2014年一道高考解析几何压轴题透视


上海中学数学?2014年第11期

2014年一道高考解析几何压轴题透视
246400安徽省太湖中学
高考题往往具有丰富的内涵,数学教师要善于思 考、发掘、研究,在备考复习中恰当选用,这对提高学生 的数学思维水平和解题能力十分有益.笔者对2014年 安徽高考数学文科卷第21题压轴题进行透视. 1题目 如图l,设F,,F2分别
1j

李昭平

理、解三角形等基础知识和基本技能,考查数形结合 思想、逻辑推理能力和运算求解能力.虽仍有焦点三 角形,但背景设计跳出了以往的传统题型,融解几、 平几、方程、三角等知识于一体,具有推陈出新之效. 考生普遍反映“人手易、深入难”,“会而不对、会而不 全”.从阅卷反馈的信息来看,学生的得分率并不高, 题面新、字母多、运算量较大是主要原因.从难度、区 分度、新颖度和满意度等几个方面来看,此题是一道 解法基础、注重创新的好压轴题.其实,本题还具有 拓展性,通过联想论证可以获得其他结论. 4联想

是椭圆E:与+者=1 Ⅱ


一2

..2

(a>b>O)的左、右焦点,过 点Fl的直线交椭圆E于A, B两点,I (I)若I
AFl

—*: .—夕
图1

石 飞点


l=3

FlB I.

AB

l一4,/xABF:

4.1引申联想 对高考题的第(Ⅱ)问作进一步思考,得到探索 性联想1. 联想1

的周长为16,求IAFz I;(Ⅱ)若C08/AF:B=导,求 。 椭圆E的离心率. 2解析 (I)由l AF,f=3 I
F。B

设F,,Fz分别是椭圆E:等+声2



(n>6>o)的左、右焦点,过点F。的直线交椭圆E l,l AB{一4,得l AF。l 于A,B两点.若a2—2b2,是否存在满足条件“lAFl 一3,fF。BI一1,因为△ABFz的周长为16,所以由 椭圆定义可得4a一16,IAF。l+lAF2 f=2a一8,故 IAF2 I=2口一lAFl l=8—3=5. (Ⅱ)设IF。BI=志(志>o),则IAF。l=3k,lABf =4k.由椭圆定义可得,IAF2 I一2a一3k,I BF。I一 2a—k.在△ABF2中,由余弦定理可得I IAF2 2+I
BF2 2—2 AF2


=3IF。BI,且cosLAF:B一}”的椭圆?若存在,求
出椭圆方程;若不存在,请说明理由. 解析:假设存在满足条件的椭圆,则由上述解

AB

2=

答可知椭圆的离心率是P—ic一4可Z.
.,万

BF:l cos么AF2B,即


而口2=62+c2,解得口=1,6=等.故满足条件
的椭圆方程是z2+2y2—1. .4.2逆向联想 对高考题的第(Ⅱ)问作逆向思考,题设与结论 互换得到联想2.
,万

(4k)2=(2a一3k)2+(2口一志)2一善(2a一3k)(2a一 志),化简可得(n+志)(n一3k)=0而a+k>0,故a一 3志,于是有I AF2 l=3k=I AF。l,I BF。I=5k,因此
BF2

2一l AF。I 2+I

AB

2,可得F。A上F:A,故


AAF。F。为等腰直角三角形.从而c一等口,所以椭

联想2设F。,F。分别是离心率为等的椭圆
E:与+告=1(n>6>o)的左、右焦点,过点F。的直 扩
a。

圆E的离心率P=三a一迮2.
3点评 直线与圆锥曲线的位置关系是高考考查解析几 何的核心内容,它充分体现了解析几何“由数研形” 和“由形研数”两大基本思想.2014年安徽高考对解 析几何的考查也不例外.本题主要考查椭圆的标准 方程及其几何性质,直线和椭圆的位置关系,余弦定

线交椭圆E于A,B两点,IAF。I=3lF。Bl,求COS 么AF。B的值.

解析:因为÷一等,所以口=屈.设J FlB j—
f(£>O),则IAF。l=3t,IABl一4t.

在zSAF,Fz中,础=掣鬟镓冀筹一

万方数据

26

上海中学数学?2014年第11期 数学教学的依据,又是检测数学教学质量的标准。高 考虽是选拔性考试,但考试内容都规定在上述四个 标准之内.因此,抓住了标准就抓住了高考.将偏题、 怪题、难题引入课堂,随意提高要求,会让学生做很 多无用功,逐渐失去学习数学的兴趣,甚至丧失学习 数学的信心,这是最可怕的.标准要求教师们重视课 本、夯实基础,注重概念、定理的发生、发展过程,引 导学生对通性、通法的体验与感悟,强调“三基”的熟 练程度,强调数学的本质,强调形成良好的学习习 惯(预习、听课、练习、复习、建错题集等). 5.2数学教学要重视对学生运算能力的培养 4.3类比联想 对高考题的第(Ⅱ)问作类比联想,从椭圆向双 数学最显著的特征是“用量的特性去估计质的相 应特性”,即常说的“量化”.“量化”就要处理数量关 系、数据关系,其途径就是运算.实践表明,没有相当

’ ,

■双瓦又瓦乒j矿’

9产+(2a--3t)2一孙2

在△慨中,co幽=型篆羲豢鲁型
一—16—fl+百(F2a。- F3t万)z—- 五(2下a- 一t)z,所以4
2×t×(2n一3f) ”“一

■孩面又西再玎一——可可万可ii万一’
9产+(2口一3f)2—2a2 16t2+(2n一3t)2一(2n一£)2

整理得3at=a2,口一3£. 于是IAF。l=3t=I AF,I,I BF:I一5t,l AB I一 4t,么A一90。,故cos/AFzB一詈.

曲线类比,得到联想3. 联想3如图2,设F。, F2分别是双曲线E:x_口2z—y--62 —1(n,6>0)的左、右焦点, 过点F。的直线交椭圆E于 A,B两点,且l AF,I=


蔓 幺一 y \一
图2

的运算能力很难做对本文此题.现实的数学课堂上, 许多教师非常重视解题思路的探索过程,但忽视板书 解题的运算推理过程,厚此薄彼.长此以往,学生的思 维水平得到了提高,但运算能力的发展滞后,算得慢、 算得不准、算得不全,数学成绩难以上升.另外,在很 多教师和学生的眼中,提高运算能力就是要多做题、 做熟练,多多益善.这种观点是片面的.因为,一来时 间不允许多做题,还易形成思维定势;二来运算不是 硬算,运算中要有算理、有方法、有思维.培养学生运 算能力可以从以下方面人手:第一,选择典型试题板 书示范运算过程,并指明算理;第二,对作业和检测中 普遍性错误进行深度剖析;第三,对客观性试题(15 题)实施限时训练,在40分钟内完成,再批改、纠错、 释错、改错.在日常教学中,通过上述针对性活动,加 大对学生运算技能的训练力度,培养学生细心、耐心、 静心等良好的个性品质,形成严谨治学的科学态度, 逐步实现“愿算一会算一巧算一精算”的目标. 5.3数学教学要关注研究性学习 研究性学习是数学新课程的一大亮点.这种学 习方式对全面提高学生探究能力、数学思维和创新 精神都有巨大的作用.对于想在高考获得更好数学 成绩的学生来说,这又是必须的.首先,可以选择历 年精彩高考题,通过背景分析、多向求解、广泛联想 等方面对其进行全面透视,发掘学生的潜能,深化思 维层次,提高探究能力.比如对本文题目进行引申联 想、类比联想、逆向联想.其次,鼓励学生开展社会 实践活动,撰写数学应用小论文,初步掌握数学建模 的基本思想.将数学知识运用于现实生活,更能激发 学生的研究热情.第三,将数学竞赛中的部分试题抛 给学生,让他们在探索中阅读新知识、领会新思想、 学到新方法,不断提升数学素养.



FlBI,COS么AF2B=÷,

求双曲线E的离心率. 解析:设lFlBI=f(f>0),则】AF。l=3t,IABl
=2t.

由双曲线定义可得lAFz l=3f一2口,IBF2 J一2a
+t.

在△ABF2中,由余弦定理可得JAB 2一lAF2 +IBF2 2—2lAF2 lBF2 cos么AF2B,



臣1/(2t)z=(3t一2a)2+(2n+f)2一导(3t--2a)
(2口+£),

化简整理得3f2—16n£+16a2—0,(3r一4口)(r一 4a)一0,所以3t=4a,或t=4a. 当3t=4口时,I AF。I一2口,I

BF。I:娑口,I AB

:i8口.EJfgllFlAF2—90。,2c一2屈.
于是双曲线E的离心率P一旦一万.




当f一4a时,IAF2 l一10a,I BF。1=6a,1 AB I一

8口.所以么FlAFz一90。,2c=2 ̄/61口. 于是双曲线E的离心率P=旦= ̄/西.




启示 5.1数学教学要强化标准意识 课本教材、课程标准、考试大纲、考试说明,既是

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