2014年陕西省西安市西工大附中高考数学一模试卷(理科)


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2014 年陕西省西安市西工大附中高考数学一模试 卷(理科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) A.﹣8 =( B.8 ) C.﹣8i D.8i

2. (5 分) (2013?东城区模拟)若向量 , 满足| |=1,| |= A. B. C.

,且 ⊥

,则 与 的夹角为( D.



3. (5 分)二项式 A .5

展开式中的常数项是( B.﹣5

) D.﹣10
x

C.10

4. (5 分)把函数 y=f(x)的图象向右平移一个单位,所得图象恰与函数 y=e 的反函数图象重合,则 f(x)=( A.lnx﹣1 B.lnx+1 C.ln(x﹣1) D.ln(x+1) 5. (5 分) (2013?山东)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面是边长为 若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为( A. B. C. ) D.



的正三角形,

6. (5 分) (2012?孝感模拟)已知抛物线 y =8x 的焦点与双曲线 为( A. ) B. C.

2

的一个焦点重合,则该双曲线的离心率

D.3

7. (5 分) (2006?北京)在 1,2,3,4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共 有( ) A.36 个 B.24 个 C.18 个 D.6 个 8. (5 分)已知等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,若 a1=﹣3,S5=S10,则当 Sn 取到最小值时 n 的值为( A .5 B.7 C .8 D.7 或 8 9. (5 分)定义运算 a?b 为执行如图所示的程序框图输出的 S 值, 则 的值为( )



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A .4

B.3

C .2

D.﹣1

10. (5 分) (2012?西城区二模)如图是 1,2 两组各 7 名同学体重(单位:kg)数据的茎叶图.设 1,2 两组数据的 平均数依次为 和 ,标准差依次为 s1 和 s2,那么( ) (注:标准差 ,其中 为 x1,x2,…,xn 的平均数)

A.

,s1>s2

B.

,s1<s2

C.

,s1<s2

D.

,s1>s2

二.填空题:本大题共 7 小题,共 25 分.其中 12、13、14、题为必做题,15、16、17 题为选做题,请考生在三题 中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分)将答案填写在题中的横线上. 11. (5 分) (2013?湖南)若 ,则常数 T 的值为 _________ .

12. (5 分) (2008?江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为 _________ .

13. (5 分) (2012?西城区二模)在△ ABC 中,
2





,则 B= _________ .

14. (5 分) (2012?太原模拟)若直线 y=kx+1 被圆 x +y ﹣2x﹣3=0 截得的弦最短,则实数 k 的值是 _________ . 15. (5 分) (极坐标与参数方程选讲选做题)极坐标系下曲线 ρ=4sinθ 表示圆,则点 _________ . 到圆心的距离为

2

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www.jyeoo.com 16. (不等式选讲选做题)若关于 x 的不等式 _________ . 17. (2008?广东)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PA=2.AC 是圆 O 的直径,PC 与圆 O 交于点 B,PB=1,则 圆 O 的半径 R= _________ . 存在实数解,则实数 a 的取取值范围是

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (12 分) (2013?龙泉驿区模拟)已知在等比数列{an}中,a1=1,且 a2 是 a1 和 a3﹣1 的等差中项. (Ⅰ )求数列{an}的通项公式; * (Ⅱ )若数列{bn}满足 bn=2n﹣1+an(n∈N ) ,求{bn}的前 n 项和 Sn. 19. (12 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c. (1)叙述并证明正弦定理 (2)设 ,求 sinB 的值.

20. (12 分) (2013?辽宁)现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答. (Ⅰ )求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (Ⅱ )已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是 ,答对每道乙类题的概率 都是 ,且各题答对与否相互独立.用 X 表示张同学答对题的个数,求 X 的分布列和数学期望.

21. (12 分)如图,四棱锥 S﹣ABCD 中,SD⊥ 底面 ABCD,AB∥ DC,AD⊥ DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E 为棱 SB 上任一点. (Ⅰ )求证:无论 E 点取在何处恒有 BC⊥ DE; (Ⅱ )设 =λ ,当平面 EDC⊥ 平面 SBC 时,求 λ 的值;

(Ⅲ )在(Ⅱ )的条件下求二面角 A﹣DE﹣C 的大小.

22. (13 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,短轴长为 4,且有一个焦点与抛物线 (1)求椭圆 C 的方程.
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的焦点重合.

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www.jyeoo.com (2)已知经过定点 M(2,0)且斜率不为 0 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问在 x 轴上是否另存在一个定点 P 使得 PM 始终平分∠ APB?若存在求出 P 点坐标,若不存在请说明理由. 23. (14 分)已知函数 f(x)=lnx,g(x)= ax +2x (1)若曲线 y=f(x)﹣g(x)在 x=1 与 x= 处的切线相互平行,求 a 的值及切线斜率. (2)若函数 y=f(x)﹣g(x)在区间( ,1)上单调递减,求 a 的取值范围. (3)设函数 f(x)的图象 C1 与函数 g(x)的图象 C2 交与 P、Q 两点,过线段 PQ 的中点作 x 轴的垂线分别交 C1、 C2 于点 M、N,证明:C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不可能平行.
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参考答案与试题解析
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) A.﹣8 =( B.8 ) C.﹣8i D.8i

考点: 复数代数形式的混合运算. 分析:

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复数分子、分母同乘﹣8,利用 1 的立方虚根的性质( 解答: 解: 故选 A. 点评: 复数代数形式的运算,是基础题.

) ,化简即可.

2. (5 分) (2013?东城区模拟)若向量 , 满足| |=1,| |= A. B. C.

,且 ⊥

,则 与 的夹角为( D.



考点: 数量积表示两个向量的夹角;平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得 =0,即 1+1× ×cos< >=0,由此求得 cos<
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>的值 即可求得<

>的值. 解答: 解:由题意可得 解得 cos< 再由< >=﹣ =0,即 . >= , =0,∴ 1+1× ×cos< >=0.

>∈[0,π],可得<

故选 C. 点评: 本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量夹角公式的应用,属于基础题. 3. (5 分)二项式 A .5 考点: 二项式系数的性质. 展开式中的常数项是( B.﹣5 ) D.﹣10

C.10

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www.jyeoo.com 专题: 计算题. 分析: 求出展开式的通项公式,利用展开式的通项公式进行求常数项. 解答: 解:展开式的通项公式为 由 5﹣5r=0,解得 r=1 即展开式中的常数项为 .



故选:D. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,要求熟练掌握二项式定理的通项公式. 4. (5 分)把函数 y=f(x)的图象向右平移一个单位,所得图象恰与函数 y=e 的反函数图象重合,则 f(x)=( A.lnx﹣1 B.lnx+1 C.ln(x﹣1) D.ln(x+1) 考点: 专题: 分析: 解答: 反函数;函数的图象与图象变化. 函数的性质及应用. 先求出函数的反函数为 y=lnx,再根据函数图象的平移规律,求得 f(x)的解析式.
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x



解:由函数 y=e 可得 x=lny,故函数的反函数为 y=lnx, 由题意可得,把 y=lnx 的图象向左平移一个单位,可得 f(x)=ln(x+1)的图象, 故选 D. 点评: 本题主要考查求函数的反函数,函数图象的平移规律,属于基础题.

x

5. (5 分) (2013?山东)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面是边长为 若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为( A. B. C. ) D.

的正三角形,

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 空间角. 分析: 利用三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知,∠ APA1 为 PA 与平面 A1B1C1 所成角, 即为∠ APA1 为 PA 与平面 ABC 所成角.利用三棱锥的体积计算公式可得 AA1,再利用正三角形的性质可得
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A1P,在 Rt△ AA1P 中,利用 tan∠ APA1=

即可得出.

解答: 解:如图所示, ∵ AA1⊥ 底面 A1B1C1,∴ ∠ APA1 为 PA 与平面 A1B1C1 所成角, ∵ 平面 ABC∥ 平面 A1B1C1,∴ ∠ APA1 为 PA 与平面 ABC 所成角. ∵ = = . = = ,解得 . =1,

∴ V 三棱柱 ABC﹣A1B1C1=

又 P 为底面正三角形 A1B1C1 的中心,∴ 在 Rt△ AA1P 中,



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www.jyeoo.com ∴ 故选 B. .

点评: 熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键.

6. (5 分) (2012?孝感模拟)已知抛物线 y =8x 的焦点与双曲线 为( A. ) B. C.

2

的一个焦点重合,则该双曲线的离心率

D.3

考点: 双曲线的简单性质;抛物线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 2 先求出抛物线 y =8x 的焦点坐标,由此得到双曲线
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的一个焦点,从而求出 a 的值,进而得到该

双曲线的离心率. 2 解答: 解:∵ 抛物线 y =8x 的焦点是(2,0) , 2 ∴ c=2,a =4﹣1=3, ∴ e= .

故选 B. 点评: 本题考查双曲线的性质和应用,解题时要抛物线的性质进行求解. 7. (5 分) (2006?北京)在 1,2,3,4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共 有( ) A.36 个 B.24 个 C.18 个 D.6 个 考点: 排列、组合的实际应用. 专题: 计算题;分类讨论. 1 3 3 分析: 各位数字之和为奇数的有两类:一是两个偶数一个奇数:有 C3 A3 种结果,所取得三个都是奇数:有 A3 种结果,根据分类计数原理得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个分类计数问题, 各位数字之和为奇数的有两类: 1 3 ① 两个偶数一个奇数:有 C3 A3 =18 个; 3 ② 三个都是奇数:有 A3 =6 个.
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www.jyeoo.com ∴ 根据分类计数原理知共有 18+6=24 个. 故选 B. 点评: 本题考查分类计数问题,是一个数字之和是奇数还是偶数的问题,数字问题是排列组合与计数原理的主角, 经常出现,并且常出常新. 8. (5 分)已知等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,若 a1=﹣3,S5=S10,则当 Sn 取到最小值时 n 的值为( A .5 B.7 C .8 D.7 或 8 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的前 n 项和;数列的函数特性. 等差数列与等比数列. )

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利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式可得 an,再解出 an≥0 即可. 解:设等差数列{an}的公差为 d, ∵ a1=﹣3,S5=S10, ∴ ∴ =10×(﹣3)+ = , ,解得 d= .

令 an≥0,解得 n≥8. 因此前 7,8 项的和取得最小值. 故选 D. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式,属于基础题. 9. (5 分)定义运算 a?b 为执行如图所示的程序框图输出的 S 值, 则 的值为( )

A .4

B.3

C .2

D.﹣1

考点: 程序框图. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由已知的程序框图可知:本程序的功能是:计算并输出分段函数 S=
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的值,由已知计算

出 a,b 的值,代入可得答案. 解答: 解:由已知的程序框图可知: 本程序的功能是:计算并输出分段函数 S= 的值

∵ a=

=1,b=

=2

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www.jyeoo.com ∴ S=2×(1+1)=4 故选 A 点评: 本题考查的知识点是程序框图,特殊角的三角函数,其中根据已知的程序框图,分析出程序的功能是解答 的关键. 10. (5 分) (2012?西城区二模)如图是 1,2 两组各 7 名同学体重(单位:kg)数据的茎叶图.设 1,2 两组数据的 平均数依次为 和 ,标准差依次为 s1 和 s2,那么( ) (注:标准差 ,其中 为 x1,x2,…,xn 的平均数)

A.

,s1>s2

B.

,s1<s2

C.

,s1<s2

D.

,s1>s2

考点: 茎叶图;众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 将题中的茎叶图还原,结合平均数、方差计算公式,分别算出第 1 组 7 位同学和第 2 组 7 位同学的平均数 和方差,再将所得结果加以比较,即得本题的答案. 解答: 解:由茎叶图,得第 1 组的 7 名同学的体重分别为 53 56 57 58 61 70 72,
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∴ 第 1 组的 7 名同学体重的平均数为:

= (53+56+57+58+61+70+72)=61kg
2 2 2 2 2

因此,第 1 组的 7 名同学体重的方差为:s = [(53﹣61) +(56﹣61) +…+(72﹣61) ]=43.00kg , 同理,第 2 组的 7 名同学体重的平均数为:
2

= (54+56+58+60+61+72+73)=62kg
2 2 2 2

因此,第 1 组的 7 名同学体重的方差为:s = [(54﹣62) +(56﹣62) +…+(73﹣62) ]=63.14kg , ∴ 且 s1<s2

故选:C 点评: 本题给出茎叶图,要我们求出数据的平均数和方差,着重考查了茎叶图的认识、样本特征数的计算等知识, 属于基础题. 二.填空题:本大题共 7 小题,共 25 分.其中 12、13、14、题为必做题,15、16、17 题为选做题,请考生在三题 中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分)将答案填写在题中的横线上. 11. (5 分) (2013?湖南)若 ,则常数 T 的值为 3 .

考点: 定积分. 专题: 计算题. 分析: 利用微积分基本定理即可求得. 解答: 解: = =9,解得 T=3,
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故答案为:3.
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www.jyeoo.com 点评: 本题考查定积分、微积分基本定理,属基础题. 12. (5 分) (2008?江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为 .

考点: 归纳推理;等比数列的前 n 项和. 专题: 压轴题;规律型. 分析: 观察图例,我们可以得到每一行的数放在一起,是从一开始的连续的正整数,故 n 行的最后一个数,即为 前 n 项数据的个数,故我们要判断第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数,可先判断第 n﹣1 行的最后一个数, 然后递推出最后一个数据. 解答: 解:本小题考查归纳推理和等差数列求和公式. 前 n﹣1 行共有正整数 1+2+…+(n﹣1)个,
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个,

因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第

+3 个,

即为



点评: 归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明 确表达的一般性命题(猜想) . 13. (5 分) (2012?西城区二模)在△ ABC 中,





,则 B=



考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由三角形中大边对大角可得 B<A,故 B<
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. 再由正弦定理解得 sinB=

,由此求得 B 的值. . 再由正弦定理可得

解答:

解:在△ ABC 中, =



, ,故 B=

,则由大边对大角可得 B<A,故 B< ,

,解得 sinB=

故答案为



点评: 本题主要考查正弦定理的应用,及三角形中大边对大角,根据三角函数的值求角,属于中档题.

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www.jyeoo.com 2 2 14. (5 分) (2012?太原模拟)若直线 y=kx+1 被圆 x +y ﹣2x﹣3=0 截得的弦最短,则实数 k 的值是 1 . 考点: 专题: 分析: 解答: 直线与圆的位置关系. 计算题. 先判断直线过圆内的一个定点,再利用直线与圆的位置关系即垂径定理,判断直线的斜率
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解:直线 y=kx+1 过定点 M(0,1) ,圆 x +y ﹣2x﹣3=0 的圆心为(1,0) ,半径为 r=2,显然点 M 在圆内 2 2 若直线 y=kx+1 被圆 x +y ﹣2x﹣3=0 截得的弦最短,则圆心(1,0)与点 M(0,1)的连线与直线 y=kx+1 垂直, 即 k× =﹣1,故 k=1

2

2

故答案为 1 点评: 本题主要考查了直线方程和圆的一般方程,直线与圆的位置关系,圆的几何性质及应用,属基础题

15. (5 分) (极坐标与参数方程选讲选做题)极坐标系下曲线 ρ=4sinθ 表示圆,则点 .

到圆心的距离为

考点: 点的极坐标和直角坐标的互化;两点间的距离公式. 专题: 计算题. 分析: 利用极坐标与直角坐标的互化公式可得圆心的直角坐标,再把点 A 的坐标化为直角坐标,利用两点间的距 离公式即可得出. 2 解答: 解:由曲线 ρ=4sinθ 化为 ρ =4ρsinθ, 2 2 2 2 ∴ x +y =4y,化为 x +(y﹣2) =4,可得圆心 C(0,2) .
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由点 ∴ A ∴ |AC|=

,可得 . = .

=2

,yA=

=2,

故答案为: . 点评: 本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式、两点间的距离公式,属于基础题.

16. (不等式选讲选做题)若关于 x 的不等式 0)∪ .

存在实数解,则实数 a 的取取值范围是 (﹣∞,

考点: 绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 令( f x) =|x+1|﹣|x﹣2|, 则( f x) =

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, 如图所示. 由于关于 x 的不等式

存在实数解? <f(x)max,解出即可. 解答: 解:令 f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|,

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则 f(x)=

,如图所示.

∵ 关于 x 的不等式 ∴ <f(x)max=3, 解得 ,

存在实数解,

故 a 的取值范围是(﹣∞,0)∪ 故答案为(﹣∞,0)∪ .



点评: 本题考查了含绝对值的不等式的恒成立问题的等价转化、数形结合等基础知识与基本技能方法,属于中档 题. 17. (2008?广东)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PA=2.AC 是圆 O 的直径,PC 与圆 O 交于点 B,PB=1,则 圆 O 的半径 R= .

考点: 相似三角形的判定;相似三角形的性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 连接 AB,根据弦切角定理及三角形相似的判定,我们易得△ PBA~△ PAC,再由相似三角形的性质,我们可 以建立未知量与已知量之间的关系式,解方程即可求解. 解答: 解:依题意,我们知道△ PBA~△ PAC,
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由相似三角形的对应边成比例性质我们有







故答案为: . 点评: 在平面几何中,我们要求线段的长度,关键是寻找未知量与已知量之间的关系,寻找相似三角形和全等三
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www.jyeoo.com 角形是常用的方法,根据相似三角形的性质,很容易得到已知量与未知量之间的关系,解方程即可求解. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (12 分) (2013?龙泉驿区模拟)已知在等比数列{an}中,a1=1,且 a2 是 a1 和 a3﹣1 的等差中项. (Ⅰ )求数列{an}的通项公式; * (Ⅱ )若数列{bn}满足 bn=2n﹣1+an(n∈N ) ,求{bn}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: (I)设等比数列{an}的公比为 q,由 a2 是 a1 和 a3﹣1 的等差中项,a1=1,知 2a2=a1+(a3﹣1)=a3,由此能 求出数列{an}的通项公式. .
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(Ⅱ )由 bn=2n﹣1+an,知
2 n﹣1

(2n﹣1+2

n﹣1

)=[1+3+5+…+(2n﹣1)]+

(1+2+2 +…+2 ) ,由等差数列和等比数列的求和公式能求出 Sn. 解答: 解: (I)设等比数列{an}的公比为 q, ∵ a2 是 a1 和 a3﹣1 的等差中项,a1=1, ∴ 2a2=a1+(a3﹣1)=a3, ∴ =2,
n﹣1



=2

, (n∈N ) .

*

(Ⅱ )∵ bn=2n﹣1+an, ∴ =[1+3+5+…+(2n﹣1)]+(1+2+2 +…+2 =
2 n 2 n﹣1

(2n﹣1+2 )

n﹣1



+

=n +2 ﹣1. 点评: 本题考查等差数列的通项公式的求法和数列求和的应用,解题时要认真审题,仔细解答,熟练掌握等差数 列和等比数列的通项公式和前 n 项和公式的灵活运用. 19. (12 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c. (1)叙述并证明正弦定理 (2)设 ,求 sinB 的值.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)直接叙述正弦定理,通过三角函数定义法证明即可; (2)在△ ABC 中,由 a+c=2b,利用正弦定理可得 sinA+sinC=2sinB,再利用和差化积公式、诱导公式以及
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A﹣C= 解答:

,求得 sin 的值,可得 cos 的值,再利用二倍角公式求得 sinB 的值. = = (2R 三角形

解: (1)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即 外接圆的直径) , 证明:在△ ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c.作 CH⊥ AB 垂足为点 H,
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www.jyeoo.com 可得:CH=a?sinB,CH=b?sinA, ∴ a?sinB=b?sinA,

得到

= = , =2R,

同理,在△ ABC 中,

∵ 同弧所对的圆周角相等,∴ 则 = =

(2R 三角形外接圆的直径) ;

(2)在△ ABC 中, ∵ a+c=2b,由正弦定理可得 sinA+sinC=2sinB, ∴ 2sin cos =4sin cos , ,可得 sin , cos =2sin cos ,

再由 A﹣C= 解得:sin = ∴ cos = ,

则 sinB=2sin cos =



点评: 此题考查了正弦定理,两角和差的余弦公式、以及和差化积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 20. (12 分) (2013?辽宁)现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答. (Ⅰ )求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (Ⅱ )已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是 ,答对每道乙类题的概率 都是 ,且各题答对与否相互独立.用 X 表示张同学答对题的个数,求 X 的分布列和数学期望.

考点: 离散型随机变量及其分布列;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (I)从 10 道试题中取出 3 个的所有可能结果数有 ,张同学至少取到 1 道乙类题的对立事件是:张同学
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取到的全为甲类题,代入古典概率的求解公式即可求解 (II)先判断随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,根据题意求出随机变量的各个取值的概率,即可 求解分布列及期望值 解答: 解: (I)设事件 A=“张同学至少取到 1 道乙类题” 则 =张同学至少取到的全为甲类题
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www.jyeoo.com ∴ P(A)=1﹣P( )=1﹣ =

(II)X 的所有可能取值为 0,1,2,3 P (X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= X 的分布列为 X P EX= 点评: 本题主要考查了古典概型及计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解,考查了运用 概率知识解决实际问题的能力. 21. (12 分)如图,四棱锥 S﹣ABCD 中,SD⊥ 底面 ABCD,AB∥ DC,AD⊥ DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E 为棱 SB 上任一点. (Ⅰ )求证:无论 E 点取在何处恒有 BC⊥ DE; (Ⅱ )设 =λ ,当平面 EDC⊥ 平面 SBC 时,求 λ 的值; 0 1 2 3 + = = = =

(Ⅲ )在(Ⅱ )的条件下求二面角 A﹣DE﹣C 的大小.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;平面与平面垂直的性质. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ )先证明 BC⊥ BD,SD⊥ BD,可得 BC⊥ 平面 SBD,即可证明无论 E 点取在何处恒有 BC⊥ DE;
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(Ⅱ )建立坐标系,设 E(x,y,z) ,由



,求出 E 的坐标,求出平面 SBC 的一个法向量、平面 EDC ? =2﹣λ=0,即可求 λ 的值; =(0,1,1) ,取平面 CDE 的一个法

的一个法向量,利用平面 EDC⊥ 平面 SBC,可得

(Ⅲ )当 λ=2 时,E( , , ) ,同理可求平面 ADE 的一个法向量 向量.利用向量的夹角公式,即可求二面角 A﹣DE﹣C 的大小. 解答: (Ⅰ )证明:∵ AD⊥ DC,AB=AD=1,DC=2, ∴ BC⊥ BD,
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www.jyeoo.com ∵ SD⊥ 底面 ABCD, ∴ SD⊥ BD, ∵ BD∩ SD=D, ∴ BC⊥ 平面 SBD, ∵ DE?面 SBD, ∴ 无论 E 点取在何处恒有 BC⊥ DE; (Ⅱ )解:建立如图所示的坐标系,设 E(x,y,z) ,则 ∵ =λ ∴ E( ,∴ (x,y,z﹣2)=λ(1﹣x,1﹣y,﹣z) , , , ) , =(a,b,c) ,则

设平面 SBC 的一个法向量为 ∵ =(0,2,﹣2) , ∴

=(1,1,﹣2) , =(1,1,1) ,

,取平面 SBC 的一个法向量

同理可求平面 EDC 的一个法向量 ∵ 平面 EDC⊥ 平面 SBC, ∴ ? ∴ λ=2; =2﹣λ=0,

=(2,0,﹣λ) ,

(Ⅲ )解:当 λ=2 时,E( , , ) ,同理可求平面 ADE 的一个法向量

=(0,1,1) ,

取平面 CDE 的一个法向量

=(1,0,﹣1) ,则 cosθ=

= ,

∴ 二面角 A﹣DE﹣C 为 120°. 点评: 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论 证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.

22. (13 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,短轴长为 4,且有一个焦点与抛物线

的焦点重合.

(1)求椭圆 C 的方程. (2)已知经过定点 M(2,0)且斜率不为 0 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问在 x 轴上是否另存在一个定点 P 使得 PM 始终平分∠ APB?若存在求出 P 点坐标,若不存在请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1) 设椭圆的标准方程为 (a>b>0) , 焦距为 2c. 由抛物线
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方程得焦点



可得 c.又短轴长为 4,可得 2b=4,解得 b.再利用 a =b +c 即可得到 a. (2)假设在 x 轴上存在一个定点 P(t,0) (t≠2)使得 PM 始终平分∠ APB.设直线 l 的方程为 my=x﹣2, 2 2 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .与椭圆的方程联立化为(9+5m )y +20my﹣25=0,得到根与系数的关系,由于

2

2

2

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www.jyeoo.com PM 平分∠ APB,利用角平分线的性质可得 解答: 解: (1)设椭圆的标准方程为 (a>b>0) ,焦距为 2c. ,经过化简求出 t 的值即可.

由抛物线
2 2 2

方程得焦点

,∴ c=



又短轴长为 4,∴ 2b=4,解得 b=2. ∴ a =b +c =9. ∴ 椭圆 C 的方程为 .

(2)假设在 x 轴上存在一个定点 P(t,0) (t≠2)使得 PM 始终平分∠ APB. 设直线 l 的方程为 my=x﹣2,A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 联立 ,化为(9+5m )y +20my﹣25=0,
2 2





. (*)

∵ PM 平分∠ APB,∴





,化为



把 x1=my1+2,x2=my2+2 代入上式得(2﹣t) (y1﹣y2)[2my1y2+(2﹣t) (y1+y2)]=0, ∵ 2﹣t≠0,y1﹣y2≠0,∴ 2my1y2+(2﹣t) (y1+y2)=0. 把(*)代入上式得 化为 m(9﹣2t)=0, 由于对于任意实数上式都成立,∴ t= . 因此存在点 P 满足 PM 始终平分∠ APB. ,

点评: 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、角平分线的性质、两点间的距离公式、恒成立问题等基础 知识与基本技能方法,属于难题.
2

23. (14 分)已知函数 f(x)=lnx,g(x)= ax +2x (1)若曲线 y=f(x)﹣g(x)在 x=1 与 x= 处的切线相互平行,求 a 的值及切线斜率. (2)若函数 y=f(x)﹣g(x)在区间( ,1)上单调递减,求 a 的取值范围. (3)设函数 f(x)的图象 C1 与函数 g(x)的图象 C2 交与 P、Q 两点,过线段 PQ 的中点作 x 轴的垂线分别交 C1、 C2 于点 M、N,证明:C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不可能平行.
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考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求函数 y=f(x)﹣g(x)的导数,根据在 x=1 与 处的切线相互平行,得到导数相同,建立方程即
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可求 a 的值及切线斜率. (2)要使函数 y=f(x)﹣g(x)在区间 (3)利用反证法证明结论即可. 解答: 解: (1)y=f(x)﹣g(x)= ∴ y'=m'(x)= , =﹣ , , 上单调递减,只要 y'≤0 恒成立即可求 a 的取值范围.

则 m'(1)=1﹣a﹣2=﹣1﹣a,m'( )=2﹣ ∵ 在 x=1 与 处的切线相互平行, ,

∴ m'(1)=m'( ) ,即﹣1﹣a= ∴ ,a=﹣2,

此时切线斜率 k=m'(1)=﹣1﹣(﹣2)=2﹣1=1. (2)∵ y=f(x)﹣g(x)= ∴ 函数 y=f(x)﹣g(x)在区间 则 m'(x)= 即 ∴ a 设 g(x)= ∵ x 成立, , ,则 g(x)= ,∴ , ≤0 恒成立, 上单调递减, ,y'=m'(x)= ,

∴ g(x)∈(﹣1,3) , ∴ a≥3. (3)设点 P、Q 的坐标分别是(x1,y1) , (x2,y2) ,0<x1<x2. 则点 M、N 的横坐标为 x= ,

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www.jyeoo.com C1 在点 M 处的切线斜率为 k1= ,x= ,k1= ,

C2 在点 N 处的切线斜率为 k2=ax+b,x=

,k2=a

+b.

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行, 则 k1=k2. 即 ,


2

= (x2 ﹣x1 )+b(x2﹣x1) +bx1)=y2﹣y1=lnx2﹣lnx1.

2

2

= (x2 +bx2)﹣(





设 t=

,则 lnt=

,t>1①

令 r(t)=lnt﹣

,t>1.

则 r′ (t) ∵ t>1 时,r'(t)>0, ∴ r(t)在[1,+∞)上单调递增. 故 r(t)>r(1)=0. 则 lnt>



.这与① 矛盾,假设不成立.

故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行. 点评: 本题主要考查导数的几何意义,考查导数是运算,以及利用导数研究函数的性质,综合性较强,运算量较 大,考查 学生的运算能力.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:涨停;maths;caoqz;俞文刚;孙佑中;zlzhan;wyz123;席泽林;邢新丽;翔 宇老师;sllwyn;qiss;刘长柏(排名不分先后)
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