浙江省宁波市镇海中学2015届高三5月模拟考试数学(理)试题


镇海中学 2015 年高考模拟试卷 数学(理科)试卷
说明:本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟.请考 生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式: 柱体的体积公式:V=Sh,其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高. 锥体的体积公式:V= Sh,其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高.
3 1

球的表面积公式:S=4πR2 ,其中 R 表示球的半径. 球的体积公式:V= πR3 ,其中 R 表示球的半径.
3 4

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合 M ? { x ? 1 ? x ? 2} , N ? { x | log2 x ? 0} ,则 M ? N ? A. [?1,??) 2.已知三个命题如下: ①所有的质数都是奇数; ② ? x∈R, ( x ? 1) 2 ? 1 ? 1 ;③有的无理数的平方还是无理数. 则这三个命题中既是全称命题又是真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 (▲) B. (1,? ?) C. ( ?1,2) D. ( 0,2) (▲)

3.已知 ? , ? 是两个不同的平面,m ,n 是两条不同的直线,则下列命题是真命题的是 (▲) A.若 m // ? , ?

? = n ,则 m //n

B.若 m⊥ ? ,n ? ? ,m ⊥n ,则 ? ⊥ ? D.若 ? ⊥ ? , ?

C.若 ? // ? ,m⊥ ? ,n // ? ,则 m⊥n

? = m ,m //n,则 n // ?

? y ? ? x ? 2, ? 4.已知不等式组 ? y ? kx ? 1, 所表示的平面区域为面积等于 1 的三角形,则实数 k 的值为(▲) ?x ? 0 ?
A.-1 B. ?

1 2

C.

1 2

D.1

5. 设 f ( x) ? cos2x ? 3 sin 2x ,把 y ? f ( x) 的图象向左平移 ? (? ? 0) 个单位后,恰好得到函数

g( x) ? ? cos2x ? 3 sin 2x 的图象,则 ? 的值可以为。

(▲)

A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

6.设 F1 ,F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0 ,b ? 0) 的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点 P , a2 b2

使 (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 ( O 为坐标原点) ,且 | PF 1 |? 3 | PF 2 | ,则双曲线的离心率为(▲) A.

2 ?1 2

B. 2 ? 1

C.

3 ?1 2

D. 3 ? 1

7. 在数列 {an } 中, 若存在非零整数 T , 使得 am?T ? am 对于任意的正整数 m 均成立, 那么称数列 {an } 为周期数列,其中 T 叫做数列 {an } 的周期. 若数列 {xn } 满足 xn?1 ?| xn ? xn?1 | (n ? 2, n ? N ) ,如

x1 ? 1, x2 ? a(a ? R, a ? 0) ,当数 列 {xn } 的周期 最小时,该数列的前 2015 项的和是
A.671 B.672 C.1342 D.1344

(▲)

?1 ? x ? 1 , x ? (??, 2) ? 8. 设函数 f ( x) ? ? 1 ,则函数 F ( x) ? xf ( x) ? 1的零点个数为 ? f ( x ? 2), x ?[2, ??) ?2
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

(▲)

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、 填空题: 本大题共 7 小题, 前 4 题每空 3 分,后 3 题每空 4 分, 共 36 分. 9.已知函数 f ( x ) ?

2x

2

? 2 ax ? a

? 1 .当 a=1 时不等式 f ( x) ? 1 的解集是
▲ .



;若函数 f ( x) 的定

义域为 R,则实数 a 的取值范围是

2 2 10.已知点 P (a, b) 关于直线 l 的对称点为 P?(b ? 1, a ? 1) ,则圆 C : x ? y ?6 x ? 2 y ? 0 关于直线 l 对

称的圆 C ? 的方程为



;圆 C 与圆 C ? 的公共弦的长度为


8

.

4

11.已知某几何体的三视图如下图所示,其正视图 为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角 梯形.则该几何体的表面积是 ▲ ;体积是 ▲ .
4 4
[来源 :Zxxk.Com]

正视图

侧视图

俯视图

12.已知 2cos ?? ? x ? ? 3cos ?

?? ? ? x ? ? 0 ,则 tan 2 x ? ?2 ?



2x ? c o s 2x ? ,s i n



.

13.已知{ an }是公差不为 0 的等差数列,{ bn } 是等比数列,其中 a1 ? 2, b1 ? 1, a2 ? b2 , 2a4 ? b3 ,且存在 常数 α、β ,使得 an = log? bn ? ? 对每一个正整数 n 都成立,则 ? =
?



.

14.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 AC1、A1B1 的中点.点 P 在该正方体的 表面上运动,则总能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹的周长等于 ▲ .

15. 在 ?ABC 中 , CA ? 2, CB ? 6 , ?ACB ? 60 . 若 点 O 在 ?ACB 的 角 平 分 线 上 , 满 足

OC ? mOA ? nOB , m, n ? R ,且 ?

1 1 ?n?? ,则 OC 的取值范围是 4 20



.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 15 分) 在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 b ? (Ⅰ)求

a sin C . 2

1 1 ? 的值; tan A tan C

(Ⅱ)求 tan B 的最大值. 17.(本题满分 15 分) 如图,弧 AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为弧 AC 的中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的 三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FB ? FD ? 5a , FE ? 6a . (Ⅰ)证明: EB ? FD ; (Ⅱ)已知点 Q, R 分别为线段 FE, FB 上的点, 使得 FQ ? ? FE, FR ? ? FB, 求当 RD 最短时, 平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的正弦值.

F

R Q A E B C

D

18.(本题满分 15 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的点到左焦点的最大距离是 3 ? 2 , 且点 M (1, e) 在椭圆 C 上, a 2 b2

其中 e 为椭圆 C 的离心率. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)如图所示,A,B 是椭圆 C 上的两点,且| AB | = 3 ,求△AOB 面积的取值范围.

19.(本题满分 15 分) 已知横坐标为 t 的点 P 在曲线 C: y ?

1 曲线 C 在点 P 处的切线与直线 y = 4x 交于点 ? x ? 1? 上, x

A, 与 x 轴交于点 B.设点 A, B 的横坐标分别为 xA , xB ,记 f ? t ? ? xA xB .正数数列 { an }满足

an ? f ? an?1 ? (n ? N * , n ? 2) , a1 ? a .
(Ⅰ)写出 an , an?1 之间的关系式; (Ⅱ)若数列{ an }为递减数列,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若 a ? 2 , bn ? an ?

3 3 * ,设数列{ bn }的前 n 项和为 Sn ,求证: S n ? ? n ? N ? . 4 2

20.(本题满分 14 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? 5 | x ? a | ?2a
2

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在 [0,3] 上单调,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 存在实数 x1 , x2 ,满足 ( x1 ? a)( x2 ? a) ? 0 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求当 a 变化时,x1 ? x2 的 取值范围.

镇海中学 2015 年高考模拟试卷 数学(理科)参考答案
一.选择题(本大题有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.A; 5.A; 2.B; 6.D; 3.C; 7.D; 4.B;
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

8. C.

二、填空题(本大题共 7 小题,第 9-12 题每空 3 分,第 13-15 题每空 4 分,共 36 分) 9. ?? ?,0? ? ?2,??? , 0 ? a ? 1 10. ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 10 , 38 14.2+ 5 11. 64 ? 32 2, 15. ?

160 3

12.

12 17 , 5 13

13.4

? 3 3 3? , ? 4 ? ? 4

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(Ⅰ)

a b a sin B ? ,? b ? sin A sin B sin A a 2a sin B b ? sin C ,? ? a sin C.? 2sin B ? sin A sin C 2 sin A

? A ? B ? C ? ? ,sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos Asin C,
? 2sin A cos C ? 2 cos A sin C ? sin A sin C ,?
? 1 1 1 ? ? tan A tan C 2 2 2 1 ? ? 1 ,即 tan A ? tan C ? tan A tan C tan A tan C 2

2 2 ? ?1 tan A tan C
(7 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

ABC 为锐角三角形,? tan A, tan C 均为正数,

? tan A ? tan C ? 2 tan A tan C ,当且仅当 tan A ? tan C ?
1 ? tan A tan C ? 2 tan A tan C ,? tan A tan C ? 16 2 1 当且仅当 tan A ? tan C ? 时等号成立。 4

1 时等号成立。 4

1 tan A tan C tan A ? tan C 1? 1 ? tan B ? ? 2 ? ? ? 1? 1 ? tan A tan C tan A tan C ? 1 2 ? tan A tan C ? 1 ?
? tan B ? 8 8 ,即 tan B 的 最大值为 。 15 15
(15 分)

17.(1)证明:∵ E 为弧 AC 的中点, AB ? BC , AC 为直径,∴ EB ? AD . ∵ EF 2 ? 6a2 ? ( 5a)2 ? a2 ? BF 2 ? BE 2 ,∴ EB ? FB. ∵ BF

BD ? B, ∴ EB ? 平面 BDF . ∵ FD ? 平面 BDF , ∴ EB ? FD.

(6 分)

(2)解法一:如图,以 B 为原点, BE 为 x 轴正方向,过 B 作平面 BEC 的垂线,建立空间直角坐 标系, 由此得 B(0, 0, 0) , C (0, a,0) , D(0, 2a, 0) , E (a,0,0). ∵ FD ? FB, BC ? CD, ∴ FC ? BD. ∴ FC ? 2a. 当 RD ? FB 时, RD 最短.此时 RD ?

2a ? 2a 4 5 ? a 5 5a

z

? BR ?
∵ FQ ?

3 2 5 a ?? ? . 5 5

3 3 2 4 FE , FR ? FB, ∴ R (0, a, a ), 5 5 5 5 8 4 3 3 RQ ? BE ? ( a, 0, 0). ∴ RD ? (0, a, ? a ). 5 5 5 5

y

x

F

设平面 RQD 的法向量为 n1 ? ( x, y, z), 则 n1 ? RD ? 0, n1 ? RQ ? 0, ∴ n1 ? (0,1, 2). ∵平面 BED 的法向量为 n2 ? (0,0,1),
Q R G B E C H

∴ cos n1 , n2 ?

2 5 5 . ∴ sin n1 , n2 ? . 5 5

A

D

5 ∴平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的正弦值为 . 5
解法二: (确定二面角的平面角—综合方法一) 过 D 作 HD ∥ QR .

(15 分)

∵ FQ ? ? FE, FR ? ? FB, ∴ QR ∥ EB. ∴ HD ∥ EB.

∵ D ? 平面 BED

平面 RQD ,

∴ HD 为平面 BED 与平面 RQD 的交线. ∵ BD, RD ? 平面 BDF , EB ? 平面 BDF , ∴ HD ? BD, HD ? RD. ∴ ? RDB 为平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的平面角.

2 5a BR 5 5 ?BRD 是直角三角形,? sin ?BDR ? . ? ? BD 2a 5 ?a ? c ? 3 ? 2 ? 2 ? c2 ?a ? 3 ?1 18.(Ⅰ)解: (1)由题可知 ? 2 ? 2 2 ? 1 ,解得 ? 2 ? ?b ? 1 ?a a b 2 2 2 ?a ? b ? c ? 2 x ? 椭圆的方程是 ? y 2 ? 1 3
(Ⅱ)解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),△ABO 的面积为 S. 如果 AB⊥x 轴,由对称性不妨记 A 的坐标为(

(15 分 )

………………5 分

3 3 1 3 3 ? 3= ; , ),此时 S= ? 2 2 2 2 4 如果 AB 不垂直于 x 轴,设直线 AB 的方程为 y=kx+m,

? y ? kx ? m, 由? 2 得 x2+3(kx+m) 2=3, 2 x ? 3 y ? 3, ?
即 (1+3k2 )x2+6kmx+3m2-3=0,又Δ =36k2m2-4(1+3k2) (3m2-3)>0, 所以 x1+x2=-

3m 2 ? 3 6km , x x = , 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

[来源:Z,xx,k.Com]

(x1-x2)2=(x1+x2)2-4 x1 x2=

12(1 ? 3k 2 ? m2 ) , (1 ? 3k 2 )2



由 | AB |= (1 ? k 2 )( x1 ? x2 )2 及 | AB |= 3 得 (x1-x2)2=

3 , 1? k2



结合①,②得 m2=(1+3k2)-

(1 ? 3k 2 )2 |m| .又原点 O 到直线 AB 的距离为 , 2 4(1 ? k ) 1? k2

[来源:学 .科 .网]

所以 S=

|m| 1 ? 3, ? 2 1? k2

因此 S2= ?

(1 ? 3k 2 )2 1 1 ? 3k 2 3 m2 3 1 ? 3k 2 3 = [ - ] = [ - ( -2)2+1] ? ? 2 2 2 2 2 4(1 ? k ) 4 1? k 4 1? k 4 1? k 4

=-

3 3 1 ? 3k 2 -2)2+ , ?( 2 4 16 1 ? k

因为

1 ? 3k 2 2 ? 3? ? ?1,3? 2 1? k 1? k 2

故 S? ? ,

?3

3? ?. ?4 2 ? ?3 3? ? ?4 2 ?
…………15 分

综上可知,△ABO 的面积的取值范围是 ? ,

19.解

(Ⅰ) P ( t ,

1 ) ,直线(过 P 点的切线)AB 的方程为: t

y?

1 1 ? ? ( x ? t ) ,┄┄┄┄┄① t t

令 y ? 0 ,得 xB ? 2 t ;由 y ? 4 x 与①联立得 xA ? 所以 f ? t ? ? x A xB ? 由题设,得 an ?

2 t .(t ? 1) 4t ? 1

4t , (t ? 1). 4t ? 1
(5 分)

4an?1 , a1 ? a . 4an?1 ? 1

(Ⅱ)法一: 由 an ?

4an?1 a (3 ? 4an?1 ) 3 ? an ? an?1 ? n?1 ? 0 ? an ? 4an?1 ? 1 4an?1 ? 1 4

又由a1 ?

3 1 3 3 3 ? a2 ? 1 ? ? 从而由数学归纳法可得 ? an ? ? a ? 4 4a1 ? 1 4 4 4 1 1 1 4 1 1 4 ? 1? , 由待定系数法易得: ? ? ( ? ), , an 4an?1 an 3 4 an?1 3

法二:则

所以

1 4 1 4 1 n?1 1 ? ? ( ? )( ) ,得 an ? ,n? N* n ?1 an 3 a 3 4 4 1 4 ?1? ? ( ? )? ? 3 a 3 ?4?

依题意

1 4 1 1 4 1 3 1 1 ? ? 0恒成立 ? ( ? )( ) n a ? ( ? )( ) n ?1 恒成立 ? a ? a 3 4 a 3 4 4 an ?1 an
(10 分)

(Ⅲ) 法一:由bn ? an ?

4an?1 3 3 1 bn?1 得an =bn + 代入an ? ? bn ? (n ? 2) 4 4 4an?1 ? 1 4 bn?1 ? 1

而 an

?

1 4 5?1? ? ? ? 3 6?4?
n ?1

?

1
4 3

?

3 ? bn ? 0 4
1 b1 4n ?1

? bn ?

1 bn ?1 1 ? bn ?1 4 bn ?1 ? 1 4
5 3 ? 4 2

1 1 ? bn ? bn ?1 ? 2 bn ? 2 ? 4 4

?

? n ? 1时,S1 =

n ? 2时,Sn ?

5 5 1 + (1 ? ? 4 36 4

5 1 (1 ? n ?1 ) 1 5 5 4 ? n ?2 ) ? ? 36 ? ? 1 4 4 4 1? 4

5 36 ? 155 ? 3 3 108 2 4

? ? ? ? 3 1 3 1 1? ? 法二: bn ? an ? ? ? ? 3 ? ,n? N* n ?1 n ?1 ? ? 4 4 5?1? 4 4 5?1? ? ? ? ? 4? ? ? ? 3 6?4? 2?4? ? ?
5?1? ?1? 5?? ? ? ? 3 2?4? 3 3 5 3 5 ?2? . bn ? ? ? ? ? ? ? ? 2 n ?1 n ?1 2 n ?1 2 n ?1 4 4 4 4?2 ?5 4 2 ?5 5?1? ?1? 4? ? ? 4 ? 5?? ? 2?4? ?2?
即 bn ?
n ?1 2 n ?1

15 1 15 1 15 1 15 ? 2 n ?1 , n ? N * .? bn ? ? 2 n ?1 ? ? 2 n ?1 2 n ? n ?1 (n ? 2) 4 2 ?5 4 2 ?5 4 2 ?2 4

? n ? 1时,S1 =

5 3 ? , n ? 2时,S2 ? 5 ? 5 ? 25 ? 3 4 2 4 36 18 2

25 15 1 1 n ? 3时, Sn ? ? ( ? ? 18 4 43 44

15 1 25 44 1 845 3 ? n)? ? (1 ? n ?2 ) ? ? 4 18 1 ? 1 4 576 2 4
(15 分)

20. 20. 解: (Ⅰ) f ( x) ? x ? 5 | x ? a | ?2a ? ?
2

? x 2 ? 5 x ? 7 a, ( x ? a )
2 ? x ? 5 x ? 3a, ( x ? a)

当 0 ? x ? 3 时,

5 5 2 2 5 若 a ? 3 ,则 f ( x) ? x2 ? 5x ? 3a 在 [? , ??) 上为增函数,符合题意; 2 5 5 5 若 0 ? a ? ,则 f ( x ) 在 [0, a ] 上为增函数,在 [ a , ] 上为减函数,在 [ , 3] 上 为增函数, 2 2 2
若 a ? 0 ,则 f ( x) ? x 2 ? 5x ? 7a 在 [0, ] 上为减函数,在 [ , 3] 上为增函数;不合题意;
[来源:Z.xx.k.Com]

不合题意; 若

5 ? a ? 3 时, f ( x) 在 [0, a ] 上为增函数,在 [a,3] 上为增函数,所以 f ( x) 在 [0,3] 上 2 5 。 2

为增函数,符合题意。 综上,所求 a 的取值范围为 a ?

(Ⅱ)因为 x1 , x2 满足 ( x1 ? a)( x2 ? a) ? 0 ,不妨设 x1 ? a ? x2 令 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? k 当a ?

5 5 28a ? 25 2 ?k 时, k ? f (a) ? a ? 2a ,当 0 ? a ? 时, 2 2 4
2

①当 a ? 0 ,且 k ? f (a) ? a ? 2a

x1 ? x2 ?
?

?5 ? 25 ? 4k ? 12a 5 ? 25 ? 4k ? 28a ? 2 2

?20a 关于 k 为增函数 25 ? 4k ? 12a ? 25 ? 4k ? 28a

所以 0 ?

?20a ?10a ? 25 ? 4k ? 12a ? 25 ? 4k ? 28a | a ? 5 | ? | a ? 5 | 2 2

?10a ? ?5 5 5 |a? |?|a? | 2 2 5 ?10a 当0 ? a ? , ? ?2a ? ?5 , 5 5 2 |a? |?|a? | 2 2
当a ?

5 时, 2

所以 ?5 ? x1 ? x2 ? 0 ; ②当 0 ? a ?

5 28a ? 25 ? k ? f (a ) ? a 2 ? 2a 时, , 2 4

?5 ? 25 ? 4k ? 12a 5 ? 25 ? 4k ? 28a ?5 ? 25 ? 4k ? 12a 5 ? 25 ? 4k ? 28a ? ? x1 ? x2 ? ? 2 2 2 2
1 1 即 ? [ 25 ? 4k ? 12a ? 25 ? 4k ? 28a ] ? x1 ? x2 ? [ 25 ? 4k ? 12a ? 25 ? 4k ? 28a ] 2 2
因为 25 ? 4k ? 12a ? 25 ? 4k ? 28a 关于 k 为增函数,且 所以 40a ? 25 ? 4k ? 12a ? 25 ? 4k ? 28a ? 10 又当 a ? 0 时, f ( x ) 关于 x 轴对称,从而 x1 ? x2 ? 0 可以取到。 所以当 a 变化时, ?5 ? x1 ? x2 ? 5 。 综上, x1 ? x2 的取值范围为 [?5,5] 。

28a ? 25 ? k ? a 2 ? 2a 4


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