2016届四川省成都外国语学校高三最后一卷 数学文


成都外国语学校 2016 届高三最后一卷

数学(文)试题
满分:150 分,时间 120 分钟. 第 I 卷(满分 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.若右图所示的集合 A ? {1, 2,3} , B ? {x ? Z | x2 ? 6x ? 8 ? 0} ,则图中阴影 部分表示的集合为( A. {1, 2} ) B. {1,3} C. {1, 4} D. {2,3} )

2.已知 i 是复数的虚数单位,若复数 z (1 ? i ) ?| 2i | ,则复数 z ? ( A. i B. ?1 ? i C. 1 ? i D. 1 ? i

3.在等差数列 {an } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? 6 ,则 a7 ?

1 a8 ? ( 2


2

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是等腰直 角三角形,则该三棱锥的体积为( )

2

正(主)视图
2 2

侧(左)视图

4 (D) 3 ??? ? ??? ? 5. 已知点 A ? ?1,1? . B ?1, 2 ? . C ? ?2, ?1? . D ? 3, 4 ? , 则向量 AB 在 CD 方向上
的投影为( A. ) B. ?

1 (A) 3

1 (B) 6

8 (C) 3

俯视图

3 15 2

3 15 2

C. ?

3 2 2


D.

3 2 2

6.执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为( A.

3

B.

3 2

C.

1 2

D. 1

7.如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P 0 度为 1 ,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为(

?

2, ? 2 ,角速

?


y P x P0

O

·1·

8.若函数 f ( x ) ? 1 ? x lg

a?x 是其定义域上的偶函数,则函数 y ? f ( x) 的图象不可能是( b?x

)

x2 y 2 9.经过双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点 F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相 a b
交于 M , N 两点,若 | MN |?

4a ,则该双曲线的离心率是( 3
B.
x ?1



A. 2 或

2 3 3

5 或 5 2

C.

5 2

D.

2 3 3

10.已知函数 f ( x) ? (3x ? 1)e 取值范围是( A. ( ) B. [?

? mx(m ? ?4e) ,若有且仅有两个整数使得 f ( x) ? 0 ,则实数 m 的
1 8 ,? 2 ) 2 3e 5 ) 2e

5 ,2] e

5 8 ,? 2 ) 2e 3e

C. [ ?

D. [ ?4e, ?

第Ⅱ卷(满分 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上 11.计算 lg 5 ? lg 2 ? log3 3 ? _______.

12. 某班级有 50 名学生,现采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名,将这 50 名学生随机编 号 1~50 号,并分组,第一组 1~5 号,第二组 6~10 号, ,第十组 46~50 号,若在第三组中抽得号 码为 12 号的学生,则在第八组中抽得号码为______的学生.

? x? y ?2 ? 2 x ?1 ? 1 13. 已知 O 是坐标原点,点 A(?1,1) ,若点 M ( x, y ) 为平面区域 ? 上的一个动点,则 ?log ( y ? 1) ? 0 ? 2

???? ???? ? AO ? OM 的取值范围是________.
14.已知 A(0,1), B( ? 3,0), C( ? 3,2) ,则 ?ABC 内切圆的圆心到直线 y ? ? 3x ? 1 的距离为_____.
·2·

15. 设函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 上的导函数为 f ?( x ) , f ?( x ) 在区间 ( a, b) 上的导函数为 f ??( x) ,若 在区间 ( a, b) 上, f ??( x) ? 0 恒成立, 则称函数 f ( x) 在区间 ( a, b) 上为“凸函数”.例如函数 f ( x) ? ln x 在任意正实数区间 ( a, b) 上都是凸函数.现给出如下命题: ①区间 ( a, b) 上的凸函数 f ( x) 在其图象上任意一点 ( x, f ( x)) 处的切线的斜率随 x 的增大而减小; ②若函数 f ( x), g ( x) 都是区间 ( a, b) 上的凸函数,则函数 y ? f ( x) g ( x) 也是区间 ( a, b) 上的凸函数; ③若在区间 ( a, b) 上,f ??( x) ? 0 恒成立, 则 ?x1 , x2 ? (a, b), x1 ? x2 , 都有 f ( ④对满足 m ? 1 的任意实数 m ,若函数 f ( x) ? 函数,则 b ? a 的最大值为 2 . ⑤已知函数 f ( x) ? ? 立; 其中正确命题的序号是 .(写出所有正确命题的序号)

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2

1 4 1 3 x ? mx ? x 2 ? mx ? m 在区间 (a, b) 上均为凸 12 6

1 , x ? (1, 2) ,则对任意实数 x, x0 ? (1, 2) , f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) 恒成 x

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin ? x ? cos ? x, 3 cos ? x) , 若函数 f ( x) ? a ? b b ? (cos ? x ? sin ? x, 2sin ? x)(? ? 0) , 的相邻两对称轴间的距离等于 (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)在 ?ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边,且 f (C ) ? 1 , c ? 2 ,且

? . 2

sin C ? sin ? B ? A? ? 3sin 2 A ,求 ?ABC 的面积.
17.(本小题满分12分) 2016年5月20日,针对部分“二线城市”房价上涨过快,媒体认为国务院常务会议可能再次确定五条措 施(简称 “国五条”). 为此, 记者对某城市的工薪阶层关于 “国五条”态度进行了调查, 随机抽取了60人, 作出 了他们的月收入的频率分布直方图(如图), 同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表 (如下表):

月收入(百元)
·3·

赞成人数

频率/组

[15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75)

8 7 10 6 2 2

0.025



0.02
0.015

0.01
0.005

0

15

25

35

45

55

65

75 月 收 入 / 百

元 (Ⅰ)试根据频率分布直方图估计这 60 人的中位数和平均月收入;

(Ⅱ)若从月收入(单位:百元)在[65,75)的被调查者中随机选取 2 人进行追踪调查,求被选取的 2 人都 不赞成的概率.

18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, E 为 AD 上一点, PE ? 平面
P

ABCD . AD / / BC ,AD ? CD ,BC ? ED ? 2 AE ? 2 ,EB ? 3 ,
F 为 PC 上一点,且 CF ? 2 FP .
(Ⅰ)求证: PA / /平面BEF ; (Ⅱ)求三棱锥 P ? ABF 与三棱锥 F ? EBC 的体积之比. 19. (本小题满分 12 分) 已知各项为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 Sn 且满足 an 2 ? 2an ? 4Sn (Ⅰ)数列 {an } 的通项 an ; (Ⅱ)令 bn ?
A E

F

D
B

C

n?2 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 2 an an?1
n

20.(本小题满分 13 分) 已知 F1 , F2 是椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点, O 为坐标原点,点 P(?1, ) 在椭圆上,线段 PF2 与 2 a b 2 ???? ? ????? ? y 轴的交点 M 满足 PM ? F2 M ? 0

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
·4·

(Ⅱ)⊙ O 是以 F1F2 为直径的圆,一直线 l : y ? kx ? m 与⊙ O 相切,并与椭圆交于不同的两点

??? ? ??? ? 2 3 A, B .当 OA ? OB ? ? ,且满足 ? ? ? 时,求 ?AOB 面积 S 的取值范围. 3 4
21.(本小题满分 14 分) 设知函数 f ( x) ?

1 ? x ? a ln x (a ? R) ( e ? 2.71828 ? 是自然对数的底数) . x

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线为 y ? 0 ,求实数 a 的值; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在定义域上不单调,求 a 的取值范围; (Ⅲ)设函数 f ( x ) 的两个极值点为 x1 和 x2 ,记过点 A( x1, f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 的直线的斜率为 k , 是否存在 a ,使得 k ?

2e a ? 2 ?若存在,求出 a 的取值集合;若不存在,请说明理由. e ?1
2

·5·

成都外国语学校高 2016 届考前适应性考试 数学试题(文史类) 参考答案(第 I 卷) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 D 5 D 6 A 7 C 8 C 9 B 10 B

8.提示:因为 f ( x ) 偶函数,所以 a ? b ? 0 ,①当 a ? b ? 0 时,选项 A 正确, ②当 a ? ?b ? 0 时, f ( x) ? 1 选项 B 正确, ③当 a ? ?b ? 0 时, f ( x) ? 1 选项 D 正确, 故选择 C. 9.提示: tan 2? ?

2 tan ? b a ,? tan ? ? 或 2 1 ? tan ? a b

且, tan? 2?

4 易得选 B 3

10.提示:方法 1. 易得 f ( x) ? (3x ?1)e x?1 ? mx(m ? ?4e) 在 [0, ??) 单调增,且 f (0) ? e ? 0 所以使得 f ( x) ? 0 的 x 的整数解不可能为正整数和零,只可能负整数, 所以分离参数得: m ? ?

(3x ? 1)e x ?1 (3x ? 1)e x ?1 ,作出 y ? ? 与 y ? m 的图像易知只有 ?1, ?2 两个 x x

整数解满足条件。进而选择 B. 方法 2.研究 y ? (3x ? 1)e 方法 3.特殊值法 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上
x ?1

与 y ? ? mx

1 11. 2

12. 37

13. [?2, 0]

14. 1

15. ①③⑤

15 提示:①有凸函数的图像作切线变知正确,或者因为在区间 ( a, b) 上, f ??( x) ? 0 恒成立 所以 f ?( x ) 在区间 ( a, b) 单调减,所以结论成立; ②举反例说明: 如: 函数 f ( x) ? ? x2 , g ( x ) ? ? 区间 (0,1) 不是凸函数; ③若在区间 ( a, b) 上, f ??( x) ? 0 恒成立,所以函数 f ( x ) 在区间 ( a, b) 上为“凸函数”.

1 在区间 (0,1) 都是凸函数, 但是 f ( x) ? g ( x) ? x 在 x

·6·

有图像知道 f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 成立; 2 2

2 ④因为 f ??( x) ? x2 ? mx? 2的两个零点为 a, b(a ? b) ,所以 (b ? a)2 ? (a ? b)2 ? 4ab ? m ? 8在

m ?[?1,1] 的最大值为 9,即 (b ? a)max ? 3
⑤由已知转化为

f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ,数形结合转化割线与切线的问题, x ? x0

或者构造新函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ,注意: F ( x0 ) ? 0 因 为 F ?( x) ? f ? ( x) ?

? 0 所 以 , F ?( x) ? f ?( x) ? f ?( x0 ) 单 调 减 , 且 f? (0 x 而 ) , F ??( x) ? f ??( x)

F ?( x) ? F ?( x0 ) ? 0 ,所以, F ( x)max ? F ( x0 ) ? 0
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤. 16. 解: (Ⅰ) f ( x) ? a ? b ? cos
2

? x ? sin2 ? x ? 2 3 cos ? x ? sin ? x

? cos2?x ? 3 sin 2?x
? 2 sin( 2?x ?

?
6

)

………4 分

?? ? 0 2? ? ?函数f ( x)的周期T ? ? ??, 2? ?
(Ⅱ)? f ( x) ? 2sin(2 x ? 又? f (C) ? 1

? ? ? 1.

………5 分

?

6

)

? s i n (C 2?

?

? 2C ?

?

1 ?) 6 2



?
6

? 2C ?

?
6

?

5 ? ? 6 6

?C ?

?

13 ? 6
………6 分

3

由 C=π-(A+B),得 sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA, ∵ sinC+sin(B-A)=3sin2A, ∴ sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA, 整理得 sinBcosA=3sinAcosA. ………………………8 分 若 cosA=0,即 A=

?
2

时,△ ABC 是直角三角形,且 B=

?
6



于是 b=ctanB=2tan

?
6

=

2 3 2 3 1 ,∴ S△ ABC= bc= . ……………………10 分 3 3 2
·7·

若 cosA≠0,则 sinB=3sinA,由正弦定理得 b=3a.① 由余弦定理得: c ? a ? b ? 2ab cos60 ②
2 2 2 0

联立①②,结合 c=2,解得 a ? ∴ S△ ABC=

2 7 6 7 ,b= , 7 7

3 3 3 1 1 2 7 6 7 absinC= × × × = . 2 7 7 7 2 2

综上,△ ABC 的面积为

2 3 3 3 或 .………………………12 分 3 7

17.解: (Ⅰ)由直方图知: 设中位数 x :则 10 ? 0.015 ? 10 ? 0.015 ? ( x ? 35) ? 0.025 ? 0.5 ,故 x ? 43

x ? (20 ? 0.015 ? 30 ? 0.015 ? 40 ? 0.025 ? 50? 0.02 ? 60? 0.015 ? 70? 0.01) ?10 ? 43.5

? 这 60 人的平均月收入约为 43.5 百元.

…………4 分

(Ⅱ)月收入为(单位:百元)在[65,75)的人数为: 60 ?10 ? 0.01 ? 6 人,…5 分 由表格赞成人数 2 人,则不赞成的 4 人为:记不赞成的人为: a, b, c, d ;赞成人数为: A, B 则从这 6 人中随机地选取 2 人一共有 15 种结果如下:

ab, ac, ad , aA, aB , bc, bd , bA, bB , cd , cA, cB , dA, dB , AB ………6 分
其中被选取的 2 人都不赞成的结果有 6 种结果如下: ab, ac, ad , bc, bd , cd ……8 分 记事件 A:“被选取的 2 人都不赞成”则: P ( A) ? 故:被选取的 2 人都不赞成的概率为

m 6 3 ? ? n 15 5
P

3 ………12 分 5

F

18. (Ⅰ)证明:连接 AC 交 BE 于点 M, 连接 FM .由 EM / / CD

AM AE 1 PF ? ? ? . MC ED 2 FC ? FM / / AP . ………………4 分 ?

D

H
E
A

C
B

M

? FM ? 面BEF,PA ? 面BEF , ? PA / /面BEF .

………………6 分

·8·

(Ⅱ)

VP ? ABF VA? PBF S?PBF PF 1 ? ? ? ? …………12 分 VF ? EBC VE ? FBC S?FBC FC 2

19.解: (Ⅰ) (ⅰ)当 n ? 1 时,? an 2 ? 2an ? 4Sn ,所以: a12 ? 2a1 ? 4S1 ? 4a1 所以: a1 ? 2 或者 a1 ? 0 (舍去)

? an2 ? 2an ? 4Sn ①
(ⅱ)当 n ? 2 时, ? an?12 ? 2an? 1 ? 4Sn? ② 1
2 n ? 2) 所以:①-②得: an 2 ? an ?1 ? 2(an ? an?1 ) ? 4an (

分解因式得: (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 ;又 an ? 0 所以: an ? an?1 ? 2 ( n ? 2 ) 故数列 {an } 是以首相为 2,公差为 2 的等差数列 所以: an ? 2n ; (Ⅱ) bn ?

n?2 n?2 1 1 1 1 1 1 ? n ? n?1 ( ? )? [ n ? ] 2 an an?1 2 2n(2n ? 2) 2 n 2n ? 2 2 n2 (n ? 1)2n ?1
n

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn
1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? )?( ? ) ?? ? ( n ? )] 2 2 3 2 2 2? 2 2 ? 2 3? 2 n2 (n ? 1)2n?1 ? 1 1 ? . 4 (n ? 1)2n? 2

20. 解:( 1 ) ? PM ? F2 M ? 0

?点M是线段PF2的中点 .

?OM是?PF OM ? F1F2 ,? PF 1 F2的中位线,又 1 ? PF 2. ? c ?1 ?1 1 x2 2 2 2 ?? 2 ? 2 ? 1 解得a ? 2, b ? 1, c ? 1 ∴ 椭圆的标准方程为 ? y 2 ? 1 2 ? a 2 2b 2 2 a ? b ? c ?
(Ⅱ)∵圆 O 与直线 l 相切 ?

m k ?1
2

? 1,即m2 ? k 2 ? 1

·9·

? x2 ? ? y2 ? 1 消去y得(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4km x? 2m 2 ? 2 ? 0 由? 2 ? ? y ? kx ? m
∵直线
2 l 与 椭 圆 交 于 两 个 不 同 点 , ?? ? 0 ? k ? 0, 设 A( x1, y2 ), B( x2 , y2 ) ,



4km 2m 2 ? 2 m 2 ? 2k 2 2 2 , x ? x ? , y y ? ( kx ? m )( kx ? m ) ? k x x ? km ( x ? x ) ? m ? 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 1? k 2 2 3 2 1? k 2 3 2 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得: ? k ? 1 2 2 2 1 ? 2k 3 4 3 1 ? 2k 4 x1 ? x2 ? ?

1 1 1 4km 2 2m2 ? 2 S ? S?AOB ? ? AB ?1 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ? (? ) ? 4 ? 2 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

?

2(k 4 ? k 2 ) 4(k 4 ? k 2 ) ? 1

设u ? k 4 ? k 2

3 2u ?3 ? 则 ? u ? 2, S ? , u ? ? , 2? 4 4u ? 1 ?4 ?

3 6 2 6 2 ?3 ? ? S关于u在? ,2?单调递增, S( ) ? , S (2) ? ,? ?S? 4 4 3 4 3 ?4 ?
1 a x 2 ? ax ? 1 21.解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0,??) ,并求导 f ?( x) ? ? 2 ? 1 ? ? ? x x x2
f ?(1) ? 0 ,得 a ? 2
(Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 (0,??) ,并求导 f ?( x) ? ?

1 a x 2 ? ax ? 1 ? 1 ? ? ? , x2 x x2

2 令 g ( x) ? x 2 ? ax ? 1,其判别式 ? ? a ? 4 ,由已知必有 ? ? 0 ,即 a ? ?2 或 a ? 2 ;

①当 a ? ?2 时, g ( x) 的对称轴 x ?
/

a ? 1 且 g (0) ? 1 ? 0 ,则当 x ? (0,??) 时, g ( x) ? 0 , 2

即 f ( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0,??) 上单调递减,不合题意; ②当 a ? 2 时, g ( x) 的对称轴 x ?

a ? 1 且 g (0) ? 1 ? 0 ,则方程 g ( x) ? 0 有两个不等 x1 和 x2 ,且 2

x1 ? (0,1), x2 ? (1,??) , x1 ? x2 ? 1,
当 x ? (0, x1 ) , x ? ( x2 ,??) 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ( x) ? 0 ,
/ /

即 f ( x) 在 (0, x1 ) , ( x2 ,??) 上单调递减;在 ( x1 , x2 ) 上单调递增; 综上可知, a 的取值范围为 (2,??) ; (Ⅲ)假设存在满足条件的 a ,由(1)知 a ? 2 .
·10·

因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x2 ? x1 ? ( x2 ? x1 ) ? a(ln x1 ? ln x2 ) , x1 x2

所以 k ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 ln x1 ? ln x2 , ?? ?1? a x1 ? x2 x1 x2 x1 ? x2

若k?

2e ln x1 ? ln x2 2e a ? 2 ,则 , 由 ( 1 ) 知 , 不 妨 设 x1 ? (0,1), x2 ? (1,??) 且 有 ? 2 e ?1 x1 ? x2 e ?1
2

x1 ? x2 ? 1







x1 ? x2 ?

e2 ? 1 (ln x1 ? ln x2 ) 2e





1 e2 ? 1 ? x2 ? ln x2 ? 0, x2 ? (1,??) ……………(*) x2 2e
1 e2 ? 1 ln x ( x ? 1) , 设 F ( x) ? ? x ? x e
并记 x1 ?
/

1 e2 ? 1 e2 ? 1 2 1 e2 ? 1 e2 ? 1 2 / , [ ? ( ) ? 4 ] x2 ? [ ? ( ) ? 4 ], 2 2e 2e 2 2e 2e
/ / /

/ 则由(1)②知, F ( x) 在 (1, x2 ) 上单调递增,在 ( x2 ,??) 上单调递减,且 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? e ,

又 F (1) ? F (e) ? 0 ,所以当 x ? (1, e) 时, F ( x) ? 0 ;当 x ? (e,??) 时, F ( x) ? 0 , 由方程(*)知, F ( x2 ) ? 0 ,故有 x2 ? e ,
2 又由 (1) 知 g ( x2 ) ? x2 知 a ? x2 ? ? ax2 ? 1 ? 0 ,

1 1 1 , ? e ? (? y ? x ? 在 [e ? ?) 上单调递增) x x2 e

又 a ? 2 ,因此 a 的取值集合是 {a | a ? e ? } .

1 e

g

·11·


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