1.5.2 第2课时 平面与平面平行的性质(北师大版)


第2课时 平面与平面平行的性质

回想一下,平面与平面的判定定理是什么?
平面与平面的判定定理解决了平面与平面平行的条 件问题,反之,在平面与平面平行的条件下,可以得到

什么结论呢?

探究1:如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另

一个平面有什么位置关系?

a

?

?
结论:如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另

一个平面平行.

探究2:如果两个平面平行,两个平面内的直线有什么位置 关系?

结论:如果两个平面平行,那么两 个平面内的直线要么是异面直线,

要么是平行直线.

探究3:若 ? / / ? ,直线l与平面α 相交,那么直线l与平 面β 的位置关系如何?

l α β
结论:相交

探究4:若α ∥β ,平面α 、β 分别与平面γ 相交于直线a、 b,那么直线a、b的位置关系如何?为什么?

γ
β α b a

平行.
由于两条交线a,b分别 在两个平行平面α ,β 内,所以a与b不相交. 又因为a,b都在同一平

面γ 内,由平行线的定
义可知a∥b.

探究5:综上分析,在平面与平面平行的条件下可以得 到什么结论?并用文字语言表述之.

γ β α
定理5.4

b

a

如果两个平行平面同时和第三个平面相交,

那么它们的交线平行.

上述定理通常称为平面与平面平行的性质定理,该

定理用符号语言可怎样表述?

γ β α b

a

? / /? ? a//b ? ? ? ? a, ? ? ? ? b

?

想一想:平面与平面平行的性质定理可简述为“面面平行, 则线线平行”,在实际应用中它有何功能作用?

γ
β α b

a

功能作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行.

平面和平面平行的判定定理: 直线与直线平行

平面与平面平行
平面和平面平行的性质定理

结论: 1、若两个平面互相平行,则其中一个平面中的直线必平 行于另一个平面;

2、平行于同一平面的两平面平行;
3、过平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行; 4、夹在两平行平面间的平行线段相等.

例1. 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等. 如图,α //β ,AB//CD,且A∈α , C∈α ,B∈β ,D∈β . 求证:AB=CD. 证明 因为AB//CD,所以过AB,CD可

作平面γ,且平面γ与平面α和β
分别相交于AC和BD.

因为α//β,所以BD//AC.因此,四边形ABDC是平行四边
形.所以AB=CD.

例2

如图,平面α ,β ,γ 两两平行,且直线l与α ,β ,

γ 分别交于点A,B,C,直线m与α ,β ,γ 分别交于点 D,E,F,AB=6,BC=2,EF=3.求DE的长.

解 当直线m与l共面时,该平面与α,β,γ分别交于直 线AD,BE,CF,因为α,β,γ两两平行,所以AD∥BE
AB DE = . BC EF

∥CF,故

当直线m与l不共面时,连接DC.
设DC与β相交于点G,则平面ACD与α,β分别相交于直 线AD,BG,平面DCF与β,γ分别交于直线GE,CF. 因为α,β,γ两两平行,所以BG∥ AD,GE∥CF. 因此 所以
AB DG DG DE = , = . BC GC GC EF

AB DE = . 又因为AB=6,BC=2,EF=3,所以,DE=9. BC EF

1、设平面α ∥平面β ,A∈α ,B∈β ,C是AB的中点,当 A、B分别在α 、β 内运动时,那么所有的动点C( D ) A.不共面;

B.当且仅当A、B在两条相交直线上移动时才共面;
C.当且仅当A、B在两条给定的平行直线上移动时才共面; D.不论A、B如何移动都共面.

2.过长方体ABCD-A1B1C1D1的任意两条棱的中点作直线, 其中能够与平面ACC1A1平行的直线有________ 条. 12

【解析】如图,与AC平行的直线
有4条,与AA1平行的直线有4条, 连接MN,则MN∥面ACC1A1,这样 的直线也有4条(包括MN).

3.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、M、F为棱 B1C1,C1D1和B1B的中点,试过E、M作一平面

与平面A1FC平行.
解 如图,取CC1中点G,连接B1G,取C1G 中点H,连接EH.则EH∥B1G∥FC. 同理,连接MH.则MH∥A1F. 连接EM,

又MH∩EH=H,
∴面EMH∥面A1FC, 即面EHM为所求平面.

4.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,点M在 CD′上,试判断直线B′M与平面A′BD的 位置关系,并说明理由.
C′
D′ A′ B′

自己完成证明过程
D

M C
A

B

5. 如图,设平面α∥平面β,AB、CD是两异 面直线,M、N分别是AB、CD的中点,且A 、C∈α,B、D∈β. 求证:MN∥α. 证明:连接BC,取BC的中
点E,分别连接ME、NE, 则ME∥AC, ∴ ME∥平面α, 又 NE∥BD, ∴ NE∥β, 又ME∩NE=E, ∴平面MEN∥平面α, ∵ MN包含于平面MEN, ∴MN∥α.
? M E A C

N D

?

B

6. 已知: 三个平行平面 ? , ? , ?与两条直线 l, m 分别相并于点A, B, C和点D, E , F . AB DE 求证 : = . BC EF

证明: 过A作直线AH//DF, G ? ? , H ?? . 连结AD,GE,HF(如图). ? α // β // γ ,
∴ BG // CH , AD // GE // HF . AB AG AG DE ∴ = , = . BC GH GH EF AB DE ∴ = . BC EF
G

H

l

m

7、 如图:a∥α,A是α另一侧的点,B、C、D

是a上的点 ,线段AB、AC、AD交于E、F、G
点,若BD=4,CF=4,AF=5,求EG.
B C D

a

α

E A

F G

8、已知α∥β,AB交α、β于A、B,CD 交α、β于C、D,AB∩CD=S,AS=8,BS=9

,CD=34,求SC。
A
S

S

C

α

A

C

α

β

D

B

β

B

D

面面平行的判定定理

线面平行

面面平行

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,
那么这两个平面平行.

面面平行的性质定理

面面平行

线线平行

如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们 的交线平行.

不能说凡是合理的都是美的,但凡是美的确 实都是合理的。


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