0)两点 ∴ 5=a(0-3)2+k

2

0=a(5-3)2+k
解得:a= 1 k=-4 ∴ 二次函数的表达式: y= (x-3)2-4 即 y =x2-6x+5 已知顶点坐标(h,k)或对称轴方程x=h 时 优先选用顶点式。

小结:

例5. 已知一个二次函数的图象经过点(4,-3), 并且当x=3时有最大值4,试确定这个二次 函数的解析式。 解法1:(利用一般式) 设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c (a≠0) 由题意知 16a+4b+c = -3 -b/2a = 3 (4ac-b2)/4a = 4 解方程组得: a= -7 b= 42 c= -59 ∴ 二次函数的解析式为:y= -7x2+42x-59

解法2:(利用顶点式) ∵ 当x=3时,有最大值4∴ 顶点坐标为 (3,4) 设二次函数解析式为: y=a(x-3)2+4 ∵ 函数图象过点(4,- 3) ∴ a(4 - 3)2 +4 = - 3 ∴ a= -7 ∴ 二次函数的解析式为: y= -7(x-3)2+4

做一做
选择最优解法,求下列二次函数解析式:
1、已知抛物线的图象经过点(1,4)、(-1,-1)、(2,-2),设抛 物线解析式为__________. 2、已知抛物线的顶点坐标(-2,3) ,且经过点(1,4) ,设抛物 线解析式为____________. 3、已知二次函数有最大值6,且经过点(2, 3),(-4,5),设抛 物线解析式为_________. 4、已知抛物线的对称轴是直线x=-2,且经过点(1,3),(5,6), 设抛物线解析式为________. 5、已知抛物线与x轴交于点A(-1,0)、B(1,0),且经过点 (2,-3),设抛物线解析式为_______.

1、根据下列条件,求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0,0), (1,-2) , (2,3) 三点; (2)、图象的顶点(2,3), 且经过点(3,1) ;

(3)、图象经过(-1,0), (3,0) ,(0, 3)。

小组探究
1、已知二次函数对称轴为x=2,且过(3,2)、 (-1,10)两点,求二次函数的表达式。
解:设y=a(x-2)2-k

2、已知二次函数极值为2,且过(3,1)、 (-1,1)两点,求二次函数的表达式。
解:设y=a(x-h)2+2

例 题
例 6

选 讲

有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最大高度 为16m,跨度为40m.现把它的图形放在坐标系里 (如图所示),求抛物线的表达式.
根据题意可知 抛物线经过(0,0),(20,16)和(40,0)三点 评价 通过利用给定的条件 可得方程组

解: 设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,

列出a、b、c的三元 一次方程组,求出a、 b、c的值,从而确定 函数的解析式. 过程较繁杂,
封面 练习

例 题
例 4

选 讲

有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最大高度 为16m,跨度为40m.现把它的图形放在坐标系里 (如图所示),求抛物线的表达式.
根据题意可知 ∵ 点(0,0)在抛物线上,

解: 设抛物线为y=a(x-20)2+16 评价
通过利用条件中的顶 点和过原点选用顶点 式求解,方法比较灵 活
封面 练习

∴ 所求抛物线表达式为

例 题

选 讲

例6 有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最大高度
为16m,跨度为40m.现把它的图形放在坐标系里 (如图所示),求抛物线的表达式. 解: 设抛物线为y=ax(x-40 ) 根据题意可知 ∵ 点(20,16)在抛物线上, 评价
选用两根式求解, 方法灵活巧妙,过 程也较简捷
封面 练习


?
y ? ? x







求二次函数表达式的一般方法:
已知图象上三点或三对的对应值,
通常选择一般式 已知图象的顶点坐标、对称轴或和最值

通常选择顶点式
已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2,

o

通常选择交点式。

确定二次函数的表达式时,应该根据条件的特点, 恰当地选用一种函数表达式。

封面

知识盘点
1、 求二次函数的解析式的一般步骤:
一设、二列、三解、四还原.

2、求二次函数解析式常用方法:
(1)已知图象上三点或三点的对应值,通常选择 一般式.

(2)已知图像的顶点坐标或对称轴和最值,通常 选择顶点式.
(3)已知图像与x轴两个交点坐标,通常选择交点 式 .

用待定系数法求函数表达式的一般步骤: 1 、设出适合的函数表达式; 2 、把已知条件代入函数表达式中,得到关于 待定系数的方程或方程组; 3、 解方程(组)求出待定系数的值; 4、 写出一般表达式。

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