高中数学难题集14


高中数学难题集 14
1、已知线段 AB ? 3 ,动点 P, Q 满足 PA ? 1, QA ? 2QB ,则线段 PQ 长的范围是 解:以 A 为原点, AB 为 x 轴建立坐标系,设 A(0, 0) , B(3, 0) 设 P( x, y) ,由 PA ? 1 ? x2 ? y 2 ? 1 ,故 P 的轨迹为圆; 设 Q( x, y) ,由 QA ? 2QB ? ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 ,故 Q 的轨迹为圆; 所以 PQ ?[1,7] 注:若 A, B 为定点,满足 PA ? ? PB(? ? 1) 的动点 P 的轨迹为一个圆,称为“阿氏圆” .

2、若函数 f ( x) ? x4 ? ax3 ? bx2 ? ax ? 1 有零点,求 a 2 ? b 2 的最小值。
4 3 2 2 解:由已知存在 t ? R ,使 t ? at ? bt ? at ? 1 ? 0 ,显然 t ? 0 ,两边除以 t 得:

(t 2 ?

1 1 1 ) ? a (t ? ) ? b ? 0 ,设 u ? t ? ? (??, ?2] ? [2, ??) ,等价于: 2 t t t

方程 g (u) ? u 2 ? au ? b ? 2 ? 0 在 u ? (??, ?2] ? [2, ??) 时有解,讨论如下:

a ? ?2 时,只需 ? ? a 2 ? 4b ? 8 ? 0 ,此时 a 2 ? b 2 ? 16 ; 2 a 当 ? ? 2 时,只需 ? ? a 2 ? 4b ? 8 ? 0 ,此时 a 2 ? b 2 ? 16 ; 2 a 4 2 当 ?2 ? ? ? 2 时,只需 (?2) ? 2a ? b ? 2 ? 0 或 22 ? 2a ? b ? 2 ? 0 ,此时 a 2 ? b 2 ? . 2 5 4 a 2 ? b 2 的最小值为 . 5
当? 3、函数 f ( x) ? x ? x ? 1 的图像与 x 轴所有交点的横坐标的和与积分别为 m, n .
4 3

求证: m 2 ? n ? n3 . 证明:求导分析知 f ( x) ? 0 有两个根,设为 a , b ,则:

x4 ? x3 ?1 ? ( x ? a)( x ? b)( x2 ? cx ? d ) ? ( x2 ? mx ? n)( x2 ? cx ? d )
展开后对应系数相等,并消去 c, d 得: 前式 ?m ? 后式 ?n 得: m 2 ? n ? n3 注:本题也可根据 m ? m ? n ? n ? 1 来进行推理分析。
4 3 4 3

m 1 ? n(m ? 1) ? 0 且 ? ? n ? m(m ? 1) ? 0 n n

2 2 4、圆 x ? y ? 4 的一条切线与 x 轴、 y 轴分别交于点 A, B ,求 AB 的最小值。

解:设切点为 ( a, b) ,则切线方程为 ax ? by ? 4 , AB ? 4 由于 a ? b ? 4 ,结合均值不等式知 AB 的最小值为 4
2 2

1 1 ? a 2 b2

5 、对于在区间 [ a , b ] 上有意义的两个函数 f ( x) 和 g ( x) ,如果对任意 x ? [a , b] ,均有

| f ( x) ? g ( x) | ? 1 , 那么我们称 f ( x) 和 g ( x) 在 [ a , b] 上是接近的.若 f ( x) ? log 2 (ax ? 1) 与
g ( x) ? log 2 x 在闭区间 [1 , 2] 上是接近的,则 a 的取值范围是
解:套用定义之后分离参数得: .

1 1 1 ? ? a ? 2 ? 恒成立,故 a ? [0,1] 2 x x

6、如图,以长方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A、C 及另两个顶点为顶点构造四面体. (1)若该四面体的四个面都是直角三角形,试写出一个这样的四面体(不要求证明) ; (2)我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对棱,若该四面体的任一对对棱垂直,试写 出一个这样的四面体(不要求证明) ; (3)若该四面体的任一对对棱相等,试写出一个这样的四面体(不要求证明) ,并计算它 的体积与长方体的体积的比.

解: (1)如四面体 A (2)如四面体 B1 ABC ; (3)如四面体 ACB1D1 1 ABC ;

1 abc ? 4 ? abc 1 6 设长方体的长、宽、高分别为 a, b, c ,则体积比为: ? . abc 3
7、已知函数 f ( x) ?

ax 2 ? bx ,其中 b ? 0 ,且 f ( x) 的定义域和值域相同.

(1)求非零实数 a 的值; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ?

b 有零点,求 b 的最小值. x b 解: (1)若 a ? 0 ,定义域为 D ? (??, ? ] ? [0, ??) ,值域 A ? [0, ??) ,舍去; a

b b b ,故 a ? ?4 ] .故 ? ? a 2 ?a 2 ?a b b x 1 2 (2)等价于 ?4 x ? bx ? 在 x ? [0, ] 有解,设 t ? ? [0, ] x 4 b 4 1 1 4 3 2 4 3 即 4 x ? bx ? b ? 0 ? 4t ? t ? 2 ? 0 在 [0, ] 上有解。 b 4
若 a ? 0 ,定义域为 D ? [0, ? ] .值域 A ? [0,

b a

分离参数解得 b ?

128 3 128 3 ,故 b 的最小值为 9 9

8、已知数列 {an } 、 {bn } 中,对任何正整数 n 都有:

a1bn ? a2bn ?1 ? a3bn ? 2 ? ? ? an ?1b2 ? anb1 ? 2n ?1 ? n ? 2 .
(1)若数列 {an } 是首项和公差都是 1 的等差数列,求证:数列 {bn } 是等比数列; (2)若数列 {bn } 是等比数列,数列 {an } 是否是等差数列,请说明理由; (3)若数列 {an } 是等差数列,数列 {bn } 是等比数列,求证: 解: (1)易知 an ? n , bn ? 2n ?1 (2)设等比数列 {bn } 的首项为 b ,公比为 q ,易知 an ? 仅当 q ? 2 时, {an } 是等差数列,此时 an ? (3)由(2)知 anbn ? n2n?1 ,

?ab
i ?1

n

1

i i

3 ? . 2

2 ? q n q ?1 q?2 , ?2 ? ?n? b b b

n ; b

?ab

1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? n ? 5? 2 3 1? 1 2 ? 2 3 ? 2 4 ? 2 4 ? 2 n ?1 i ?1 i i 67 1 1 n ?3 72 1 1 n ?3 3 ? ? ?( ) ? ? ?( ) ? 48 16 2 48 16 2 2 ?

n

1

当 n ? 1, 2,3, 4 时经验证也满足不等式,从而得证。 注:记 cn ? anbn ,可知

1 cn?1 n 1 1 ? ? ? ,故 cn ? ck ( ) n ? k ,适当选择起点 k 即可获证。 2 cn n ?1 2 2

9、若 x ? R ,不等式 ?1 ? x ? 1 ? x 2 1 ? x 3 ? 8 x 3 是否成立?说明理由。 解:当 x ? 0 时由均值不等式,左边 ? 2 x ? 2x ? 2 x3 ? 8x3 成立; 当 x ? 0 时验证知成立;当 x ? 0 时左边 ? (1 ? x)2 (1? x2 )(x2 ? x ? 1) ? 0 ,右边 ? 0 ,故 不等式仍然成立。故对 x ? R 不等式始终成立。

?

??

?

注:本题也可以这样变形:两边除以 x3 得:左边 ? ( x 2 ? 设t ? x ?

1 1 1 ? x ? )( x ? ) 2 x x x

1 ,则左边 ? (t 2 ? t ? 2)t ? t 3 ? t 2 ? 2t ,求导求值域,比较它和 8 的大小。 x

10、某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行 5 次统一测试,学生如果通过其中 2 次 测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每个学生最多也只能 参加 5 次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是 试通过与否互相独立. (1)求该学生考上大学的概率. (2)如果考上大学或参加完 5 次测试就结束,记该生参加测试的次数为 X ,求 X 的分布 列及 X 的数学期望.
1 解: (1)记“该生考上大学”为事件 A,则? P ( A) ? 1 ? [C 5 ? ( )( ) 4 ? ( ) 5 ] ?

1 ,每次测试时间间隔恰当,每次测 3

1 2 3 3
5

2 3

131 243

(2) X 的分布列为:

X
P

2

3

4

1 4 4 9 27 27 1 4 4 16 38 . E( X ) ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 9 27 27 27 9

16 27

11、已知数列 {an } 满足: a1 ? 2 ,且

an ? n ;又数列 {bn } 满足: bn ? 2n ?1 ? 1 .若数 an ?1 ? an

列 {an } 和 {bn } 的前 n 和分别为 S n 和 Tn ,试比较 S n 与 Tn 的大小. 解: a n ? 2n, S n ? n 2 ? n; Tn ? 2 n ? 1 ? n 当 n ? 1 时, S n ? Tn ;当 2 ? n ? 4 时, S n ? Tn ;当 n ? 5 时, S n ? Tn . 上面的结论可以使用数学归纳法来证明。 12、有一个正方形网格,其中每个小正方形的边长都等于 6cm。现用直径等于 2cm 的硬币 投掷到此网格上,则硬币落下后与网格有公共点的概率为________. 解:以圆心所处的位置为样本空间,画图分析知答案为

5 9

13、设 x1,x2 是 a x ? bx ? 1 ? 0 的两实根;x3,x4 是 ax ? bx ? 1 ? 0 的两实根.
2 2 2

若 x3 ? x1 ? x2 ? x4 ,则实数 a 的取值范围是____________.

解:由已知 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 ? 0 的两个根在不同区间 (??, x1 ) 和 ( x2 , ??) 中,故: 当a ? 0时?

? f ( x1 ) ? 0 ? ax12 ? bx1 ? 1 ? 0 ?ax12 ? a 2 x12 ? 0 ?? 2 ?? 2 ? a ?1 2 2 ? f ( x2 ) ? 0 ?ax2 ? bx2 ? 1 ? 0 ?ax2 ? a x2 ? 0

当 a ? 0 时原理相同,此时无解。 当 a ? 0 时方程只有一个根,舍去。 综上: a ? 1 注:严格的讲本题还要证明必要性:当 a ? 1 时,任取 b ? 2a ,结合根的分布可以验证此时 这两个方程的根满足题目的要求。故本题的充要条件为 a ? (1, ??)

14、如图,点 P(3,4)为圆 x 2 ? y 2 ? 25 上的一点,点 E,F 为 y 轴上的两点,△PEF 是以 点 P 为顶点的等腰三角形,直线 PE,PF 交圆于 D,C 两点,直线 CD 的斜率是______.

解:等价于直线 PC , PD 倾斜角互补,设 PC 斜率为 k ,则 PD 斜率为 ? k ,通过强求交点 用 k 表示出 C , D 的坐标,然后计算出本题答案为

3 4

注:一般性结论:经过圆锥曲线上的点 P 作倾斜角互补的两条直线和圆锥曲线交于另外的

A, B 两点,则直线 AB 和圆锥曲线在点 P 处的切线的倾斜角仍然互补,即 AB 的斜率与切
线的斜率互为相反数。此结论可以秒杀本题。

15、在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB>CD. 设以 A、B 为焦点且经过点 C、D 的 双曲线的离心率为 e1 , 以 C、 D 为焦点且经过点 A、 B 的椭圆的离心率为 e2 , 则 e1 ? e2 =_____ . 解:等腰梯形的各边长度如下图所示,则: e1e2 ?

n m mn ? ? 2 2 x ?t x ?t x ?t

由于等腰梯形为圆的内接四边形,据托勒密定理: mn ? t ? x ,故 e1e2 ? 1
2 2

n x m
注:托勒密定理:圆内接四边形对边乘积之和等于对角线的乘积。

t

x

t

16、给出定义:若 m ?

1 1 ? x ? m ? (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数, 2 2

记作{x},即{x}=m. 在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ?| x ? {x}| 的四个命题: ① y ? f ( x) 的定义域是 R,值域是[0,

1 k ];② y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? (k ? Z ) 对 2 2

称;③函数 y ? f ( x) 是周期函数,最小正周期是 1;④ 函数 y ? f ( x) 在 ? ? 函数.则其中真命题的序号是 .

? 1 1? , 上是增 ? 2 2? ?

解:分段画出 f ( x ) 的图像可知答案为①②③,画图非常简单:

1 1 1 3 3 5 x ? (? , ], y ? x ; x ? ( , ], y ? x ? 1 ; x ? ( , ], y ? x ? 2 ; 2 2 2 2 2 2
注:处理和高斯函数,小数函数有关的问题时最有效的方法为:分段画图

17、设函数 f ( x) ? x2 ? ln( x ? 1) ,证明:对 ?n ? N * ,

?f? ? ? 1? 2 ?k?
k ?1

n

?1?

1
3

?

1 1 ??? 3 3 3 n

1 1 1 证明:按照逐项比较原理只需证明: 2 ? ln( ? 1) ? 3 对任意 x ? 1 成立。 x x x 1 2 3 换元:设 t ? ? (0,1] ,只需证 t ? ln(t ? 1) ? t ,求导分析即可。 x 2 4 6 2n ? ? ????? ,证明: a1 ? a2 ????? an ? 2 n ? 1 ? 2 3 5 7 2n ? 1 2 4 6 2n ? 2( n ? 1 ? n ) 证明:逐项比较,只需证 ? ? ????? 3 5 7 2n ? 1 2n n ?1 ? n 再次逐项比较,只需证明 ,变形平方去掉根号即可。 ? 2n ? 1 n ? n ?1 3 5 7 2n ? 1 注:由于 an 中的项有空隙,可以构造对偶式求解。记 bn ? ? ? ????? 4 6 8 2n ? 2
18、设数列 an ?

可知 an ? bn 且 an bn ?

1 1 ,故 an ? ? 2( n ? 1 ? n ) n ?1 n ?1
2

19、函数 f ( x) ? sin x ? cos( x ? t ) 为偶函数,且 t 满足 t ? 10t ? 9 ? 0 ,则 t =__________. 解:利用偶函数定义 f (? x) ? f ( x) 知: t ? 2k? ? 故只有 t ?

?
2

且1 ? t ? 9

? 5 或 ? 2 2

3 2 x ? 3x ? 4 ? b 的解集恰好为 [a, b] ,则 a ? b =______. 4 a ?1 ? 解:画图分析知 ? ,解得 a ? 0, b ? 4 ,故 a ? b ? 4 ? f (a) ? f (b) ? b
20、若关于 x 的不等式 a ? 21、若 P 是 Rt ?ABC 斜边 BC 上的一点,且 | AP | ? 2, ?BAP ? 最小值为_______________. 解:设直角边分别为 a , b ,则根据面积等式得 ab ? 2(a ? b) 以直角顶点为原点,直角边为坐标轴建立坐标系,则 A(0,0), B(a,0), C(0, b), P( 2, 2)

???? ?

?
4

,则 | AB ? AC ? AP | 的

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? AB ? AC ? AP ? (a ? 2, b ? 2) ? a 2 ? b2 ? 2 2(a ? b) ? 4
设 a ? b ? t ,则 ab ?
2 2

2t ,且 t ? 4 2
2

故 a ? b ? 2 2(a ? b) ? 4 ? t ? 4 ? 6 ,故最小值为 6 注:面积等式为 S ?ABC ? S ?ABP ? S ?ACP ? 这是处理角平分线问题的重要手段。

1 1 1 ab ? 2a sin 45? ? 2b sin 45? 2 2 2

22、函数 y ? f ( x)

x ? R 满足 f ( x ? 1 ) ? af ( x ) , a 是不为 0 的常数, f ( x) ? x(1 ? x) , 当 0 ? x ? 1时, (1)若函数 y ? f ( x), x ? R 是周期函数,写出符合条件 a 的值;
(2)求 n ? x ? n ? 1(n ? 0, n ? Z )时, 求 y ? f ( x) 的表达式 y ? f n ? x ? ; (3)若函数 y ? f ( x) 在 ?0, ? ?? 上的值域是闭区间,求 a 的取值范围. 解: (1)当 a ? 1 时周期为 1 ;当 a ? ?1 时周期为 2 (2)迭代知? fn ? x ? ? a (3)易知 ?
n

? x ? n?? n ?1? x ?

1 n 1 n a ? f n ( x) ? a 4 4

? 1? 当 a ? 1时 f ? x ? ? ? ??,+?? 舍去;当 a ? 1 时 f ? x ? ? ?0, ? 符合; ? 4? ? 1? ? 1 1? 当 a ? ?1 时 f ? x ? ? ? ? , ? 符合;当 0<a ? 1 时 f ? x ? ? ?0, ? 符合 ? 4 4? ? 4? ? 1? 当 -1<a ? 0 时 f ? x ? ? ?0, ? 符合; ? 4?
综上 a ?[?1,0) ? (0,1]

23、某学生对函数 f ? x ? ? x sin x 进行研究后,得出如下结论: ①函数 f ? x ? 在 ? ?

? ? ?? 上单调递增; , ? 2 2? ? ? ? ?? 恒成立; , ? 2 2? ?

②存在常数 M>0,使 f ? x ? ? M 对 ?x ? ? ?

③函数 f ? x ? 在(0, ? )上无最小值,但一定有最大值; ④点( ? ,0)是函数 y ? f ? x ? 图象的一个对称中心. 其中正确命题的序号是 解:由于 f ( x ) 为偶函数且在 [0, 由于 f ( x) ? x ? sin x ? .

?
2

] 递增,则在 [?

?
2

, 0] 递减,故①错误;

?
2

,故②正确;

设 f ( x ) 在 [0, ? ] 上值域为 [0, f ( x0 )] ,故在在 (0, ? ) 上值域为 (0, f ( x0 )] ,③正确; 由于 f (? ? x) ? f (? ? x) ? 0 ,故④错误 答案为②③

24、 若等差数列 ?an ? 前 n 项的和 Sn ?

n m , 前 m 项的和 S m ? , 其中 m ? n , 证明: Sm ? n ? 4 m n

证明:设 Sn ? an2 ? bn ,则由已知得到两个等式,将它们相减便得结果。

n ? 2 an ? bn ? ? ( m ? n) 2 ? m 2 ? a ( m ? n ) ? b ( m ? n ) ? ?4 ? m mn 2 ?am ? bm ? ? n ?
注:由均值不等式知 (m ? n)2 ? 4mn ,本题的设法 Sn ? an2 ? bn 是关键。

25、 已知函数 f ? x ? ? x2 ? ax ? a 且 ?x1 , x2 ? ? ??,

0? ,有

? x ? R? ,若不等式 ?2 ? f ? x ? ? 0 的解集是单元素集合, f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 成立。
x1 ? x2

记数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? f ? n ? ? 4 . (1)求 f ? x ? 的表达式; (2)设 An ?

? an Sn ? , 2 ? ,如 ?n ? N * 点 An 总在以原点为圆心的某个圆内或圆周上,求满足 ? n n ?

条件的最小的圆的方程. 解: (1)易知 f ( x) ? x2 ? 4x ? 4 (2)可求出 An (
2

2n ? 3 n 2 ? 4n , ) ,由题意知: n n2
2 2 2 2

2 3? ? 4? ? 2n ? 3 ? ? n ? 4n ? ? 2 OAn ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ?1 ? ? ,求值域知 ? OAn ?max ? 50 . ? ? 2 n? ? n? ? n ? ? n ? ?

所以存在半径最小的圆,其方程为 x2 ? y 2 ? 50 . 26、已知四边形 OABC 是边长为 1 的正方形, OD ? 3OA ,点 P 为 ?BCD 内(含边界) 的动点,设 OP ? ? OC ? ? OD(? , ? ? R) ,则 ? ? ? 的最大值等于

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?



解:建立仿射坐标系 ?O; OC, OD? ,则 P(? , ? ) , B(1, ), C (1, 0), D(0,1) 等价于 (? , ? ) 在 ?BCD 内(含边界)运动时,求 ? ? ? 最大值,由线性规划知识可知:

1 3

(? ? ? ) max ?

4 3

注:处理向量的线性运算时,直角坐标和斜坐标并无差别。

27、 已知可导函数 f ( x)( x ? R) 的导函数 f ?( x ) 满足f ?( x) ? f ( x) , 则当 a ? 0 时, f (a)和

ea f (0) ( e 是自然对数的底数)大小关系为
解:构造 g ( x) ?

f ( x) f '( x) ? f ( x) ? g '( x) ? ? 0 ,故 g ( x) 递增 x e ex
a

故 a ? 0 ? g (a) ? g (0) ? f (a) ? e f (0)

28、设函数 f ( x) ?

x ? sin x . x

(1) 判断 f ( x ) 在区间 (0, ? ) 上的增减性并证明之; (2)设 0 ≤ x ≤ ? ,且 a ?[0,1] ,求证: (2a ? 1) sin x ? (1 ? a ) sin(1 ? a ) x ≥ 0 . 解:(Ⅰ)求导得: f ?( x ) ?

x cos x ? sin x x ? (0, ? ) x2

设 g ( x ) ? x cos x ? sin x x ? (0, ? ) 则 g ?( x) ? ? x sin x ? 0(? x ? (0, ? ))

g ( x ) 在 (0, ? ) 上为减函数,故 g ( x) ? 0 , f ?( x ) ?
(2)显然当 a ? 0,1或 x ? 0, ? 时,不等式成立

g ( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0, ? ) 上递减。 x2

当 0 ? a ? 1且0 ? x ? π ,原不等式等价于 (1 ? a) sin(1 ? a) x ≥ (1 ? 2a) sin x 下面证明一个更强的不等式: (1 ? a) sin(1 ? a) x ≥ (1 ? 2a ? a2 )sin x ? (1 ? a)2 sin x 即 sin(1 ? a) x ≥ (1 ? a) sin x ,即

sin(1 ? a) x sin x ≥ x (1 ? a) x


由于

sin x 在 (0, ? ) 上是减函数,又? (1 ? a) x ? x x
2

sin(1 ? a) x sin x ? 得证。 (1 ? a) x x

注: 加强命题的目的是让两边都只含 1 ? a , 由于 a ? 0 , 故加强是合理的, 可谓以退为进。

29、 {an } 满足 a n ?

n ? 70 n ? 71

,则数列 {an } 的取最大值时的 n 为

解: an ? 1 ?

71 ? 70 在 n ? 1, 2, ???,8 递减,此时 a1 最大;在 n ? 9,10, ??? ,也递减,此 n ? 71

时 a9 最大,故最大项为 max ?a1, a9 ? ? a9 ,故 n ? 9

30、设 x,y 均为正实数,且

1 1 1 ? ? ,则 xy 的最小值为 2? x 2? y 3

解:从已知条件中得出 y ? f ( x) ,代入目标即可,答案为 16 注:这是对称问题,按照对称原理猜测 x ? y ? 4 时取最值。

31、若函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 [0. ? ?) 上是单调增函数.如果实数 t 满足

1 f (ln t ) ? f (ln ) ? 2 f (1) 时,那么 t 的取值范围是 t

.

解:注意到 f (ln ) ? f (? ln t ) ? f (ln t ) ,故等价于 f (ln t ) ? f (1) ,由图像知:

1 t 1 ln t ? 1 ? t ? ( , e) e

32、若关于 x 的不等式 (ax ? 20)lg 解:由定义域知

2a ? 0 对任意的正实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围。 x

2a ? 0 恒成立 ? a ? 0 x 20 2a 20 ? 0 恒成立,即 x ? 2a ,此时 ? 2a ? a ? 10 当0 ? x ? 时 lg a x a 20 2a 20 ? 0 恒成立,即 x ? 2a ,此时 ? 2a ? a ? 10 当x? 时 lg a x a
综上仅有 a ? 10 33、若 e x ? ax ? 1 对任意的 x ? R 恒成立,求 a 的取值的集合. 解:画图分析知仅当 y ? ax ? 1 和 y ? e x 相切时才能满足题意,故 a ? 1

34、 设等差数列 an ?

2n ? 4 的前 n 项和为 Sn , 从 {an } 中抽取一个公比为 q 的等比数列 {akn } , 3

其中 k1 ? 1 ,且 k1 ? k2 ? ? kn ? ? , kn ? N * . (1)当 q 取最小值时,求 {kn }的通项公式; (2)若关于 n(n ? N * ) 的不等式 6S n ? kn ?1 有解,试求 q 的值. 解: (1)对 {akn } 通项算两次得: 2q
n ?1

2 ? 2 ? (kn ? 1) ? kn ? 3q n ?1 ? 2 3

am m ? 2 m ? 2 n?1 (m ? 2)n ?1 ) ?2 ? ? 2 ? m ? 2 为 3 的倍数, 设q ? ,则 kn ? 3( ? 3 3n ?2 a1 3
故q ?

m?2 n?1 必定为整数,故 qmin ? 2 ,此时 kn ? 3 ? 2 ? 2 3
2 n

(2)等价于 2n ? 10n ? 2 ? 3q 有正整数解,枚举知当 q ? 2,3, 4 时均有正整数解 n ? 1 , 可以用数学归纳法证明 2n ? 10n ? 2 ? 3 ? 5 恒成立,故 q ??2,3,4?
2 n

注:可以证明存在 {akn } 成等比数列的充要条件是 q ? N * 35、设函数 g ? x ? ? 2ln x ? x2 ? kx ,若 x1 , x 2 ? x1 ? x2 ? 是函数 g ? x ? ? 0 的两个根, x0 是 x1 ,
x 2 的等差中项,求证: g' ( x0 ) ? 0
2 ? 2 ? ln x1 ? ln x2 ? ?2ln x1 ? x1 ? kx1 ? 0 , k ? ? ? x1 ? x2 ? , 证明:由已知 ? 相减解出 2 x1 ? x2 ? ?2ln x2 ? x2 ? kx2 ? 0 ,

于是 g' ? x0 ? ?

2 ? ln x1 ? ln x2 ? 2 4 ? 2 x0 ? k ? ? x0 x1 ? x2 x1 ? x2

利用对数平均小于算数平均可证 g' ( x0 ) ? 0

36、从棱长为 1 的正方体的 8 个顶点中任取不同 2 点,设随机变量 ξ 是这两点间的距离. (1)求概率 P ? ? 2 ; (2)求 ξ 的分布列,并求其数学期望 E(ξ ).
2 解: (1)共有 C8 ? 28 种取法,面对角线长为 2 ,每个面有两条对角线,共 2 ? 6 ? 12 条.

?

?

因此 P ? ? 2 ? 12 ? 3 28 7 (2)分布列如下, E(? ) ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 1 ? 3 ? 3 2 ? 3 7 7 7 7

?

?

?
P( ? )

1
3 7

2

3

3 7

1 7

37、已知等差数列 an ? 3n ?11 ,试求所有的正整数 m,使得 解:因为

am+1am? 2 为数列 ?an ? 中的项. am

am?1am? 2 18 ,故 3m ? 11 为 18 的约数,枚举知 m ? 3 或 4 ? 3m ? 2 ? am 3m ? 11

38、设 y ? 1 ? 2a ? a ? 2a cos x ? 2 sin x (其中 a ? 2 , x ? R ) .求 y 的最小值
2 2
2 2 2 2 解:记 t ? cos x ?[?1,1] ,则 y ? ?2a ? a ? 2at ? 2t ?1 ? [a ? (t ? 1)] ? (t ?1) ? 3 ? ?3

故 ymin ? ?3 ,当 cos x ? 1, a ? 2 时取等号。 注:不要忘记配方法。

39、若函数 f ( x) ? x ? 13 ? 2tx ( t ? ? ? )的最大值是正整数 M ,则 M = 解:设 m ? 13 ? 2tx ? 0 ,则 y ? 故M ?



1 1 (?m 2 ? 2tm ? 13) ? (t 2 ? 13) 2t 2t

1 2 13 (t ? 13) ? 2M ? t ? ? N ? t ? 1 或 13 ,故 M ? 7 2t t

40、如图,ABCD 是正方形空地,边长为 30m,电源在点 P 处,点 P 到边 AD,AB 距离分 别 为 9 m , 3 m . 某 广 告 公 司 计 划 在 此 空 地 上 竖 一 块 长 方 形 液 晶 广 告 屏 幕 MNEF ,
MN : NE ? 16 : 9 .线段 MN 必须过点 P,端点 M,N 分别在边 AD,AB 上,设 AN=x(m) ,

液晶广告屏幕 MNEF 的面积为 S(m2). (1)求 S 关于 x 的函数关系式及该函数的定义域; (2)当 x 取何值时,液晶广告屏幕 MNEF 的面积 S 最小?

F E D M A P N B C

解: (1)利用几何关系 AM ? 而 NE ?

9 x2 3x (10 ≤ x ≤ 30) . MN 2 ? AN 2 ? AM 2 ? x 2 ? ( x ? 9) 2 x?9

9 9 9 9 x2 ] ,定义域为 [10,30] . MN . S ? MN ? NE ? MN 2 ? [ x 2 ? 16 16 ( x ? 9) 2 16
9 18 x( x ? 9) 2 ? 9 x 2 (2 x ? 18) 9 x[( x ? 9)3 ? 81] [2 x ? ]= ? , 令 S? ? 0 , 得 x ? 9 ?3 3 3 . 16 ( x ? 9) 4 8 ( x ? 9)3

(2)S ? ?

∴当 x ? 9 ? 3 3 3 时 S 取得最小值

41、 已知函数 f ( x) ? x2 ? mx ? n ln x (x?0, 实数 m , . 若对于任意的实数 a ?[1, 2] , n 为常数)
b ? a ? 1 ,函数 f ( x) 在区间 (a, b) 上总是减函数,对每个给定的 n,求 m 的最大值 h(n).

解:由已知对于 x∈(1,3), f ?( x) ? 2 x ? m ?

n 2 x 2 ? mx ? n ? <0 恒成立 x x

设 g(x)= 2 x 2 ? mx ? n ,等价于 g(x) ≤ 0 在区间[1,3]上恒成立,由根的分布:
? g (1) ≤ 0, 故? ? g (3) ≤ 0,

?m ≤ -n ? 2, ? n ?? ? 6, ? 即? ,从而 h(n) ? ? 3 n m ≤ - - 6. ? ? 3 ??n ? 2, ?

n ? 6, n ≥ 6.

42、若

m2 x ? 1 ? 0 (m ? 0)对一切 x ? 4 恒成立,则实数 m 的取值范围是 mx ? 1



解:等价于 f ( x) ? m3 x2 ? (m2 ? m) x ?1 ? 0 在 [4, ??) 上恒成立,显然 m ? 0 , 否则 f (??) ? 0 与已知矛盾,画出 f ( x ) 图像知 f ( x ) 的根均小于 4 ,由根的分布:

? f (4) ? 0 ? 1 ? m2 ? m ? 4 ? m ? (??, ? ) ?? 3 2 ? 2m ? ? m?0
43、设 ? 为随机变量,从棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的八个顶点中任取四个点, 当四点共面时, ? = 0,当四点不共面时, ? 的值为四点组成的四面体的体积. (1)求概率 P( ? = 0) ; (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E ( ? ). 解:分布列如下,期望 E? ?

1 7
1 3 1 35 1 6 28 35

?
p

0

6 35

b 44、已知 a,b 为常数,a ? 0,函数 f ( x) ? (a ? ) e x .若 f (2) ? 0 , f (?2) ? e?2 ,且 f ( x) 在 x 区间[1,2]上是增函数,求由所有点 (a, b) 形成的平面区域的面积.
解:由已知 2a ? b ? 0 , 2a ? b ? 2 ,且 f '( x) ? 0 ? ax ? bx ? b ? 0 在 [1, 2] 上恒成立。
2

? f '(1) ? a ? 0 ? f '(2) ? 4a ? b ? 0 ? 由此可得必要条件: ? ,根据这四个式子可以证出 f '( x) ? 0 恒成立,故 2a ? b ? 0 ? ? 2a ? b ? 2 ? 1 这几个式子即为充要条件,画出可行域知其面积为 6

45、已知 a ? 1 时,集合 ? a, 2 ? a? 有且只有 3 个整数,则 a 的取值范围是_ ____ 解:由于 2 ? a ? a ? a ? 1 ,故集合中必含有 1 ,下面枚举破此题: 若这三个整数为 1, 2,3 ,则 0 ? a ? 1,3 ? 2 ? a ? 4 ,此时无解; 若这三个整数为 0,1, 2 ,则 ?1 ? a ? 0, 2 ? 2 ? a ? 3 ,此时 a ? (?1, 0] ; 若这三个整数为 ?1, 0,1 ,则 ?2 ? a ? ?1,1 ? 2 ? a ? 2 ,此时无解; 综上 a ? (?1, 0]

46、在平面直角坐标系中,横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点,对任意自然数 n ,连结 原点 O 与点 An (n, n ? 3) ,若用 f (n) 表示线段 OAn 上除端点外的整点个数, 则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2010) ? 解:计算前几项知 f ( n) 周期为 3,以 0,0, 2,0,0, 2, ??? ,循环出现。由此得答案为 1340

47、若不等式 x2 ? 2 2 xy ≤ a( x2 ? y 2 ) 对于一切正数 x 、 y 恒成立,求实数 a 的最小值。 解:分离参数转化为齐次式,再比值代换即可,答案为 2 48、 对于数列 ?an ? , 如果对任意正整数 n , 总有不等式:

an ? an ? 2 ? an ?1 成立, 则称数列 ?an ? 2

为向上凸数列(简称上凸数列). 现有数列 ?an ? 满足如下两个条件: (1)数列 ?an ? 为上凸数列,且 a1 ? 1, a10 ? 28 ; (2)对正整数 n ( 1 ? n ? 10, n ? N * ) ,都有 an ? bn ? 20 ,其中 bn ? n2 ? 6n ? 10 . 求数列 ?an ? 中的第五项 a5 的取值范围。 .

解:由已知 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ,设 an?1 ? an ? dn , 则 dn?1 ? dn ,显然 a5 ? d4 ? d3 ? d2 ? d1 ? 1 , a10 ? d9 ? d8 ? d7 ? d6 ? d5 ? a5 由

d1 ? d 2 ? d3 ? d 4 d9 ? d8 ? d 7 ? d 6 ? d5 a ? 1 a10 ? a5 ? ? 5 ? ? a5 ? 13 4 5 4 5

另一方面 a5 ? b5 ? 20 ? a5 ? 25 ,综上 a5 ?[13, 25] 另一方面,当 a5 ?[13, 25] 时,构造等差数列 ?an ? 即可满足要求, 综上 a5 ?[13, 25] 注:可得到一般性关系: am ? 3m ? 2 对任意 m ? 1, 2, ???,10 成立。

???? ??? ? ???? ??? ? x2 ? y 2 ? 1上, 49、 如图点 B, C (C 在第一象限) 都在椭圆 满足 OC ? ? BA , 且 OC ? OB ? 0 , 4

求实数 λ 的值.
y C

O

A x

B

解:由已知 ? B 为直角,据此可求出点 B( , ?

2 3

8 2 , ) ,进而求出直线 AB 的斜率为 3 2

由 OC / / AB 知直线 OC 的斜率也等于

2 3 ,故 C 的坐标可求出,最终 ? ? 2 2

50、 设函数 f ( x ) 的定义域为 D , 值域为 B , 如果存在函数 x ? g (t ) , 使得函数 y ? f ( g (t )) 的值域仍然是 B ,那么,称函数 x ? g (t ) 是函数 f ( x ) 的一 个等值域变换, 设 f ( x) ? log2 x 的值域 B ? [1,3] ,已知 x ? g (t ) ?

mt 2 ? 3t ? n 是 f ( x ) 的一个等值域变 t2 ?1

换,且函数 f ( g (t )) 的定义域为 R ,求实数 m, n 的值。 解:由 1 ? log2 x ? 3 知 2 ? x ? 8 ,即 f ( x) ? log2 x 定义域为 [2,8] 所以 2 ?

mt 2 ? 3t ? n ? 8 ? 2(t 2 ? 1) ? mt 2 ? 3t ? n ? 8(t 2 ? 1) , 2 t ?1 2 ?(m ? 2)t ? 3t ? (n ? 2) ? 0 ,且可以取到等号。 ? 2 ? (m ? 8)t ? 3t ? (n ? 8) ? 0

2?m?8 ? ? 于是 ?? 1 ? 9 ? 4( m ? 2)(n ? 2) ? 0 ,解得 ?? ? 9 ? 4(m ? 8)(n ? 8) ? 0 ? 2

? 3 3 ? 3 3 m ? 5? m ? 5? ? ? ? 2 或? 2 ? ? 3 3 3 ?n ? 5 ? ?n ? 5 ? 3 ? ? 2 2 ? ?

注: f ( x)min ? ? ? f ( x) ? ? 恒成立且可以取到等号。


相关文档

更多相关文档

高中数学难题(适合高考)
高中数学经典高考难题集锦(解析版) (3)
高中数学难题(含答案)
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(11)
高中数学必修1难题好题
电脑版