球的体积及表面积公式


问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积?
分割 A 求近似和 极限的思想 化为准确和 A

O

O

C2

B2

R 2 r2 ? R ? ( ) , n
2

r1 ? R ? R,
2

2R 2 r3 ? R ? ( ) , n
2

一.球的体积

A
ri

O

R ( i ? 1) n

R

O

第i层“小圆片”下底面的 半径:
r i ? R 2 R ?[ (i? 1)] , i ? 1,2?, n. n
2

球的体积

ri ?
2

R ?R i ?1 2 Vi ? ?ri ? ? [1 ? ( ) ], i ? 1,2? , n n n n
3

R 2 R ? [ ( i ? 1)] , i ? 1,2, ?, n n
2

V半球 ? V1 ? V2 ? ? ? Vn
1 ? 2 ? ? ? ( n ? 1) ? [n ? ] 2 n 3 n ?R 1 ( n ? 1) ? n ? ( 2n ? 1) ? [n ? 2 ? ] n n 6 1 ( n ? 1)( 2n ? 1) 3 ? ?R [1 ? 2 ? ] n 6
3 2 2 2

?R

球的体积
V半球 1 1 (1 ? )( 2 ? ) n n ] ? ?R 3 [1 ? 6

4 3 定理:半径是 R的球的体积为: V ? ?R 3

1 当n ? ?时, ? 0. n 2 3 ?V半 球 ? ?R 3 4 3 从 而V ? ?R . 3

例题讲解
例1:一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
4 5 3 4 7.9 ? [ ? ? ( ) ? ?x 3 ] ? 142 3 2 3
x
3

5 3 142 ? 3 ?( ) ? ? 11.3 2 7.9 ? 4?

由计算器算得:

x ? 2.24
2 x ? 4.5

答:空心钢球的内径约为4.5cm.

二.球的表面积

ΔSi

o

o

球的表面积
球面被分割成n个网格,表面积分别为:

第 一 步: 分 割

?S1,?S2,?S3 ,?, ?Sn
则球的表面积:
O

S ? ?S1 ? ?S2 ? ?S3 ? ? ? ?Sn
设“小锥体”的体积为 ?Vi
则球的体积为:

?Si
O

?Vi

V ? ?V1 ? ?V2 ? ?V3 ? ? ? ?Vn

球的表面积 第 二 步: 求 近 似 和
?Si
?hi
O O

1 ?Vi ? ?S i ?hi 3 由第一步得:

?Vi

V ? ?V1 ? ?V2 ? ?V3 ? ? ? ?Vn

1 1 1 1 V ? ?S1?h1 ? ?S2 ?h2 ? ?S3 ?h3 ? ? ? ?Sn ?hn 3 3 3 3

球的表面积
?S i
?Vi

第 三 步: 化 为 准 确 和
O

?hi

如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱 锥 ?h 的值就趋向于球的半径 R
i

R

?Si
?Vi

1 1 1 1 V ? ?Si R ? ?S2 R ? ?S3 R ? ? ? ?Sn R 3 3 3 3 1 1 ? R( ?Si ? ?S2 ? ?S3 ? ... ? ?Sn ) ? RS

1 ? ?Vi ? ?S i R 3

4 3 又球的体积为: V ? ?R 3 4 1 3 ?R ? RS , 从而S ? 4?R 2 3 3

3

3

例题讲解
例1:已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm,求球的体积, 表面积. 解:如图,设球O半径为R, 截面⊙O′的半径为r,

O A
O?

R ? O ?O ? , ?ABC是正三角形, 2

C

B

2 3 2 3 O ?A ? ? AB ? ?r 3 2 3

例题讲解
例2.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等 于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm,求球的体积,表面 积. 解:在Rt?OO?A中,? OA2 ? O?O 2 ? O?A2 , R 2 2 3 2 2 ?R ? ( ) ? ( ) , 2 3
4 4 4 3 256 3 V ? πR ? π( ) ? π; 3 3 3 81

4 ?R ? . 3
2

O A
O?

C

16 64 S ? 4?R ? 4? ? ? ?. 9 9

B

例题讲解
例2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上,问球O的表面积。
分析:正方体内接于球,则由球和正方体都是中心 对称图形可知,它们中心重合,则正方体对角线与 球的直径相等。 D A O D1 A1 B1 C1 B C

略解: Rt?B1 D1 D中 : ( 2 R ) ? a ? ( 2a ) , 得
2 2 2

3 a 2 ? S ? 4?R 2 ? 3?a 2 R?

D
A O D1 A1 B1 B

C

C1

课堂练习

练习一
8 . 1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的_倍
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 32 3? 4cm,这个球的体积为___ cm3.

3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于 正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这 1: 2 2 : 3 3 三个球的体积之比_________.

课堂练习

练习二
5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 则它的外接球的表面积为_____ 9? .
3 , 5 , 15,

6.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π , 则两球的直径之差为______ 4 . 7.将半径为1和2的两个铅球,熔成一个大铅球,那么 123 3? 这个大铅球的表面积是______.

课堂小结
?了解球的体积、表面积推导的基本思路: 分割→求近似和→化为标准和的方法,是 一种重要的数学思想方法—极限思想,它 是今后要学习的微积分部分“定积分”内 容的一个应用; ?熟练掌握球的体积、表面积公式: 4 3 ① V ? ?R 3 ② S ? 4?R 2

课堂小结
?了解球的体积、表面积推导的基本思路: 分割→求近似和→化为标准和的方法,是 一种重要的数学思想方法—极限思想,它 是今后要学习的微积分部分“定积分”内 容的一个应用; ?熟练掌握球的体积、表面积公式:

4 3 ①V ? ?R 3 2 ②S ? 4?R

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