江苏省南通市海安县曲塘中学2016-2017学年高一数学下学期期末试卷(含解析)


江苏省南通市海安县曲塘 中学20162017学年高一(下)期末数学试卷
  一、填空题(本大题共14小题,每小题4分,共56分.) 1.某运动队有男女运动员49人,其中男运动员有28人,按男女比例用分层抽样 的方法,从全体运动员中抽出一个容量为14的样本,那么应抽取女运动员人数 是      .   2.如图,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机 撒300粒豆子,其中落在阴影区域内的豆子有200粒,则空白区域的面积约为       .

  3.已知一组数据8,9,x,10,7,6的平均数为8,那么x的值为       .   4.A,B两人下棋,A获胜的概率为30%,两人下成和棋的概率为20%,那么A不输 的概率为      .   5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 则角A=      .   ,且 ,

1

6.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则  

的值为      .

7.过点A(1,﹣1)、B(﹣1,1)且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是       .   8.函数   9.已知点 M(﹣1,3),点 N(3,2),点 P在直线y=x+1上,则当PM+PN取得最小值时,点P的坐标为      .   10.已知实数x,y满足x2+y2=3,则 的取值范围为      . 的定义域为      .

  11.已知数列{an}的前n项和   ,则a1+a2+a3+…+a10=      .

12.已知实数x,y满足

,则z=2|x﹣4|+|y﹣3|的取值范围是      

.   13.已知过点 P(1,1)的两条直线斜率均存在,且互相垂直.若这两条直线被圆O:x2+y2=4 所截得的弦长之比为   14.设集合 P={x,1},Q={y,1,2},x,y∈{1,2,3,4,5,6,7},且P?Q,在直角坐 2 ,则这两条直线的斜率之和为      .

标平面内,从所有满足这些条件的有序实数对(x,y)所表示的点中任取一个 ,若该点落在圆x2+y2=R2(R2∈Z)内(不包括边界)的概率为 ,则满足要求的 R2的集合为      .     二、解答题(本大题共6小题,共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 15.已知甲、乙两人分别位于图中的M、N两点,每隔1分钟,甲、乙两人分别向 东南西北四个方向的其中一个方向行走1格,且甲向四个方向行走的概率是相等 的,乙向东、向西行走的概率都是 ,向北行走的概率是 ,甲、乙分别向某个 方向行走的事件记为A、B. (1)分别求出甲、乙向南行走的概率; (2)求两人经过1分钟相遇的概率. (已知事件A、B同时发生的概率P(AB)=P(A)?P(B))

  16.某市为了了解本地高中学生的汉字书写水平,在全市范围内随机抽取了近 千名学生参加汉字听写考试,将所得数据整理后,绘制出频率分布直方图如图 所示,其中样本数据分组区间为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90 ),[90,100]. (1)试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩; 3

(2)如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学,求这名同学考试成绩在8 0分以上的频率; (3)若在80分以上的学生中选出40名学生,其中男生不少于17人,女生不少于 18人,求这批学生中男生人数不少于女生的概率.

  17.在△ABC中,角 A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 (1)当 ,且△ABC的面积为 时,求a的值; .

(2)当  

时,求sin( B﹣A)的值.

18.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1,圆O2均与x轴相切,且圆O1,O2都在射 线y=mx(m>0,x>0)上. (1)若O1的坐标为(3,1),过直线x﹣y+2=0上的一点P作圆O1的切线,切点 分别为A,B两点,求PA长度的最小值; (2)若圆O1,圆O2的半径之积为2,Q(2,2)是两圆的一个公共点,求两圆的 另一条公切线的方程.   19.已知数列{an}的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,公差与公比均为2 ,并且a2+a4=a1+a5,a7+a9=a8. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求使得am?am+1?am+2=am+am+1+am+2成立的所有正整数m的值. 4

  2)设实数x,y满足不等式组 ,并求当a>0时,z=y﹣ax的最大值; (2)若关于x的不等式组 对任意n∈N*恒成立,求 ,作出不等式组表示的平面区域

所有这样的解x构成的集合.

   

5

江苏省南通市海安县曲塘中学2016-2017学年高一(下)期末数学试卷 参考答案与试题解析   一、填空题(本大题共14小题,每小题4分,共56分.) 1.某运动队有男女运动员49人,其中男运动员有28人,按男女比例用分层抽样 的方法,从全体运动员中抽出一个容量为14的样本,那么应抽取女运动员人数 是 6 .

考点:分层抽样方法. 专题:概率与统计. 分析:根据分层抽样的定义和性质进行求解即可. 解答: 解:由题意知女运动员有49﹣28=21人,

由分层抽样的定义可知,从全体运动员中抽出一个容量为14的样本,那么应抽 取女运动员人数是 故答案为:6 点评: 本题主要考查分层抽样的应用,根据条件建立比例关系是解决本题的关 键.   2.如图,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机 撒300粒豆子,其中落在阴影区域内的豆子有200粒,则空白区域的面积约为   . 人,

6

考点:模拟方法估计概率. 专题:计算题;概率与统计. 分析: 根据几何概型的意义进行模拟试验,计算不规则图形的面积,关键是要 根据几何概型的计算公式,列出豆子落在阴影区域内的概率与阴影部分面积及 正方形面积之间的关系. 解答: 解:由题意,设空白区域的面积为S,则1﹣ = ,

∴S= .

故答案为: . 点评: 利用几何概型的意义进行模拟试验,估算不规则图形面积的大小,关键 是要根据几何概型的计算公式,探究不规则图形面积与已知的规则图形的面积 之间的关系,及它们与模拟试验产生的概率(或频数)之间的关系,并由此列 出方程,解方程即可得到答案.   3.已知一组数据8,9,x,10,7,6的平均数为8,那么x的值为 8 .

考点:众数、中位数、平均数. 专题:概率与统计. 分析:根据平均数的公式进行求解即可. 解答: 解:∵数据8,9,x,10,7,6的平均数为8,

∴8+9+x+10+7+6=8×6=48, 解得x=8, 故答案为:8 7

点评:本题主要考查平均数的计算和应用,比较基础.   4.A,B两人下棋,A获胜的概率为30%,两人下成和棋的概率为20%,那么A不输 的概率为 0.5 .

考点:互斥事件的概率加法公式. 专题:概率与统计. 分析:利用互斥事件的概率加法公式即可得出. 解答: 解:∵A不输与A、B两人下成和棋是互斥事件.

∴根据互斥事件的概率计算公式可知:A不输的概率P=0.2+0.3=0.5. 故答案为:O.5. 点评: 此题主要考查了概率的意义,正确理解互斥事件及其概率加法公式是解 题的关键.   5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 ,且 ,

则角A= 

 .

考点:正弦定理. 专题:解三角形. 分析: 根据正弦定理和两角差的正弦公式化简式子,根据内角的范围判断A与B 的关系,结合条件和内角和定理求出A的值. 解答: 解:由题意得 ,则acosB=bcosA,

由正弦定理得,sinAcosB=cosBcosA,则sin(A﹣B)=0, 8

又A、B∈(0,π),则A﹣B∈(﹣π,π), 所以A﹣B=0,即A=B, 因为 ,所以A=B= ,

故答案为: 点评:



本题考查正弦定理,两角差的正弦公式,注意内角的范围,属于中档题 .   6.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则 的值为 3 .

考点:等比数列的前n项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:利用等比数列的通项、求和公式代入计算,化简即得结论.

解答:

解:

=

=

?

=1+q,

∵q=2, ∴ =1+2=3,

故答案为:3. 点评:本题考查数列的前n项和,注意解题方法的积累,属于基础题.   7.过点A(1,﹣1)、B(﹣1,1)且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是  (x﹣1)2+(y﹣1)2=4 .

9

考点:圆的标准方程. 专题:计算题. 分析: 先求AB的中垂线方程,它和直线x+y﹣2=0的交点是圆心坐标,再求半径 ,可得方程. 解答: 解:圆心一定在AB的中垂线上,AB的中垂线方程是y=x,所以 ,圆心(1,1); 圆心到A的距离就是半径: :(x﹣1)2+(y﹣1)2=4. 故答案为:(x﹣1)2+(y﹣1)2=4. 点评: 本题解答灵活,求出圆心与半径是解题的关键,本题考查了求圆的方程 的方法.是基础题目.   8.函数 的定义域为 ( , ) . =2,所以所求圆的方程为

考点:函数的定义域及其求法. 专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析:根据函数的解析式,列出不等式组 解答: ∴ 解:∵函数 , ,求出解集即可. ,





10

解得





<x<



∴f(x)的定义域为



故答案为:( 点评:



).

本题考查了求函数定义域的应用问题,也考查了不等式的解法与应用问 题,是基础题目.   9.已知点 M(﹣1,3),点 N(3,2),点 P在直线y=x+1上,则当PM+PN取得最小值时,点P的坐标为 ( , ) .

考点:点到直线的距离公式. 专题:数形结合;直线与圆. 分析: 根据图形,得出点

M、N在直线y=x+1的两侧,当PM+PN取得最小值时,点P是直线MN与y=x+1的交点 ; 求出交点坐标即可. 解答: 解:∵点 M(﹣1,3),点 N(3,2)在直线y=x+1的两侧,

∴当PM+PN取得最小值时,点P是直线MN与y=x+1的交点; 如图所示, 又直线MN的方程为 即x+4y=11; 11 = ,

∴两方程联立



解得



∴P的坐标为( ,

).

故答案为:( ,

).

点评: 本题考查了直线方程的应用问题,也考查了数形结合的解题思想,是基 础题目.   10.已知实数x,y满足x2+y2=3,则 的取值范围为 [﹣ , ] .

考点:直线与圆的位置关系;基本不等式. 专题:直线与圆.

12

分析: 画出满足条件的平面区域,根据 的几何意义结合图象求出其范围

即可. 解答: 解:画出满足条件的平面区域,如图示:

, 而 的几何意义表示过A(2 ,0)与圆上的点的直线的斜率,

显然直线与圆在上方与圆相切时,斜率最小,在下方与圆相切时,斜率最大, 由OA=2 ,OB= ,得∠OAB=30°,∴直线AB的斜率是﹣ ,

同理可求:直线在圆的下方时即蓝色直线的斜率是:

故答案为: 点评: 本题考查了



的几何意义,考查数形结合思想,考查直线斜率公式

,是一道基础题.   11.已知数列{an}的前n项和 ,则a1+a2+a3+…+a10= 61 .

13

考点:数列的求和;数列的概念及简单表示法. 专题:等差数列与等比数列. 分析:根据数列的前n项和公式,令n=10代入即可得到结论. 解答: 解:∵数列{an}的前n项和 ,

∴a1+a2+a3+…+a10=S10=102﹣4×10+1=100﹣40+1=61, 故答案为:61 点评:本题考查了数列的前n项和的求解,比较基础.  

12.已知实数x,y满足

,则z=2|x﹣4|+|y﹣3|的取值范围是 

[3,10] .

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义进行求解即可 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图:

则x<4,y≤3, 则z=2|x﹣4|+|y﹣3|=11﹣2x﹣y, 即y=11﹣2x﹣z, 平移直线y=﹣2x+11﹣z, 由图象知当直线经过点B(4,0)时,直线截距最小,此时z最大,最大为z=11 ﹣8﹣0=3, 当直线经过点A时,直线截距最大,此时z最小, 由 即3≤z≤10, 故答案为:[3,10] 14 ,解得A(0,1),最小值为z=11﹣0﹣1=10,

点评: 本题主要考查线性规划的应用,根据平面区域确定x,y的取值范围,去 掉绝对值是解决本题的关键.   13.已知过点 P(1,1)的两条直线斜率均存在,且互相垂直.若这两条直线被圆O:x2+y2=4 所截得的弦长之比为 ,则这两条直线的斜率之和为  或  .

考点:直线与圆相交的性质. 专题:综合题;直线与圆. 分析: 设这两条直线的斜率分别为k、﹣ ,利用点斜式求得两条弦所在的直线

方程,求出各自的弦心距,再结合弦长之比为 ,求出k的值,即可求得方程的两根之和. 解答:

,得到关于k的一元二次方程

解:设这两条直线的斜率分别为k、﹣ ,

15

则这两条直线的方程分别为m:y﹣1=k(x﹣1),n:y﹣1=﹣ (x﹣1), 即m:kx﹣y+1﹣k=0,n:x+ky﹣1﹣k=0. 圆心O到直线m的距离为d= ,可得弦长为2 .

圆心O到直线n的距离为d′=

,可得弦长为2



再由弦长之比为

,即可得3k2+10k+3=0.

求得k=﹣3,或k=﹣ ,

∴当k=﹣3时,这两条直线的斜率之和为

;当k=﹣ 时,两条直线的斜率之

和为 .

故答案为: 点评:

或 .

本题主要考查直线和圆相交的性质,点到直线的距离公式,韦达定理, 弦长公式,属于中档题.   14.设集合 P={x,1},Q={y,1,2},x,y∈{1,2,3,4,5,6,7},且P?Q,在直角坐 标平面内,从所有满足这些条件的有序实数对(x,y)所表示的点中任取一个 ,若该点落在圆x2+y2=R2(R2∈Z)内(不包括边界)的概率为 ,则满足要求的 R2的集合为 {30,31,32} .

16

考点:几何概型. 专题:概率与统计. 分析: 根据两个集合之间的关系,写出x,y可能的取值,也就是得到试验发生 包含的事件数,根据所给的概率的值,求出满足条件的事件数,把所有点的坐 标的平方和比较,选出满足要求的R2. 解答: 解:∵集合P={x,1},Q={y,1,2},x,y∈{1,2,3,4,5,6,7},P ?Q, ∴x=2,y=3,4,5,6,7, 这样在坐标系中共组成5个点, 当x=y时,也满足条件共有5个, ∴所有的事件数是5+5=10, ∵点落在圆x2+y2=R2内(不含边界)的概率恰为 , ∴有4个点落在圆内, (2,3)(2,4)(3,3)(2,5)是落在圆内的点, ∴32≥R2>29,R2∈Z而落在圆内的点不能多于4个,所以满足要求的R2的集合为 :{30,31,32} 故答案为:{30,31,32}. 点评: 本题考查等可能事件的概率和集合间的关系,本题解题的关键是看出x, y的可能的取值,注意列举时做到不重不漏.属于中档题   二、解答题(本大题共6小题,共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 15.已知甲、乙两人分别位于图中的M、N两点,每隔1分钟,甲、乙两人分别向 东南西北四个方向的其中一个方向行走1格,且甲向四个方向行走的概率是相等 17

的,乙向东、向西行走的概率都是 ,向北行走的概率是 ,甲、乙分别向某个 方向行走的事件记为A、B. (1)分别求出甲、乙向南行走的概率; (2)求两人经过1分钟相遇的概率. (已知事件A、B同时发生的概率P(AB)=P(A)?P(B))

考点:相互独立事件的概率乘法公式;互斥事件的概率加法公式. 专题:概率与统计. 分析: (1)根据甲向四个方向行走的概率是相等的,故甲向南行走的概率;用 1减去乙向东、向南、向北行走的概率,即得乙向南行走的概率. (2)利用相互独立事件的概率乘法公式求得在点E相遇的概率和在点F相遇的概 率,相加即得所求. 解答: 解:(1)由于甲向四个方向行走的概率是相等的,故甲向南行走的概率 为 ;

乙向南行走的概率为1﹣ ﹣ ﹣ =



18

(2)求两人经过1分钟相遇的地点是图中点E或点 F,在点E相遇的概率为 = ,在点F相遇的概率为 = ,

故两人经过1分钟相遇的概率为 点评:

+

=



本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用,体现了分类讨论的 数学思想,属于基础题.   16.某市为了了解本地高中学生的汉字书写水平,在全市范围内随机抽取了近 千名学生参加汉字听写考试,将所得数据整理后,绘制出频率分布直方图如图 所示,其中样本数据分组区间为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90 ),[90,100]. (1)试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩; (2)如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学,求这名同学考试成绩在8 0分以上的频率; (3)若在80分以上的学生中选出40名学生,其中男生不少于17人,女生不少于 18人,求这批学生中男生人数不少于女生的概率.

考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 专题:概率与统计. 分析: (1)根据频率分布直方图,计算数据的平均数即可; 19

(2)计算被抽到的同学考试成绩在80(分)以上的概率; (3)求出所有的基本事件,再找到满足条件的基本事件,根据概率公式计算即 可. 解答: 解:(1)估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩:

0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.15×95=76.5; (2)设被抽到的这名同学考试成绩在80(分)以上为事件A. P(A)=0.025×10+0.015×10=0.4; ∴被抽到的这名同学考试成绩在80(分)以上的概率为0.4; (3)设男生人数为x,则女生人数为40﹣x,所以 ,即17≤x≤22,

所以共有(17,13),(18,22),(19,21),(20,20),(21,19), (22,18),6个等可能事件, 则男生人数不少于女生有(20,20),(21,19),(22,18),共3个, 故这批学生中男生人数不少于女生的概率P= 点评: 本题考查了频率布直方图应用问题,以及古典概型的概率问题,属于基 础题.   17.在△ABC中,角 A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 (1)当 ,且△ABC的面积为 时,求a的值; .

(2)当

时,求sin( B﹣A)的值.

考点:余弦定理;正弦定理. 专题:计算题;解三角形. 分析: (1)由已知结合三角形面积公式即可求得a的值. 20

(2)由已知及余弦定理可得c= osA= = 解答: 解:(1)∵ ∴S= ∴解得:a=2…4分 (2)∵ , , ,

,可得b2=a2+c2,由勾股定理可得B=90°,c

,利用诱导公式即可求得sin( B﹣A)的值. (本题满分为10分) ,△ABC的面积为 , ,

∴由余弦定理可得:c= ∴b2=a2+c2,可得B=90°, ∴cosA= = ,

∴sin( B﹣A)=sin(90°﹣A)=cosA= 点评:

…10分

本题主要考查了三角形面积公式,余弦定理,勾股定理,诱导公式的应 用,属于基本知识的考查.   18.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1,圆O2均与x轴相切,且圆O1,O2都在射 线y=mx(m>0,x>0)上. (1)若O1的坐标为(3,1),过直线x﹣y+2=0上的一点P作圆O1的切线,切点 分别为A,B两点,求PA长度的最小值; (2)若圆O1,圆O2的半径之积为2,Q(2,2)是两圆的一个公共点,求两圆的 另一条公切线的方程.

考点:圆的切线方程. 21

专题:综合题;直线与圆. 分析: (1)利用PA= ,可得O1P取最小值时,PA有最小值, ,r1),O2( ,r2),确定r1、r2是r2﹣4m

(2)圆O1,O2的坐标可设为O1(

(m+1)r1+8m2=0的两个根,利用圆O1,圆O2的半径之积为2,求出m,即可求两 圆的另一条公切线的方程. 解答: 解:(1)由题意,圆O1的半径r=1,所以PA= ,

所以O1P取最小值时,PA有最小值, O1到直线x﹣y+2=0的距离d= 所以PA长度的最小值为 ; =2 ,所以O1P最小值为2 ,

(2)因为圆O1,O2都在射线y=mx(m>0,x>0)上, 所以圆O1,O2的坐标可设为O1( ,r1),O2( ,r2),

因为Q(2,2)是两圆的一个公共点, 所以(2﹣ )2+(2﹣r1)2=r12,(2﹣ )2+(2﹣r2)2=r22,

所以r12﹣4m(m+1)r1+8m2=0,r22﹣4m(m+1)r2+8m2=0, 所以r1、r2是r2﹣4m(m+1)r1+8m2=0的两个根, 因为r1r2=8m2=2(m>0),所以m= , 因为两圆的另一条公切线的倾斜角是直线OO1的倾斜角的两倍, 所以两圆的另一条公切线的斜率为 = ,

所以两圆的另一条公切线的方程y= x.

22

点评: 本题考查直线与圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考查学生分析解 决问题的能力,属于中档题.   19.已知数列{an}的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,公差与公比均为2 ,并且a2+a4=a1+a5,a7+a9=a8. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求使得am?am+1?am+2=am+am+1+am+2成立的所有正整数m的值.

考点:等比数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)根据已知条件,求解该数列的前两项,可得数列{an}的通项公式; (2)根据所给的等式确定m的值. 解答: 解:(1)∵数列{an}的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,公差与 公比均为2, ∴a3=a1+2,a5=a1+4,a7=a1+6, a4=2a2,a6=4a2, ∵a2+a4=a1+a5,a4+a7=a6+a3 ∴a2+2a2=a1+4+a1,2a2+6+a1=4a2+2+a1 ∴a1=1,a2=2, ∴an= ;

(2)∵am?am+1?am+2=am+am+1+am+2成立, ∴由上面可以知数列{an}为:1,2,3,4,5,8,7,16,9,… 当m=1时等式成立,即 1+2+3=﹣6=1×2×3;等式成立. 当m=2时等式成立,即2×3×4≠2+3+4;等式不成立. 23

当m=3、4时等式不成立; 当m≥5时, ∵am?am+1?am+2为偶数,am+am+1+am+2为奇数, ∴可得m取其它值时,不成立, ∴m=1时成立. 点评: 本题重点考查了等差数列的概念和基本性质、等比数列的概念和基本性 质等知识,属于中档题.解题关键是准确应用等差和等比数列的基本性质求解 问题.   2)设实数x,y满足不等式组 ,并求当a>0时,z=y﹣ax的最大值; (2)若关于x的不等式组 对任意n∈N*恒成立,求 ,作出不等式组表示的平面区域

所有这样的解x构成的集合.

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用.

24

分析: (1)作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,得到直 线y=ax+z斜率的变化,从而求出a的取值. (2)将 的分子分母同除2n,结合“对勾函数“的单调性,求出

=

∈(0, ],进而将恒成立问题转化为最值问题后,

可得

,解方程可得答案.

解答:

解:(1)不等式组等价为

,即



作出不等式组对应的平面区域, 由z=y﹣ax得y=ax+z,直线与y轴交点的纵坐标为z, 平移直线y=ax+z, 由图象可知在点B(0,2)处,zmax=2, 当0<a≤2时,在点B处,直线y=ax+z的截距最大,此时z最大,



,解得

,即B( ,

),

zmin=

﹣ a.

当a>2时,在点A(0,4)处,直线y=ax+z的截距最大,此时z最大, zmax=4. (2)若 对任意n∈N*恒成立,



对任意n∈N*恒成立,

25



=

∈(0, ]





解得x=﹣1或x=

故所有这样的解x的集合是



点评: 本题主要考查线性规划以及不等式恒成立问题,利用目标函数的几何意 义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.  

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