第一讲几何证明选讲(一)


第一讲:几何证明选讲(一)
【经典例题】
例 1: (07 广东文、理)如图所示,圆 O 的直径 AB ? 6 , C 为圆周上一点, BC ? 3 ,过 C 作圆的切线 l ,过 A 作 l 的垂线 AD , AD 分别与直线 l 、圆交于点 D 、 E ,则∠ DAC = ,线段 AE 的长为 . 例 2: (08 广东文、理)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PA ? 2 . AC 是圆 O 的直径, PC 与圆 O 交于点 B , PB ? 1 ,则圆 O 的半径 R ? . 例 3: (09 广东文、理)如图,点 A, B, C 是圆 O 上的点, 且 AB ? 4, ?ACB ? 45 ,则圆 O
0

的面积等于



例 4: (10 广东理)如图, AB, CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点

P , PD ?

2a , ?OAP ? 30 ,则 CP ? ______. 3

例1

例3

例4

例 5: (10 广东文)如图,在直角梯形 ABCD 中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a,CD= 点 E,F 分别为线段 AB,CD 的中点,则 EF= .

a , 2

例 6: (11 广东理)如图,过圆 O 外一点 p 分别作圆的切线和割线交圆于 A , B ,且 PB =7,

C 是圆上一点使得 BC =5,∠ BAC =∠ APB , 则 AB =



例5

例6

1

例 7: (11 广东文)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥ CD,AB=4,CD=2.E,F 分别为 AD,BC 上点,且 EF=3,EF∥ AB,则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为



例 8: (12 广东理)如图,圆 O 的半径为 1,A、B、C 是圆周上的三点,满足∠ABC=30° , 过点 A 做圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P,则 PA=_____________。 例 9: (12 广东文)如图,直线 PB 与圆 O 相切与点 B,D 是弦 AC 上的点, ?PBA ? ?DBA , 若 AD ? m, AC ? n ,则 AB= .

例7

例8

例9

例 10: (13 广东理)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D,使 BC=CD, 过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E,若 AB=6,ED=2,则 BC=________。 例 11: (13 广东文)如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 3, BC ? 3 , BE ? AC ,垂足为 E , 则 ED ? .

A E O C
例 10

D

B

例 11

【经典习题】
一、填空题: 1、(2013·天津高考理科)如图,△ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且 BD∥AC.过点 A 作 圆的切线与 DB 的延长线交于点 E,AD 与 BC 交于点 F.若 AB=AC,AE=6,BD=5,则线段 CF 的长 为 .

2

2、 (2013·湖南高考理科)如图,在半径为 7 的⊙0 中,弦 PA=PB=2,

PD ? 1,则圆心O到弦CD的距离为

.

3、 (2013·陕西高考文科)如图, AB 与 CD 相交于点 E, 过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线 相交于点 P. 已知 ?A ? ?C , PD = 2DA = 2, 则 PE = .

4、(2013·北京高考理科)如图, AB 为圆 O 的直径,PA 为圆 O 的切线,PB 与圆 O 相交于 D.若 PA=3,PD∶DB=9∶16,则 PD= ,AB= .

5、 (2013·湖北高考理科)如图,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D,点 D 在半径 OC 上 的射影为 E,若 AB=3AD,则

CE 的值为 EO

6、 (2013·陕西高考理科)如图, 弦 AB 与 CD 相交于圆 O 内一点 E, 过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P. 已知 PD=2DA=2, 则 PE= .

3

7、 (2013·天津高考文科)如图, 在圆内接梯形 ABCD 中, AB//DC, 过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E. 若 AB = AD = 5, BE = 4, 则弦 BD 的长为 .

8、 (2013·重庆高考理科)如图,在△ ABC 中, ?C ? 900 , ?A ? 600 , AB ? 20 ,过 C 作△ ABC 的外接圆的切线 CD , BD ⊥ CD , BD 与外接圆交于点 E ,则 DE 的长 为

9、 (2013 湖南理科)如图, A, E 是半圆周上的两个三等分点,直径 BC ? 4 , AD ? BC , 垂足为 D, BE 与 AD 相交与点 F,则 AF 的长为 。

10、 (2013 北京理科)如图,AD,AE,BC 分别与圆 O 切于点 D,E,F,延长 AF 与圆 O 交于 另一点 G。给出下列三个结论:○ 1 AD+AE=AB+BC+CA;○ 2 AF·AG=AD·AE;③△AFB ~△ ADG。其中正确结论的序号是 。

11、 (2013 陕西)如图,∠B=∠D, AE ? BC , ?ACD ? 90 ,且 AB=6,AC=4,AD=12, 则 AE= .

4

12、 (天津理 12、文 13)如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F , E 是 AB 延长线 上一点, 且 DF ? CF ? 2, AF : FB : BE ? 4: 2:1. 若 CE 与 圆相切,则线段 CE 的长为__________.

二、解答题: 1、 (2013·辽宁高考文科)如图, AB 为

O 的直径,直线 CD 与 O 相切于 E , AD 垂

直 CD 于 D , BC 垂直 CD 于 C , EF 垂直 AB 于 F ,连接 AE, BE .
2 证明: (? ) ?FEB ? ?CEB ; (?? ) EF ? AD ? BC.

2、 (2013·新课标Ⅰ高考文科)如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于 D。 (Ⅰ)证明:DB=DC; (Ⅱ)设圆的半径为 1,BC= ,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径。

5

3、 (2013· 江苏高考数学科)如图,AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D,C,AC 经过圆心 O,且 BC=2OC. 求证:AC=2AD.

4、 (2013·新课标全国Ⅱ高考文科)如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC?AE=DC?AF,B、E、F、C 四点共圆. (1)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (2)若 DB=BE=EA,求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.

5、 (2013 辽宁理、文)如图, A, B, C , D 四点在同一圆上, AD 的延长线与 BC 的延长线交 于 E 点,且 EC ? ED 。 (I)证明: CD // AB ; (II)延长 CD 到 F ,延长 DC 到 G ,使得 EF ? EG ,证明:

A, B, G, F 四点共圆。

6


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