2016届高考数学一轮复习 2.3函数的奇偶性与周期性练习 理


第三节
题号 答案 1 2

函数的奇偶性与周期性
3 4 5 6

1.下列函数中既不是奇函数,又不是偶函数的是( A.y=2
|x|

)

B.y=lg(|x|+ x +1)
-x

2

C.y=2 +2

x

D.y=ln

1 x-1

1 1 解析:因为 y=ln 的定义域为{x|x>1},不关于原点对称,所以 y=ln 是非奇 x-1 x-1 非偶函数.故选 D. 答案:D 2.设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则函数 y=f(x)的图象可 能是( )

解析:由 f(-x)=f(x)得 y=f(x)是偶函数,所以函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称, 可知 B,D 符合;由 f(x+2)=f(x)得 y=f(x)是周期为 2 的周期函数,选项 D 的图象的最小 正周期是 4,不符合,选项 B 的图象的最小正周期是 2.故选 B. 答案:B 3. 已知函数 y=f(x)+x 为偶函数, 且 f(10)=10, 若函数 g(x)=f(x)+4, 则 g(-10) =( ) A.2 012 B.2 013 C.2 014 D.2 015 解析:因为 y=f(x)+x 是偶函数,所以 f(-x)+(-x) =f(x)+x ,即 f(-x)=f(x) +2x ,所以 g(-10)=f(-10)+4=f(10)+2·10 +4=2 014.故选 C. 答案:C
?2x+a,x<1, ? 4.已知实数 a≠0,函数 f(x)=? 若 f(1-a)=f(1+a),则 a 的值为 ? ?-x-2a,x≥1,
3 3 3 3 3 3

(

)

1

3 3 3 3 A.- B. C.- D. 5 5 4 4 解析:由题意得函数 f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)单调递减.因为 f(1 -a)=f(1+a)且 1-a≠1+a, 所以 1-a, 1+a 应分别在分段函数的两段上, 则当 a<0 时, 3 因为 1-a>1+a,所以 f(1-a)=f(1+a)? 2(1+a)+a=-(1-a)-2a? a=- ;当 a>0 4 3 时,1-a<1<1+a,所以 f(1-a)=f(1+a)? 2(1-a)+a=-(1+a)-2a? a=- (不符 2 3 合题意,舍去),综上所述,a=- ,故选 C. 4 答案:C 5. 函数 f(x)=|x +1|+|x -1|,则下列坐标表示的点一定在函数 f(x)图象上的是 ( ) A.(-a,-f(a)) B.(a,f(-a))
3 3

C.(a,-f(a)) D.(-a,-f(-a)) 解析:函数的定义域为 R,且满足 f(x)=f(-x), ∴f(x)为偶函数. ∴f(a)=f(-a).而点(a,f(a))在函数图象上, ∴(a,f(-a))也在函数图象上.故选 B. 答案:B
? ?x +2x,x≥0, 6. 已知函数 f(x)=? 2 若 f(-a)+f(a)≤2f(1), 则 a 的取值范围是( ?x -2x,x<0. ?
2

)

A.[-1,0)

B.[0,1] C.[-1,1] D.[-2,2]

解析:依题意得 f(1)=3,当 a=0 时,不等式 f(-a)+f(a)≤2f(1)成立;当 a≠0 时,
? ? ?a>0, ?a<0, 不等式 f( - a) +f(a)≤2f(1)等价于 ? 或? 由此解得 0 < 2 2 ?2(a +2a)≤6 ? ?2(a -2a)≤6, ?

a≤1 或-1≤a<0.综上所述,不等式 f(-a)+f(a)≤2f(1)的解集是[-1,1],故选 C. 答案:C 7.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则 f(6)的值为________. 解析:由已知等式得 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以 f(x)是以 4 为周期的函数,所 以 f(6)=f(2), 由 f(x+2)=-f(x)得 f(2)=-f(0), 因为 f(x)是 R 上的奇函数, 所以 f(0) =0,所以 f(6)=0. 答案:0 8.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0, 2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2 013)+f(2 014)的值为________.

2

解析:函数的周期为 2, ∴f(-2 013)+f(2 014)=f(2 013)+f(2 014)=f(1)+f(0)=log2(1+1)+log2(0+ 1)=1. 答案:1

?f(x+2),x<2, ? 9.已知函数 f(x)=??1?x ? ? ,x>2, ? ??2?
则 f(-3)的值为________. 3 ?1? 1 解析:f(-3)=f(-1)=f(1)=f(3)=? ? = . ?2? 8 1 答案: 8 -x +2x,x>0, ? ? 10.已知函数 f(x)=?0,x=0, 是奇函数. 2 ? ?x +mx,x<0 (1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 解析:(1)易知 f(1)=1,f(-1)=1-m, 又∵f(x)是奇函数,∴f(-1)=-f(1). ∴1-m=-1. ∴m=2. 故实数 m 的值为 2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
? ?a-2>-1, 结合 f(x)的图象知? ?a-2≤1. ?
2

∴1<a≤3.故实数 a 的取值范围是(1,3]. 11.(2013·四川泸州模拟)设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π )的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围图形的面积. 解析:(1)由 f(x+2)=-f(x),得 f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的函数,从而得 f(π )=f[-1×4+π ]=f(π -4)=-f(4-π )=-(4-π )=π -4. 所以 f(π )的值为π -4.
3

(2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x), 得 f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即 f(1+x)=f(1-x). 故知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 又 0≤x≤1 时, f(x)=x, 且 f(x)的图象关于原点成中心对称, 则 f(x)的图象如图所示.

当-4≤x≤4 时,f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S,

?1 ? 则 S=4S△OAB=4×? ×2×1?=4. 故所求图形的面积为 4. ?2 ?

4


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