3.4 导数在实际生活中的应用


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3.4
教学目标:

导数在实际生活中的应用
吴卫东 邵艳 郭红梅 潘翠萍

江苏省泰兴中学

1. 通过生活中优化问题的学习,体会导数在解决实际问题中的作用,促进 学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值; 2. 通过实际问题的研究,促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力 的提高.

教学重点: 如何建立实际问题的目标函数. 教学难点: 如何建立实际问题的目标函数.

教学过程: 一、问题情境 问题 1 问题 2 把长为 60cm 的铁丝围成矩形,长宽各为多少时面积最大? 把长为 100cm 的铁丝分成两段,各围成正方形,怎样分法,能使两

个正方形面积之和最小? 问题 3 做一个容积为 256L 的方底无盖水箱,它的高为多少时材料最省?

二、新课引入 导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数求最值的方法,可以求出实际 生活中的某些最值问题. 1.几何方面的应用(面积和体积等的最值) . 2.物理方面的应用(功和功率等最值) . 3.经济学方面的应用(利润方面最值) . 三、知识应用 例1 在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的边

沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容 积最大?最大容积是多少?

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x x

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60

说明 1 说明 2

解应用题一般有四个要点步骤:设-列-解-答. 用导数法求函数的最值,与求函数极值方法类似,加一步与几个极

值及端点值比较即可. 例2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才

能使所用的材料最省?

变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时, 它的高与底面半径应怎样 选取,才能使所用材料最省? 说明 1 说明 2 这种在定义域内仅有一个极值的函数称单峰函数 . 用导数法求单峰函数最值, 可以对一般的求法加以简化, 其步骤为:

S1 列:列出函数关系式; S2 求:求函数的导数; S3 述:说明函数在定义域内仅有一个极大(小)值,从而断定为函数的最 大(小)值,必要时作答. 例3 在如图所示的电路中, 已知电源的内阻为 r , 电动势为 ? . 外电阻 R 为

多大时,才能使电功率最大?最大电功率是多少?

2

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说明

求最值要注意验证等号成立的条件, 也就是说取得这样的值时对应的

自变量必须有解. 例4 强度分别为 a , b 的两个光源 A, B ,它们间的距离为 d ,试问:在连接

这两个光源的线段 AB 上,何处照度最小?试就 a ? 8, b ? 1, d ? 3 时回答上述问 题. (照度与光的强度成正比,与光源的距离的平方成反比) 例5 在经济学中,生产 x 单位产品的成本称为成本函数,记为 C ( x) ;出售

x 单位产品的收益称为收益函数,记为 R( x) ; R( x) ? C ( x) 称为利润函数,记为
P( x) .

(1)设 C(x) ?10 ?6x 3 ? 0.003 x 2 5 x1000 ? ?
C '( x) 最低?

,生产多少单位产品时,边际成本

(2)设 C ( x) ? 50 x ? 10000 ,产品的单价 p ? 100 ? 0.1x ,怎样的定价可使利 润最大? 变式 已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q, 价格 p

1 与产量 q 的函数关系式为 p ? 25 ? q .求产量 q 为何值时,利润 L 最大? 8

分析:利润 L 等于收入 R 减去成本 C,而收入 R 等于产量乘价格.由此可 得出利润 L 与产量 q 的函数关系式,再用导数求最大利润. 四、课堂练习 1. 将正数 a 分成两部分, 使其立方和为最小, 这两部分应分成______和___. 2.在半径为 R 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为 的面积最大. 3.有一边长分别为 8 与 5 的长方形,在各角剪去相同的小正方形,把四边 折起作成一个无盖小盒,要使纸盒的容积最大,问剪去的小正方形边长应为多 少? 4.一条水渠,断面为等腰梯形,如图所示,在确定断面尺寸时,希望在断 面 ABCD 的面积为定值 S 时,使得湿周 l=AB+BC+CD 最小,这样可使水流阻 力小,渗透少,求此时的高 h 和下底边长 b. 时,它

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五、回顾反思 (1)解有关函数最大值、最小值的实际问题,需要分析问题中各个变量之 间的关系,找出适当的函数关系式,并确定函数的定义区间;所得结果要符合问 题的实际意义. (2)根据问题的实际意义来判断函数最值时,如果函数在此区间上只有一个 极值点,那么这个极值就是所求最值,不必再与端点值比较. (3)相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单 . 六、课外作业 1.课本第96页第1,2,3,4题. 2.补充练习: 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶 和外墙需要建造 隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本 为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x (单 位:cm)满足关系: C ? x ? ?
k ? 0 ? x ? 10 ? ,若不建隔热层,每年能源消耗费 3x ? 5

用为 8 万元. f ? x ? 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. 设 (Ⅰ) k 求 的值及 f ? x ? 的表达式; (Ⅱ)隔热层修建多厚对,总费用 f ? x ? 达到最小,并求 最小值.

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