北师大版高二数学选修2-2第二、三章检测题及答案


高二数学选修 2-2 第二章与第三章
一:选择题(共 12 题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 函数 y ? x 2 在 x ? 1 处和 x ? ?1 处的导数之间的关系是( A. f ?(1) ? f ?(?1) C. f ?(1) ? f ?( ?1) B. f ?(1) ? f ?(?1) ? 0 D. 以上都不对 ) )

2. 与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 平行且与抛物线 y ? x 2 相切的直线方程是( A. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0 3. 函数 y ? x ? A. 2 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0

1 在 x ? 1 处的导数是( ) x 5 B. C. 1 D. 0 2

4. 函数 y ? x 2 cos x 的导数为 A. y ? ? 2 x cos x ? x 2 sin x C. y ? ? x 2 cos x ? 2 x sin x 5. 下列求导数运算正确的是 1 1 A.(x+ )′=1+ 2 x x x x C. (3 )′=3 log3e B. y ? ? 2 x cos x ? x 2 sin x D. y ? ? x cos x ? x 2 sin x
1 x ln 2 2 (x cosx)′= -2xsinx

B. D.

(log2x)′=

6. 若 y ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 1) ,则 y ? ? ( A. x 3 ? 2 x 2 ? x ? 2 C. 3 x 2 ? 4 x ? 2 7. 曲线 y ?



B. 3 x 2 ? 4 x ? 1 D. 3 x 2 ? 4 x ? 3 )

1 5 x 上点 M 处的切线与直线 y ? 3 ? x 垂直,则切线方程为( 5

A. 5 x ? 5 y ? 4 ? 0

B. 5 x ? 5 y ? 4 ? 0

C. 5 x ? 5 y ? 4 ? 0 或 5 x ? 5 y ? 4 ? 0 D. 5 x ? 5 y ? 4 ? 0 或 5 x ? 5 y ? 4 ? 0

8. 函数 y ? sin3 ( 3 x ? A. 3 sin2 ( 3 x ? C. 9 sin2 ( 3 x ?

?
4

) 的导数为



) B. 9 sin2 ( 3 x ?

?
?
4

) cos(3 x ?
)

?
4

)

?
4

) cos(3 x ?

?
4

)

4

D. ? 9 sin2 ( 3 x ?

?
4

) cos(3 x ?

?
4

)

9. 使函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 1 是减函数的区间为 A. ?2,??? B. ?? ?,2? C. ?? ?,0? D. ?0,2 ?

10. 若函数 y ? a( x 3 ? x) 的减区间为 (? A. a ? 0 B. ? 1 ? a ? 0

3 3 , ) ,则 a 的范围是 3 3

C. a ? ?1 )

D. ? 1 ? a ? 1

11. 函数 y ? ? x 3 ? x 2 ? 2 的极值情况是( A. 有极大值,无极小值 B. 有极小值,无极大值 C. 既无极大值也无极小值 D. 既有极大值又有极小值

12. 三次函数当 x ? 1 时有极大值 4 ,当 x ? 3 时有极小值 0 ,且函数过原点,则 此函数是( ) B. y ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x D. y ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x

A. y ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x C. y ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x

二:填空题(共 6 题,每题 5 分,共 30 分) 13. 函数 y ? 100 ? x 2 ,当 ? 6 ? x ? 8 时的最大值为___________,最小值为 _________。
? ? ?? 14. 函数 y ? sin x ? cos x 在 x ? ?? , ? 上的最大值和最小值分别为 ? 2 2?

___________________。 15. 函数 f(x)=cos2x 的单调减区间是___________。

? ,0)处切线的斜率为___________。 3 ? ? 17. 函数 y ? x sin(2 x ? ) cos(2 x ? ) 的导数是 。 2 2
16. 曲线 y=sin3x 在点 P(

? 18. 函数 y= cos(2 x ? ) 的导数为 3
三:简答题(共 60 分) 19、 (15 分)



(1)求与曲线 y ? 2 x 2 ? 1 相切且与 x ? 4 y ? 1 ? 0 垂直的切线方程。 (2) 求曲线 y ? cos x 在点 A(
4? 1 ,? ) 处的切线方程。 3 2

20. (15 分)

求下列函数的导数: 2x x (1) y ? 2 ; (2) y ? 1 ? cos x x ?1 sin x ? 2 cos x (3) y ? ; x2



21. (15 分) 已知函数 y= 3x 3 ? 2 x 2 ? 1 在区间 (m, 0) 上为减函数, 求 m 的取值范围。

22、 (15 分)
1 2

(1)

函数 y ? x 3 (1 ? x) 3 的单调区间,并求极值。

(2)求函数 y ? 4 x 3 ? 3 x 2 ? 36x ? 5 在区间 ?? 2,2? 上的最大值与最小值。

标准答案 一、 选择题 BDDAB BDBDA DB
14、 答案: 2 , ?1 。 15、 k? , k? ? (

10 二、 填空题 13、 答案: , 6 。

?
2

)

16、 y ? ? 3 cos 3 x, f ?( ) ? ?3 。 3 1 1 17、 y ? x sin2 x cos 2 x ? x sin4 x, y ? ? sin4 x ? 2 x cos 4 x 2 2

?

18、 y ? ?

sin(2 x ?

?
3

) )

cos(2 x ?

?
3

三:简答题

19、 (1) 解析: 所求切线斜率为 4 , 由于 f ?( x) ? 4 x , 4 x ? 4, x ? 1 , 故 切点 (1,1) ,
所求切线方程为 4 x ? y ? 3 ? 0 。

(2)解析:由于 (cos x)? ? ? sin x ,所以 k ? ? sin
切线方程为 3 x ? 2 y ?
4 3 ? ?1 ? 0。 3

4? 3 ? , 3 2

20 解析: (1)原式 ?
(2)原式 ? (3)原式
?

2( x 2 ? 1) ? 2 x ? 2 x 2 ? 2x 2 ? 2 ( x 2 ? 1) 2 ( x ? 1) 2

1 ? cos x ? x sin x (1 ? cos x ) 2

(cos x ? 2 sin x ) ? x 2 ? (sin x ? 2 cos x ) ? 2 x ( x ? 4) cos x ? 2 sin x( x ? 1) ? x4 x3

21 解析:由 y ? ? 9 x 2 ? 4 x ? 0 得 ? ? x ? 0 ,由于要求 f (x ) 在 (m,0) 上单调减,

4 4 ( m,0) ? ( ? ,0) ,所以 m ? (? ,0) 。 9 9 1 1 ? 3x 22(1)解析:由 y ? ? 2 ? 0 得 x ? ,又当 x ? 0, x ? 1 时导数不存在, 1 3 3 x 3 (1 ? x) 3

4 9

列表如下
x

(??,0)
?

0
不存在

1 ( 0, ) 3
?

1 3
0

1 ( ,1) 3
?

1
不存在

(1,??)
?

y?

y



0



极大值



0



1 1 由表知单调增区间为 (?? , ] 与 [1,??) ;单调减区间为 ( ,1) 。 3 3
3 1 4 极大值为 f ( ) ? ,极小值为 f (1) ? 0 。 3 3

(2)答案:最大值 57 ,最小值 ?

115 ; 4 3 3 115 解析:由 y ? ? 0 解得 x ? ?2或x ? , f ( ?2) ? 57, f ( ) ? ? , f ( 2) ? ?23 。 2 2 4


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