2015届高考理科数学第一轮基础知识点复习教案21.doc


第五节 [考情展望]

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1.利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角函数式

的化简与求值.2.利用二倍角公式进行三角函数式的化简与求值.3.与三角函数 y =Asin(ωx+φ)的图象和性质相结合,考查学生的综合能力.

一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1.六个公式: ①sin(α± β)=sin_αcos_β± cos_αsin_β; ②cos(α± β)=cos_αcos_β?sin_αsin_β; ③tan(α± β)= tan α± tan β . 1?tan αtan β

2.公式 T(α±β)的变形: ①tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan_αtan_β); ②tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan_αtan_β).

二、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.三个公式: ①sin 2α=2sin_αcos_α; ②cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; ③tan 2α= 2tan α . 1-tan2α

2.公式 S2α、C2α 的变形: 1 ①sin αcos α=2sin 2α; 1 ②sin2α=2(1-cos 2α); 1 ③cos2α=2(1+cos 2α).

1.sin 34° sin 26° -cos 34° cos 26° 的值是( 1 A.2 1 C.-2 【解析】 3 B. 2 3 D.- 2 sin 34° sin 26° -cos 34° cos 26°

)

1 =-(cos 34° cos 26° -sin 34° sin 26° )=-cos 60° =-2. 【答案】 C ) B.cos215° -sin215° D.sin215° +cos215°

3 2.下列各式中,值为 2 的是( A.2sin 15° cos 15° C.2sin215° -1 【解析】

1 3 2sin 15° cos 15° =sin 30° =2,cos215° -sin215° =cos 30° =2,

3 2sin215° -1=-cos 30° =- 2 , sin215° +cos215° =1.故选 B. 【答案】 B )

3.已知 tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,则 tan 2α=( 1 A.8 4 C.7 【解析】 = 1 B.-8 4 D.-7 tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)]

tan?α+β?+tan?α-β? 3+5 4 = =-7. 1-tan?α+β?· tan?α-β? 1-3×5 D )

【答案】

π? 4 ? 4.若 cos α=-5,α 是第三象限角,则 sin?α+4?=( ? ? 7 2 A.- 10 7 2 B. 10

2 C.- 10 【解析】 3 由题意知 sin α=-5,

2 D. 10

π? π π 3 2 ? 4? 2 7 2 ? ∴sin?α+4?=sin αcos 4+cos αsin 4=-5× 2 +?-5?× 2 =- 10 . ? ? ? ? 【答案】 A

α 3 5.(2013· 江西高考)若 sin 2= 3 ,则 cos α=( 2 A.-3 1 C.3 【解析】 【答案】 1 B.-3 2 D.3

)

α 2 1 ? 3? cos α=1-2sin22=1-2×? ?2=1-3=3. 3 ? ? C

?π ? 6 . (2013· 四川高考 )设 sin 2α =- sin α, α ∈ ?2,π? ,则 tan 2α 的值是 ? ? ________. ?π ? 【解析】 由 sin 2α=2sin αcos α 及 sin 2α=-sin α,α∈?2,π?解出 α,进 ? ? 而求得 tan 2α 的值. ∵sin 2α=-sin α,∴2sin αcos α=-sin α. 1 ?π ? ∵α∈?2,π?,sin α≠0,∴cos α=-2. ? ? 2 ?π ? 又∵α∈?2,π?,∴α=3π, ? ? π? 4 π ? ∴tan 2α=tan 3π=tan?π+3?=tan 3= 3. ? ? 【答案】 3

考向一 [060]

三角函数的给值求值

π π ?π ? 1 ? π β? (1)(2014· 郑州模拟)若 0<α<2, -2<β<0, cos?4+α?=3, cos?4-2? ? ? ? ? β? 3 ? = 3 ,则 cos?α+2?=( ? ? 3 A. 3 3 B.- 3 ) 5 3 C. 9 6 D.- 9

π? ? (2)(2013· 广东高考)已知函数 f(x)= 2cos?x-12?,x∈R. ? ? ? π? ①求 f?-6?的值; ? ? π? 3 ?3π ? ? ②若 cos θ=5,θ∈? 2 ,2π?,求 f?2θ+3?. ? ? ? ? 【思路点拨】

π (2)①把 x=-6代入函数解析式,借助特殊角的三角函数值和诱导公式求 ? π? f?-6?. ? ? π? ? ②由 cos θ 求出 sin θ,利用两角和的余弦公式和二倍角公式求 f?2θ+3?. ? ? 【尝试解答】 π π π 3 (1)∵0<α<2,∴4<4+α<4π,

?π ? 1 ?π ? 2 2 所以由 cos?4+α?=3,得 sin?4+α?= 3 , ? ? ? ? π 3 ?π β? 又-2<β<0,且 cos?4-2?= 3 , ? ? π π β π 6 ? π β? 则4<4-2<2,∴sin?4-2?= 3 , ? ?

β? ? ??π ? ?π β?? 故 cos?α+2?=cos??4+α?-?4-2?? ? ? ?? ? ? ?? ?π ? ? π β? ?π ? ?π β? =cos?4+α?cos?4-2?+sin?4+α?sin?4-2? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 =9 3. 【答案】 C

π? ? (2)①因为 f(x)= 2cos?x-12?, ? ? ? π? ? π π? 所以 f?-6?= 2cos?-6-12? ? ? ? ? π 2 ? π? = 2cos?-4?= 2cos 4= 2× 2 =1. ? ? 3 ?3π ? ②因为 θ∈? 2 ,2π?,cos θ=5, ? ? 所以 sin θ=- 1-cos2θ=- 4 ? 3? 1-?5?2=-5, ? ?

7 ?3? cos 2θ=2cos2θ-1=2×?5?2-1=-25, ? ? 3 ? 4? 24 sin 2θ=2sin θcos θ=2×5×?-5?=-25. ? ? π? π π? ? ? 所以 f?2θ+3?= 2cos?2θ+3-12? ? ? ? ? π? ? 2 ? 2 ? = 2cos?2θ+4?= 2×? cos 2θ- sin 2θ? ? ? 2 ?2 ? 7 ? 24? 17 =cos 2θ-sin 2θ=-25-?-25?=25. ? ? 规律方法 1 给值求值问题,解决的关键是把所求角用已知角表示.,?1?当

已知角有两个时,所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式. ?2?当已知角有一个时,此时应着眼于所求角与已知角的和或差的关系,然 后应用诱导公式把所求角变成已知角.?3?注意根据角的象限确定三角函数值的 符号. 对点训练 π? 4 π? ? ? (1)(2012· 江苏高考)设 α 为锐角, 若 cos?α+6?=5, 则 sin?2α+12? ? ? ? ?

的值为________.

π? 7π? 4 3 ? ? (2)已知 cos?α-6?+sin α= 5 ,则 sin?α+ 6 ?=________. ? ? ? ? 【解析】 π? 4 ? (1)∵α 为锐角且 cos?α+6?=5, ? ?

π? 3 ? ∴sin?α+6?=5. ? ? π? π? π? ? ? ? α+6?- ? ∴sin?2α+12?=sin?2? ? 4? ? ? ? ? π? π? π π ? ? =sin 2?α+6?cos 4-cos 2?α+6?sin 4 ? ? ? ? π? ? π? π? ? 2? ? ? = 2sin?α+6?cos?α+6?- 2 ?2cos2?α+6?-1? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 4 2? ?4? ? = 2×5×5- 2 ?2×?5?2-1? ? ? ? ? 12 2 7 2 17 2 = 25 - 50 = 50 . π? π π ? (2)cos?α-6?+sin α=cos αcos 6+sin αsin 6+sin α ? ? π? 4 3 3 ? = 2 cos α+2sin α= 3sin?α+6?=5 3. ? ? π? 4 ? ∴sin?α+6?=5, ? ? 7 ? π? π? 4 ? ? ? ∴sin?α+6π?=sin?π+α+6?=-sin?α+6?=-5. ? ? ? ? ? ? 【答案】 17 2 (1) 50 4 (2)-5 三角函数的给值求角

考向二 [061]

π α 1 2 已知 0<α<2<β<π,tan 2=2,cos(β-α)= 10 . (1)求 sin α 的值;(2)求 β 的值. 【思路点拨】 (2)cos(β-α) α二倍角公式 同角三角函数 (1)tan2 ― ― → tan α ― ― → sin α. 的关系

同角三角函数 拆角变换 结合β的范围 ― ― → sin(β-α) ― ― → sin β ― ― → β 的关系 α 1 (1)由 tan 2=2,

【尝试解答】

α 2tan 2 4 得 tan α= =3, α 1-tan22 3 ∴cos α=4sin α,①又 sin2α+cos2α=1,② π 4 由①、②联立,得 25sin2α=16,∵0<α<2,∴sin α=5. 3 4 (2)由(1)知,cos α=5,sin α=5, π 又 0<α< <β<π,∴0<β-α<π. 2 2 π 由 cos(β-α)= 10 ,得 0<β-α<2. 98 7 2 ∴sin(β-α)= 10 = 10 , 7 2 3 2 ∴sin β=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cos α+cos(β-α)· sin α= 10 ×5+ 10 4 25 2 2 ×5= 50 = 2 . π 3 由2<β<π 得 β=4π. 规律方法 2 2 π 1.第?2?问中, 由 sin β= 2 易错误得出 β=4 , 这些错误的原

因都是忽视了角的范围. 2.“给值求角”的求解思路: ?1?求角的某一三角函数值, ?2?讨论角的范围, 确定角的大小.其中求角的某一三角函数值时,应选择在该范围内是单调函数, π π 若角的范围是?0,π?,选余弦较好;若角的范围为?-2,2? ,选正弦较好. 对点训练 【解】 1 13 π 已知 cos α=7, cos(α-β)=14, 且 0<β<α<2, 试求角 β 的值. 1 π 由 cos α=7,0<α<2,得 sin α= 1-cos2α= 1 4 3 1-?7?2= 7 .

π π 由 0<β<α<2,得 0<α-β<2. 13 又∵cos(α-β)=14,

3 3 ∴sin(α-β)= 1-cos2?α-β?= 14 , 由 β=α-(α-β),得 cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 =7×14+ 7 × 14 =2. π π 又 0<β<2,所以 β=3. 考向三 [062] 三角函数式的化简

化简:(1)sin 50° (1+ 3tan 10° );

(2)

(1+sin θ+cos θ)? ?sin ?
2+2cos θ

θ θ? - cos 2 2? ? (0<θ<π).

【思路点拨】

(1)切化弦,逆用两角和的正弦公式;

θ (2)统一为2的三角函数,变形化简. 【尝试解答】 (1)sin 50° (1+ 3tan 10° )

?cos 10° ? + 3sin 10° ? ? =sin 50° cos 10° ? ? ?1 ? 3 ? cos 10° ? 2sin 50° + 2 sin 10° 2 ? ? = cos 10° = = 2sin 50° sin?30° +10° ? cos 10° 2sin 50° cos 50° sin 100° cos 10° =cos 10° =1. cos 10° = cos 10°

θ π θ (2)由 θ∈(0,π),得 0<2<2,∴cos 2>0. 因此 2+2cos θ= θ θ 4cos22=2cos 2. θ? 2? ? θ? 2? ?

θ ? 又(1+sin θ+cos θ)?sin 2-cos ?

θ θ θ?? θ ? =?2sin 2cos 2+2cos22??sin 2-cos ? ??

θ? 2θ θ 2θ ? =2cos 2?sin 2-cos 2?=-2cos 2cos θ. ? ? θ -2cos 2cos θ 故原式= =-cos θ. θ 2cos 2 规律方法 3 化为完全平方式. 2.三角函数式的化简要遵循“三看”原则,?1?一看“角”, 这是最重要的一 环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式; ?2?二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常 见的有“切化弦”; ?3?三看“结构特征”,帮助我们找到变形的方向. 1 2cos4x-2cos2x+2 1.本例?2?中有开方运算,联想二倍角公式的特征进行升幂,

对点训练

化简:

. ?π ? 2? π? 2tan?4-x?sin ?x+4? ? ? ? ?

【解】

原式=

1 2cos2x?cos2x-1?+2 ?π ? ?π ? 2tan?4-x?· cos2?4-x? ? ? ? ?

-4cos2xsin2x+1 1-sin22x = = ?π ? ?π ? ?π ? 4cos?4-x?sin?4-x? 2sin?2-2x? ? ? ? ? ? ? cos22x 1 =2cos 2x=2cos 2x.

规范解答之五 ———

三角函数中给值求值问题的解题策略

[1 个示范例] ———[1 个规范练] ———

? x π? (12 分)(2012· 广东高考)已知函数 f(x)=Acos?4+6?,x∈R,且 ? ? ?π? f?3?= 2. ? ? (1)求 A 的值;

π? ? 4 ? 2 ? 8 30 ? ? (2)设 α,β∈?0,2?,f?4α+3π?=-17,f?4β-3π?=5,求 cos(α+β)的值. ? ? ? ? ? ? 【规范解答】 ?π? ? π π? (1)由 f?3?= 2得 Acos?12+6?= 2,2 分 ? ? ? ?

π 即 A· cos 4= 2,∴A=2.4 分 ? x π? (2)由(1)知 f(x)=2cos?4+6?. ? ? 4 ? 30 ? 4 α + ? ? f =-17, ? ? 3π? ? 由? 2 ? 8 ? 4β-3π?= , ? ?f? ? ? 5 π π? 30 ? α+3+6?=- , ? ?2cos? 17 ? ? 得? π π? 8 ?β-6+6?= , ?2cos? ? ? ? 5 15 ? ?sin α=17, 解得? 4 ? ?cos β=5.

6分

8分

π? 8 ? ∵α,β∈?0,2?,∴cos α= 1-sin2α=17, ? ? 3 sin β= 1-cos2β=5.10 分 8 4 15 3 13 ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=17×5-17×5=-85.12 分 【名师寄语】 ?1?在利用诱导公式时,先判断角的范围,确定三角函数值 的符号,再写出结果. ?2?对于两角和与差的余弦公式,应特别注意符号的差别,防止出错. π? π ? (2014· 三明模拟)已知 0<α<4,β 为 f(x)=cos?2x+8?的最小正周期,a= ? ? 2cos2α+sin 2?α+β? 1 ? ? ? ? ?tan?α+4β?,-1?,b=(cos α,2),且 a· b=m,求 的值. ? ? ? ? cos α-sin α 【解】 π? 2π ? 因为 β 为 f(x)=cos?2x+8?的最小正周期,所以 β= 2 =π. ? ?

1 ? ? 又 a· b=cos αtan?α+4β?-2=m, ? ? π? ? 故 cos αtan?α+4?=m+2. ? ? π 由于 0<α<4, 2cos2α+sin 2?α+β? 2cos2α+sin?2α+2π? 所以 = cos α-sin α cos α-sin α 2cos2α+sin 2α 2cos α?cos α+sin α? = = cos α-sin α cos α-sin α 1+tan α π? ? =2cos α· =2cos αtan?α+4?=2(2+m). ? ? 1-tan α


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