第一章 解三角形 章末检测(人教B版必修5)


第一章

章末检测

(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.在△ABC 中,c= 2,则 bcos A+acos B 等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 2.设甲、乙两楼相距 20 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60° ,从甲楼顶望乙楼顶的俯 角为 30° ,则甲、乙两楼的高分别是( ) 40 A.20 3 m, 3 m 3 B.10 3 m,20 3 m C.10( 3- 2) m,20 3 m 15 20 D. 3 m, 3 m 2 3 3.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a2+c2-b2= 3ac,则角 B 的 值为( ) π π A. B. 6 3 π 5π π 2π C. 或 D. 或 6 6 3 3 4.已知△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=k∶(k+1)∶2k,则 k 的取值范围是( ) A.(2,+∞) B.(-∞,0) 1 ? 1 ? C.? D.? ?-2,0? ?2,+∞? → → 5.在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10,则BA· AC等于( ) 3 2 2 3 A.- B.- C. D. 2 3 3 2 6.从高出海平面 h 米的小岛看到正东方向有一只船俯角为 30° ,看到正南方向有一只 船俯角为 45° ,则此时两船间的距离为( ) A.2h 米 B. 2h 米 C. 3h 米 D.2 2h 米 7.在锐角△ABC 中,有( ) A.cos A>sin B 且 cos B>sin A B.cos A<sin B 且 cos B<sin A C.cos A>sin B 且 cos B<sin A D.cos A<sin B 且 cos B>sin A 8.在△ABC 中,已知 a= 5,b= 15,A=30° ,则 c 等于( ) A.2 5 B. 5 C.2 5或 5 D.以上都不对 9.根据下列情况,判断三角形解的情况,其中正确的是( ) A.a=8,b=16,A=30° ,有两解 B.b=18,c=20,B=60° ,有一解 C.a=5,c=2,A=90° ,无解 D.a=30,b=25,A=150° ,有一解 10.在某个位置测得某山峰仰角为 θ,对着山峰在平行地面上前进 600 m 后测仰角为原 来的 2 倍,继续在平行地面上前进 200 3 m 后,测得山峰的仰角为原来的 4 倍,则该山峰 的高度是( ) A.200 m B.300 m C.400 m D.100 3 m

sin A cos B cos C 11.若 = = ,则△ABC 是( ) a b c A.等边三角形 B.有一内角是 30° 的直角三角形 C.等腰直角三角形 D.有一内角是 30° 的等腰三角形 π 12.△ABC 中,A= ,BC=3,则△ABC 的周长为( 3 π ? A.4 3sin? ?B+3?+3 π? B.4 3sin? ?B+6?+3 π? C.6sin? ?B+3?+3 π? D.6sin? ?B+6?+3 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 2a b c 13.在△ABC 中, - - =______. sin A sin B sin C 14.

)

如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点 A、B,望对岸标记物 C,测得∠CAB =30° ,∠CBA=75° ,AB=120 m,则河的宽度为______. 15.△ABC 的三边长分别为 3、4、6,则它的较大锐角的角平分线分三角形的面积比为 ________. 16.在△ABC 中,若 A>B,则下列关系中不一定正确的是________. ①sin A>sin B ②cos A<cos B ③sin 2A>sin 2B ④cos 2A<cos 2B 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 4 17.(10 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别是 a、b、c,且 cos A= . 5 B + C (1)求 sin2 +cos 2A 的值; 2 (2)若 b=2,△ABC 的面积 S=3,求 a.

18.(12 分)

如图所示,△ACD 是等边三角形,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90° ,BD 交 AC 于 E,AB=2. (1)求 cos∠CBE 的值; (2)求 AE.

19.(12 分)如图,

A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测 量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75° 、 30° , 于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰 角均为 60° ,AC=0.1 km.试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B、D 的距离(结果保留根号).

20.(12 分)在△ABC 中,A 最大,C 最小,且 A=2C,a+c=2b,求此三角形三边之比. cos A 21.(12 分)在△ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,其中 c=10,且 cos B b 4 = = . a 3 (1)求证:△ABC 是直角三角形; (2)设圆 O 过 A、B、C 三点,点 P 位于劣弧 log 1 AC 上,∠PAB=60° .求四边形 ABCP
2

的面积.

22.(12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a+b=5,c= 7, A+B 7 且 4sin2 -cos 2C= . 2 2 (1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积. 第一章 章末检测 1.B 2.A 3.A [∵a2+c2-b2= 3ac, a2+c2-b2 3ac 3 π ∴cos B= = = ,∴B= .] 2ac 2ac 2 6 4.D [由正弦定理得:a=mk,b=m(k+1),c=2mk(m>0), ? ? ?a+b>c ?m?2k+1?>2mk ∵? 即? , ?a+c>b ?3mk>m?k+1? ? ?

1 ∴k> .] 2 AB2+AC2-BC2 5.A [由余弦定理得 cos A= 2AB· AC 9+4-10 1 = = . 12 4 1 3 → → → → ∴AB· AC=|AB|· |AC|· cos A=3×2× = . 4 2 3 → → → → ∴BA· AC=-AB· AC=- .] 2 6.A

[如图所示, BC= 3h,AC=h, ∴AB= 3h2+h2=2h.] π π π π 7.B [由于 A+B> ,得 A> -B,即 >A> -B>0 2 2 2 2 π ? y=cos x 在? ?0,2?是减函数,所以得 cos A<sin B.同理可得 cos B<sin A.] 8.C [因 a2=b2+c2-2bccos A, 3 ∴5=15+c2-2 15×c× . 2 化简得:c2-3 5c+10=0,即(c-2 5)(c- 5)=0, ∴c=2 5或 c= 5.] 16×sin 30° a b 9.D [A 中,因 = ,所以 sin B= =1 sin A sin B 8 ∴B=90° ,即只有一解; 20sin 60° 5 3 B 中 sin C= = ,且 c>b, 18 9 ∴C>B,故有两解; C 中,∵A=90° ,a=5,c=2 ∴b= a2-c2= 25-4= 21,即有解, 故 A、B、C 都不正确.] 10.B [如图所示,600· sin 2θ=200 3· sin 4θ,

3 ,∴θ=15° ,∴h=200 3· sin 4θ=300 (m).] 2 sin A cos B 11.C [∵ = , a b ∴acos B=bsin A, ∴2Rsin Acos B=2Rsin Bsin A,2Rsin A≠0. ∴cos B=sin B,∴B=45° .同理 C=45° ,故 A=90° .] π BC AC AB 12.D [A= ,BC=3,设周长为 x,由正弦定理知 = = =2R, 3 sin A sin B sin C ∴cos 2θ=

AB+BC+AC BC 3 x = ,即 = . sin A sin A+sin B+sin C 3 3 +sin B+sin C 2 2 3 ∴2 3? +sin B+sin?A+B??=x, ?2 ? ? π?? 即 x=3+2 3? ?sin B+sin?B+3?? π π? =3+2 3? ?sin B+sin Bcos3+cos Bsin 3? 1 3 =3+2 3?sin B+ sin B+ cos B? 2 2 ? ? 3 3 =3+2 3? sin B+ cos B? 2 ?2 ? π 3 1 ? B+ ?.] =3+6? sin B+ cos B =3+6sin? 6 ? ? 2 ?2 ? 13.0 14.60 m 解析 在△ABC 中,∠CAB=30° ,∠CBA=75° , ∴∠ACB=75° .∠ACB=∠ABC. ∴AC=AB=120 m.∴宽 h=AC· sin 30° =60 m. 15.1∶2 解析 不妨设 a=3,b=4,c=6, 32+42-62 11 则 cos C= =- <0. 24 2×3×4 ∴C 为钝角,则 B 为较大锐角,设 B 的平分线长为 m, 1 B? ?1 B? 则 S1∶S2=? ?2×3 m sin 2 ?∶?2×6 m sin 2 ? =1∶2. 16.③ 解析 在△ABC 中,A>B,sin A>sin B,cos A<cos B. ∴1-2sin2A<1-2sin2B, ∴cos 2A<cos 2B. B+C 1-cos?B+C? 17.解 (1)sin2 +cos 2A= +cos 2A 2 2 1+cos A 59 = +2cos2 A-1= . 2 50 4 3 (2)∵cos A= ,∴sin A= . 5 5 1 1 3 由 S△ABC= bcsin A,得 3= ×2c× ,解得 c=5. 2 2 5 2 2 2 由余弦定理 a =b +c -2bccos A,可得 4 a2=4+25-2×2×5× =13,∴a= 13. 5 18.解 (1)因为∠BCD=90° +60° =150° ,CB=AC=CD, 6+ 2 ∴∠CBE=15° .∴cos∠CBE=cos(45° -30° )= . 4 (2)在△ABE 中,AB=2,由正弦定理得 AE AB AE 2 = ,即 = , sin∠ABE sin∠AEB sin?45° -15° ? sin?90° +15° ? ∵

1 2× 2 2sin 30° 故 AE= = = 6- 2. cos 15° 6+ 2 4 19. 解 在△ACD 中, ∠DAC=30° , ∠ADC=60° -∠DAC=30° , 所以 CD=AC=0.1. 又∠BCD=180° -60° -60° =60° , 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线, AB AC 所以 BD=BA.在△ABC 中, = , sin∠BCA sin∠ABC 3 2+ 6 ACsin 60° 3 2+ 6 所以 AB= = ,∴BD= (km). sin 15° 20 20 3 2+ 6 故 B、D 的距离为 km. 20 a c 20.解 在△ABC 中,由正弦定理得 = , sin A sin C a sin A sin 2C = = =2cos C, c sin C sin C a2+b2-c2 a 即 cos C= .由余弦定理得 cos C= , 2c 2ab 1 a2-c2+ ?a+c?2 4 a ∵2b=a+c,∴ = , 2c a+c 2a· 2 3 2 2 3 整理得 2a -3a c-2ac +3c =0, 即(a+c)(a-c)(2a-3c)=0, 3 解得 a=-c(舍去),a=c 或 a= c, 2 ∵A>C,∴a>c,∴a=c 不合题意. 3 1 5 当 a= c 时,b= (a+c)= c, 2 2 4 3 5 ∴a∶b∶c= c∶ c∶c=6∶5∶4. 2 4 故此三角形的三边之比为 6∶5∶4. cos A b sin B 21.(1)证明 根据正弦定理得 = = . cos B a sin A 整理为 sin Acos A=sin Bcos B,即 sin 2A=sin 2B. b 4 又∵ = ,∴0<A<B<π,∴0<2A<2B<2π, a 3 π π ∴2A=π-2B,即 A+B= ,∴C= . 2 2 故△ABC 是直角三角形. (2)解 由(1)可得:a=6,b=8. BC 3 4 在 Rt△ABC 中,sin∠CAB= = ,cos∠CAB= . AB 5 5 ∴sin∠PAC=sin(60° -∠CAB) =sin 60° · cos∠CAB-cos 60° · sin∠CAB 3 4 1 3 1 = × - × = (4 3-3). 2 5 2 5 10

连结 PB,在 Rt△APB 中, AP=AB· cos∠PAB=5, ∴四边形 ABCP 面积 S=S△ACB+S△PAC 1 1 = ab+ AP· AC· sin∠PAC 2 2 1 1 =24+ ×5×8× (4 3-3)=18+8 2 10 22.解 (1)∵A+B+C=180° , A + B 7 由 4sin2 -cos 2C= , 2 2 C 7 得 4cos2 -cos 2C= , 2 2 1+cos C 7 ∴4· -(2cos2C-1)= , 2 2

3.

1 整理,得 4cos2C-4cos C+1=0,解得 cos C= , 2 ∵0° <C<180° ,∴C=60° . (2)由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C, 即 7=a2+b2-ab,∴7=(a+b)2-3ab, 由条件 a+b=5,得 7=25-3ab,ab=6, 1 1 3 3 3 ∴S△ABC= absin C= ×6× = . 2 2 2 2


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