第11部分概率统计


宁夏省期末模拟试题分类汇编
第 11 部分:概率统计
一.选择题 1. (宁夏 09)从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于 160cm 的概率为 0.2, 该同学的身高在 [160, 175] 的概率为 0.5, cm 那么该同学的身高超过 175cm 的概率为 ( A.0.2 答案: ( B.0.3 B ) C.0.7 D.0.8 )

2. (宁夏 09) 将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后 抛掷两次,记第一次出现的点数为 x ,第二次出现的点数为 y .则事件“ x ? y ? 3 ”的概率 为( A.
1 12

) B.
1 9

C.

1 3

D.

1 15

答案: (A ) 3. (宁夏 09)如图所示,墙上挂有一长为 2? ,宽为 2 y 的矩形木板 ABCD ,它的阴影部分是由 函数 y ? cos x , x ? [ 0 , 2? ] 的图象和直线
y ? 1 围成的图形.某人向此板投镖,假
1 A D

O -1 B

2?

x

设每次都能击中木板,且击中木板上 每个点的可能性都一样,则他击中阴 影部分的概率是 ( ) 1 1 1 A. B. C. 8 3 4 答案: (D )

C

D.

1 2

4. (宁夏 09)下表是某厂 1 ~ 4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 月份 x 用水量 y
1
4 .5

2 4

3 3

4
2 .5

由散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系, 其线性回归直线方程是 y ? ? 0 . 7 x ? a ,则 a ? A. 10 . 5 答案: ( B. 5 . 15 ) C. 5 . 2 D. 5 . 25
?

( D



5. (宁夏 09)为调查某市中学生平均每人每天参加体育活动的 时间 X (单位:分钟),按锻炼时间分下列四种情况 统计: ① 0 ~ 10 分钟;② 10 ~ 20 分钟;③ 20 ~ 30 分钟;

④ 30 分钟以上.有 10000 名中学生参加了此项 活动,右图是此次调查中某一项算法的程序框图, 其输出的结果是 6200 ,则平均每天参加体育锻 炼时间在 0 ~ 20 分钟内的学生的频率是( ) A. 3800 B. 6200 C. 0 . 38 D. 0 . 62 答案: (C ) 6. (宁夏 09)如图所示,墙上挂有一边长为 a 的正方形木板,它的四个角 a 的空白部分都是以正方形的顶点为圆心,半径为 的圆弧, 2 某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板上 每个点的可能性都一样,则他击中阴影部分的概率是( ) ? ? A. 1 ? B. 4 4 ? C. 1 ? D.与 a 的取值有关 8 答案: A ) ( 7. (宁夏 09)某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机 抽取 1 名,抽到二年级女生的概率是 0 .19 .现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生, 则应在三年级抽取的学生人数为( ) 一年级 二年级 三年级 A. 12 B. 16 y x 女生 373 C. 18 D. 24 答案: (B ) 男生 377
370

z

8. (宁夏 09)某林场有树苗 30000 棵,其中松树苗 4000 棵.为调查树苗的生长情况,采用 分层抽样的方法抽取一个容量为 150 的样本,则样本中松树苗的数量为 A.30 答案: C ) ( 9. (宁夏 09)某路段检查站监控录象显示,在某时段内, 有 1000 辆汽车通过该站,现在随机抽取其中的 200 辆汽车 进行车速分析,分析的结果表示为右图的频率分布 直方图,则估计在这一时段内通过该站的汽车中速 度不小于 90km/h 的车辆数为 ( ) A.200 B.600 答案: (D) B.25 C.20 D.15 ( )

10. (宁夏 09)从单词”equation”中取 5 个不同的字母排成一排,含有“qu”(其中”qu” 相连且顺序不变)的不同排列共有( ) A.120 种 B.480 种 C.720 种 D.840 种 答案: (B )

11. (宁夏 09)下列说法正确的是





①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标 检测,这样的抽样是分层抽样 ②某地气象局预报:5 月 9 日本地降水概率为 90%,结果这天没下雨,这表明天气预报 并不科学 ③在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好
? ? ④在回归直线方程 y ? 0 .1 x ? 10 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量 y 增加

0.1 个单位 A.①② 答案: B ) ( B.③④ C.①③ D.②④

12.如图所示,墙上挂有边长为 a 的正方形木板,它的四个角的空白部分都是以正方形的顶 点为圆心,半径为
a 2

的圆孤,某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板上每

个点的可能性都一样,则它击中阴影部分的概率是( ) A.1C.1?
8

?
4

B.

?
4

a

D.与 a 的取值有关
开始 S=0,n=2,i=1 ① 是

答案: A ) (

二.填空题 1. (宁夏 09) .已知函数 f ( x ) ? ? x ? ax - b .若 a,b
2

否 S=S+ ② i=i+1
1 n 都是从区间[0,4]任取的一个数,

则 f(1)>0 成立的概率是____. 9 答案: ( ) 32

输出 S

2. (宁夏 09)用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生随机地 结束 从 1~160 编号,按编号顺序平均分成 20 组(1~8 号,9~16 号,…,153~160 号) , 若第 16 组抽出的号码为 126,则第 1 组中用抽签的方法确定的号码是___________. 答案: ( ) 3. (宁夏 09)提示:不妨设在第 1 组中随机抽到的号码为 x,则在第 16 组中应抽出的号码 为 120+x.设第 1 组抽出的号码为 x,则第 16 组应抽出的号码是 8×15+x=126,∴x=6. 答案:6.

4. (宁夏 09)某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛,他们每场比赛得分的情况用如图所 示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员比赛得分 的中位数分别是 答案: (19、13 )
7 5 3

甲 9 7 4 8 9 6 2 1 0 1 2 3 4 7 1 2 1 0

乙 8 1 0 0 5 3

三.解答题 1. (宁夏 09) (本小题满分 12 分)

某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将测试结果按如 下方式分成五组:每一组 ?13 ,14 ) ;第二组 ?14 ,15 ) ……第五组 ?17 ,18 ? .下图是按上述分组 方法得到的频率分布直方图. (I)若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒 认为良好,求该班在这次百米测试中 成绩良好的人数; (II)设 m 、 n 表示该班某两位同学的百米 测试成绩,且已知 m , n ? ?13 ,14 ) ? ?17 ,18 ? . 求事件“ m ? n ? 1 ”的概率.
0.16 0.38 0.32 频率 组距

0.08 0.06

O

13

14

15

16

17

18



答案:解: (1)由直方图知,成绩在 ?14 , 16 ? 内的人数为: 50 ? 0 .16 ? 50 ? 0 .38 ? 27 (人) 所以该班成绩良好的人数为 27 人. (2)由直方图知,成绩在 ?13 ,14 ? 的人数为 50 ? 0 .06 ? 3 人, 设为 x 、 y 、 z ;成绩在 ?17 ,18 ? 的人数为 50 ? 0 .08 ? 4 人,设为 A 、 B 、 C 、 D . 若 m , n ? ?13 ,14 ) 时,有 xy , xz , yz 3 种情况; 若 m , n ? ?17 ,18 ? 时,有 AB , AC , AD , BC , BD , CD 6 种情况; 若 m , n 分别在 ?13 ,14 ? 和 ?17 ,18 ? 内时, A x y z xA yA zA B xB yB zB C xC yC zC D xD yD zD

19题 图

共有 12 种情况. 所以基本事件总数为 21 种,事件“ m ? n ? 1 ”所包含的基本事件个数有 12 种.

∴P( m ? n ? 1 )=

12 21

?

4 7

2. (宁夏 09) (本小题满分 12 分) 设 AB=6,在线段 AB 上任取两点(端点 A、B 除外) ,将线段 AB 分成了三条线段, (1)若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构成三角形的概率; (2)若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率. 答案:解(1)若分成的三条线段的长度均为正整数,则三条线段的长度的所有可能为:
1, 1, 4 ;1, 2, 3 , 2, 2, 2 共 3 种情况,其中只有三条线段为 2, 2, 2 时能构成三角形,则
P? 1 3 .…………………………4 分

y _ 6 _ D _ F _ E _ O _ 3 _ A _ 6 _ x _

构成三角形的概率

(2)设其中两条线段长度分别为 x , y ,则第三条线段长 度为 6 ? x ? y ,则全部结果所构成的区域为:
0 ? x ? 6,

B _ 3 _

0 ? y ? 6 , 0 ? 6 ? x ? y ? 6 ,即为 0 ? x ? 6 , 0 ? y ? 6 , 0 ? x ? y ? 6 ,所表示的平面区域为三角形 OAB ;……6 分
?x ? y ? 6 ? x ? y ? ?x ? 6 ? x ? y ? y ?y ? 6 ? x ? y ? x 若三条线段 x , y , 6 ? x ? y 能构成三角形,则还要满足 ? ,即为 ?x ? y ? 3 ? ?y ? 3 ?x ? 3 ? ,所表示的平面区域为三角形 DEF ,……………………………………9 分

P?

S ? DEF S ? AOB

?

1 4

由几何概型知,所求的概率为

.……………………12 分

3. (宁夏 09) (本小题满分 12 分) 某校从高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,其成绩(均为整数)的频 率分布直方图如图所示: (Ⅰ)估计这次考试的及格率( 60 分及以上为及格)和平均分; (Ⅱ)从成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率.
频率 组距 答案:本小题满分 12 分) 0.030 (Ⅰ)依题意,60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组,

频率和为 ( 0 .020 ? 0 .030 ? 0 .025 ? 0 .005 ) ? 10 ? 0 .80 ,
0.020 0.015 0.010

0.025

所以,抽样学生成绩的合格率是 80%......................................3 分 利用组中值估算抽样学生的平均分:
45 ? f1 ? 55 ? f 2 ? 65 ? f 3 ? 75 ? f 4 ? 85 ? f 5 ? 95 ? f 6 ………………….8 分
? 45 ? 0 .05 ? 55 ? 0 .15 ? 65 ? 0 .2 ? 75 ? 0 .3 ? 85 ? 0 .25 ? 95 ? 0 .05 ? 72 .

估计这次考试的平均分是 72 分………………………………………….9 分 (Ⅱ)[70, 80) ,[80, 90) ,[90, 100] ” 的人数是 18 ,15 ,3 .所以从成绩是 70 分以上 (包 括 70 分)的学生中选两人,他们在同一分数段的概率
P? C 18 ? C 15 ? C 3
2 2 2

C

2 36

?

87 210

……………………………………………………12 分

4. (宁夏 09) (本小题满分 12 分) 某校从高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,其成绩(均为整数)的频率分 布直方图如图所示: (Ⅰ)估计这次考试的平均分; (Ⅱ) 假设在[90,100]段的学生的成绩都不相同,且都在 94 分以上,现用简单随机抽样 方法,从 95 ,96 ,97 ,98 ,99 ,100 这 6 个数中任取 2 个数,求这 2 个数恰好是两个学生 的成绩的概率.
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 分数 0 40 50 60 70 80 90 100 频率 组距

答案: (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)利用组中值估算抽样学生的平均分:
45 ? f1 ? 55 ? f 2 ? 65 ? f 3 ? 75 ? f 4 ? 85 ? f 5 ? 95 ? f 6 ………………….3 分
? 45 ? 0 .05 ? 55 ? 0 .15 ? 65 ? 0 .2 ? 75 ? 0 .3 ? 85 ? 0 .25 ? 95 ? 0 .05 ? 72 .

估计这次考试的平均分是 72 分………………………………………….6 分 (Ⅱ)从 95 ,96 ,97 ,98 ,99 ,100 中抽取 2 个数全部可能的基本结果有:
( 95 ,96 ), ( 95 ,97 ) , ( 95 ,98 ) , ( 95 ,99 ) , ( 95 ,100 ) , ( 96 ,97 ) , ( 96 ,98 ) , ( 96 ,99 ) ,

( 96 ,100 ) , ( 97 ,98 ) , ( 97 ,99 ) , ( 97 ,100 ) , ( 98 ,99 ) , ( 98 ,100 ) , ( 99 ,100 ) .共 15 个基

本结果.………………….9 分 如果这 2 个数恰好是两个学生的成绩,则这 2 个学生在 [90, 100] 段,而 [90, 100] 的人数 是 3 人,不妨设这 3 人的成绩是 95 ,96 ,97 . 则事件 A :“ 2 个数恰好是两个学生的成绩”包括的基本结果有: ( 95 ,96 ), ( 95 ,97 ) ,
( 96 ,97 ) .

共有 3 个基本结果.………………….10 分 3 1 ? .………………….12 分 所以所求的概率为 P ( A ) ? 15 5 5. (宁夏 09)(本小题满分 12 分) 先后 2 次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a,b. (1)求直线 ax+by+5=0 与圆 x +y =1 相切的概率; (2)将 a,b,5 的值分别作为三条线段的长,求这三条线段能围成等腰三角形的概率. 答案:解: (1)先后 2 次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a,b,事件总数为 6×6=36. 2 2 ∵直线 ax+by+c=0 与圆 x +y =1 相切的充要条件是
5 a ?b
2 2
2 2

? 1 即:a +b =25,由于 a,b∈{1,2,3,4,5,6}

2

2

∴满足条件的情况只有 a=3,b=4,c=5;或 a=4,b=3,c=5 两种情况. ∴直线 ax+by+c=0 与圆 x +y =1 相切的概率是
2 2

2 36

?

1 18

(2)先后 2 次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a,b,事件总数为 6×6=36. ∵三角形的一边长为 5 ∴当 a=1 时,b=5, (1,5,5) 1种 当 a=2 时,b=5, (2,5,5) 1种 当 a=3 时,b=3,5, (3,3,5)(3,5,5) , 2种 当 a=4 时,b=4,5, (4,4,5)(4,5,5) , 2种 当 a=5 时,b=1,2,3,4,5,6, (5,1,5)(5,2,5)(5,3,5) , , , (5,4,5)(5,5,5)(5,6,5) , , 6种 当 a=6 时,b=5,6, (6,5,5)(6,6,5) , 2种 故满足条件的不同情况共有 14 种 答:三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为 14 ? 7 .
36 18


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