第一章 1.3.1正弦函数的图象与性质(二)


1.3.1(二)

1.3.1 正弦函数的图象与性质(二)
【学习要求】 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.会求函数y=Asin(ωx+φ)的周期. 3.掌握函数y=sin x的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性. 【学法指导】 1.在函数的周期定义中是对定义域中的每一个x值来说,对于个 别的x0满足f(x0+T)=f(x0),并不能说T是f(x)的周期.例如: ?π π? π π 既使sin?4+2 ?=sin 成立,也不能说 是f(x)=sin x的周期. 4 2 ? ? 2.判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则,即先求其定 义域,看它是否关于原点对称,一些函数的定义域比较容易 观察,直接判断f(-x)与f(x)的关系即可;一些复杂的函数要 防止没有研究定义域是否关于原点对称而出错.

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填一填·知识要点、记下疑难点

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1. 正弦曲线
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从函数图象看,正弦函数 y=sin x 的图象关于 原点 对称; 从诱导公式看,sin (-x)= -sin x 对一切 x∈R 恒成立. 所以说,正弦函数是 R 上的 奇 函数.

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2.函数的周期性

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(1)对于函数 f(x),如果存在一个 非零常数T ,使得定义域 内的 每一个x值 都满足 f(x+T)=f(x) ,那么函数 f(x)就
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叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的 周期 . (2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数就叫做 f(x)的 最小正周期 . 3.正弦函数的周期 由 sin(x+2kπ)= sin x 知正弦函数 y=sin x 是 周期 函数, 2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是它的周期,最小正周期是 2π.

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探究点一
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周期函数的定义

一般地,对于函数 y=f(x),如果存在一个不为零的常数 T, 使得当 x 取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立, 那么就把函数 y=f(x)叫做周期函数, 不为零的常数 T 叫做这 个函数的周期. (1)证明函数 y=sin x 是周期函数.
答 ∵sin(x+2π)=sin x, ∴y=sin x 是周期函数,且 2π 就是它的一个周期.

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(2)满足条件:f(x+a)=-f(x)(a 为常数且 a≠0)的函数 y=f(x) 是周期函数吗?如果是,给出一个周期,如果不是,说明理由.
答 ∵f(x+a)=-f(x),
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∴f(x+2a)=f[(x+a)+a] =-f(x+a)=-[-f(x)] =f(x). ∴f(x+2a)=f(x). ∴函数y=f(x)是周期函数,且2a就是它的一个周期.

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1 (3)满足条件:f(x+a)=- (a 为常数且 a≠0)的函数 y=f(x) f?x? 是周期函数吗?如果是,给出一个周期,如果不是,说明理由.
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1 答 ∵f(x+a)=-f?x, ? ∴f(x+2a)=f[(x+a)+a] 1 1 =- =-? 1 ? f?x+a? ?- ? ? f?x?? =f(x). ∴f(x+2a)=f(x). ∴函数y=f(x)是周期函数,且2a就是它的一个周期.

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探究点二 最小正周期

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如果非零常数 T 是函数 y=f(x)的一个周期,那么 kT(k∈Z 且 k≠0)都是函数 y=f(x)的周期.
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(1)周期函数的周期不止一个, T 是周期, kT(k∈Z, k≠0) 若 则 且 一定也是周期.例如,正弦函数 y=sin x 和余弦函数 y=cos x 的最小正周期都是 2π ,它们的所有周期可以表示为: 2kπ(k∈Z 且 k≠0) . (2)“并不是所有的周期都存在最小正周期”,即存在某些周 期函数,这些函数没有最小正周期.请你写出符合上述特征 的一个周期函数: f(x)=C(C 为常数),x∈R .

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(3)证明函数的最小正周期常用反证法.下面是利用反证法证明 2π 是正弦函数 y=sin x 的最小正周期的过程. 请你补充完整. 证明:由于 2π 是 y=sin x 的一个周期,设 T 也是正弦函数 y=
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sin x 的一个周期,且 0<T<2π ,根据周期函数的定义,当 x 取定义域内的每一个值时,都有 sin(x+T)=sin x .
?π ? π π ? +T?=sin =1, 令 x=2,代入上式,得 sin 2 2 ? ? ?π ? 又 sin?2+T?= cos T ,所以 cos T=1 . ? ? 另一方面,当 T∈(0,2π)时, cos T<1 ,这与 cos T=1 矛盾.

故 2π 是正弦函数 y=sin x 的最小正周期.

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探究点三 函数 y=Asin(ωx+φ)的周期 2π 证明 是函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期. |ω| 答 由诱导公式一知:
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对任意x∈R,都有Asin[(ωx+φ)+2π]=Asin(ωx+φ), ? ? ? 2π? 所以Asin?ω?x+ ω ?+φ?=Asin(ωx+φ), ? ? ? ? ? 2π? 即f ?x+ ω ?=f(x), ? ? 2π 所以f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)是周期函数, ω 就是它的一个周
2π 由于 x 至少要增加|ω|个单位,f(x)的函数值才会重复出现,因 2π 此,|ω|是函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期.

期.

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[典型例题] 例 1 判断下列函数的奇偶性. ? 1 π? (1)f(x)=sin?-2x+2 ?; ? ? (2)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x); 1+sin x-cos2x (3)f(x)= . 1+sin x 1 解 (1)显然 x∈R,f(x)=cos x, 2 ? 1 ? 1 ?- x? =cos x=f(x), f(-x)=cos 2 2 ? ?
∴f(x)是偶函数.

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?1-sin ? (2)由? ?1+sin ?

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x>0 ,得-1<sin x<1. x>0 ? ? π ? ? ?x|x∈R且x≠kπ+ ,k∈Z?. 解得定义域为? 2 ? ? ?
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∴f(x)的定义域关于原点对称. 又∵f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x) ∴f(-x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-x)] =lg(1+sin x)-lg(1-sin x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数.
(3)∵1+sin x≠0,∴sin x≠-1, π ∴x∈R 且 x≠2kπ- ,k∈Z. 2 ∵定义域不关于原点对称,∴该函数是非奇非偶函数.

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小结
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判断函数奇偶性,要先判断函数的定义域是否关于原点

对称,定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条 件,然后再判断 f(-x)与 f(x)之间的关系.

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跟踪训练 1 判断下列函数的奇偶性: ?3 ? (1)f(x)=cos?2π+2x?+x2sin x; ? ? (2)f(x)= 1-2sin x+ 2sin x-1. 解 (1)f(x)=sin 2x+x2sin x,
又∵x∈R,f(-x)=sin(-2x)+(-x)2sin(-x) =-sin 2x-x2sin x=-f(x), ∴f(x)是奇函数. ?1-2sin x≥0 ? 1 (2)由? ,得 sin x=2. ?2sin x-1≥0 ?

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π 5 ∴函数 f(x)的定义域为{x|x=2kπ+6或 x=2kπ+6π,k∈Z}. ∵f(x)的定义域不关于原点对称. ∴f(x)是非奇非偶函数.

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例 2 求下列函数的周期. ? π? (1)y=sin?2x+3 ? (x∈R); ? ? (2)y=|sin 2x| (x∈R).
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(1)方法一

π 令 z=2x+3,

∵x∈R,∴z∈R,函数 f(x)=sin z 的最小正周期是 2π, 就是说变量 z 只要且至少要增加到 z+2π, 函数 f(x)=sin z(z∈R)的值才能重复取得, π π 而 z+2π=2x+3+2π=2(x+π)+3,所以自变量 x 只要且至少 ? π? 要增加到 x+π, 函数值才能重复取得, 从而函数 f(x)=sin?2x+3? ? ? (x∈R)的周期是 π.

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方法二
? π? 2π ?2x+ ?的周期为 =π. f(x)=sin 3? 2 ?

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(2)作出 y=|sin 2x|的图象.
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π 由图象可知,y=|sin 2x|的周期为 . 2
小结 对于形如函数 y=Asin(ωx+φ),ω≠0 时的周期求法常直 2π 接利用 T=|ω|来求解,对于 y=|Asin ωx|的周期情况常结合图象 法来求解.

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跟踪训练 2 求下列函数的周期. ?3 2 ? (1)y=cos ?2π-3x?; ? ? ? ? 1 π? ? (2)y=?sin?-2x+3??. ? ? ??
2 2π 解 (1)y=-sin 3x,T= 2 =3π. 3
? ?1 π?? 2π 1 ?sin? x- ??,T= × =2π. (2)y= 3?? 1 2 ? ?2

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2

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例 3 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的 ? ?5π? π? 最小正周期是 π,且当 x∈?0,2 ?时,f(x)=sin x,求 f? 3 ?的值. ? ? ? ?
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∵f(x)的最小正周期是 π, ?5π? ?5π ? ? π? ∴f? 3 ?=f? 3 -2π?=f?-3?. ? ? ? ? ? ? 解 ∵f(x)是 R 上的偶函数, ? π? ?π? ?5π? π 3 3 ?- ?=f? ?=sin = ? ?= ∴f 3 3? 3 2 .∴f? 3 ? 2 . ? ? ?
小结 解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性, 把自变量 x 的值转化到可求值区间内.

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?π? π 跟踪训练 3 若 f(x)是以 为周期的奇函数,且 f ?3 ?=1,求 2 ? ? ? 5π? f ?- 6 ? 的值. ? ?

解 =f

? 5π? ? 5π π? f ?- 6 ?=f ?- 6 +2? ? ? ? ? ? π? ?π? ?- ?=-f ? ?=-1. ? 3? ?3?

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2 1. 函数 y=sin(πx+ π)的周期是 3 A.2π
2π 解析 T= π =2.

( C ) C.2 D.1

B.π

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2. 下列函数中,周期为 π 的偶函数是 A.y=sin x
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( D )

B.y=sin 2x D.y= 1-cos2x

C.y=|sin 2x|

解析 y= 1-cos2x= sin2x=|sin x|符合题意.

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3.判断下列函数的奇偶性: 1-sin x (1)f(x)=xsin(π+x);(2)f(x)= . 1+sin x
解 (1)函数的定义域为 R,关于原点对称.
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f(x)=xsin(π+x)=-xsin x. f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsin x=f(x), ∴f(x)是偶函数.
(2)函数应满足 1+sin x≠0, 3 ∴函数的定义域为{x|x∈R,且 x≠2kπ+ π,k∈Z}. 2 ∵函数的定义域不关于原点对称, ∴该函数既不是奇函数也不是偶函数.

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4. 已知 f(x)是 R 上的奇函数, f(1)=2, 且 f(x+3)=f(x), f(8) 求 的值.
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∵f(x+3)=f(x), ∴f(x)是周期函数, 就是它的一个周期, 3

且 f(-x)=-f(x). ∴f(8)=f(2+2×3)=f(2)=f(-1+3) =f(-1)=-f(1)=-2.

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1. 判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则, 即先求定义 域,看它是否关于原点对称.
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2.求函数的最小正周期的常用方法: (1)定义法,即观察出周期,再用定义来验证;也可由函数所 具有的某些性质推出使 f(x+T)=f(x)成立的 T. (2)图象法,即作出 y=f(x)的图象,观察图象可求出 T.如 y =|sin x|. (3)结论法,一般地,函数 y=Asin(ωx+φ)(其中 A、ω、φ 为 2π 常数,A≠0,ω>0,x∈R)的周期 T= ω .


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