湖北省武汉市2015届高三上学期9月调考数学试卷(文科)


湖北省武汉市 2015 届高三上学期 9 月调考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中元素的个数 为() A.3 B. 4 C. 5 D.6

2. (5 分) A.4﹣3i

=() B.﹣4+3i C.4+3i D.﹣4﹣3i

3. (5 分)已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 =3, =3.5,则由该观测 数据算得的线性回归方程可能是() A. =0.4x+2.3 B. =2x﹣2.4 C. =﹣2x+9.5 D. =﹣0.3x+4.4

4. (5 分)设 x∈R,则“x> ”是“2x +x﹣1>0”的() A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2

5. (5 分)已知向量 、 的夹角为 45°,且| |=1,|2 ﹣ |= A.3 B. 2 C.

,则| |=() D.1

6. (5 分)如图是计算某年级 500 名学生期末考试(满分为 100 分)及格率 q 的程序框图,则 图中空白框内应填入()

A.q=

B.q=

C.q=

D.q=

7. (5 分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O﹣xyz 中的坐标分别是(1,0,1) , (1,1, 0) , (0,1,1) , (0,0,0) ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得 到正视图可以为()

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)小王从甲地到乙地的往返时速分别为 a 和 b(a<b) ,其全程的平均时速为 v,则() A.a<v< B.v= C. <v< D.v=

9. (5 分)已知椭圆 C:

+

=1,M,N 是坐标平面内的两点,且 M 与 C 的焦点不重合.若

M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=() A.4 B. 8 C.12 D.16 10. (5 分)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独 立,且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮,那么这 两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时候相差不超过 2 秒的概率是() A. B. C. D.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11. (5 分)一组样本数据的茎叶图如图所示,则这组数据的平均数等于.

12. (5 分) 已知 f (x) , g (x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数, 且f (x) ﹣g (x) =x +x +1, 则 f(1)+g(1)=. 13. (5 分)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥 A﹣ 3 BB1D1D 的体积为 cm .

3

2

14. (5 分)在△ ABC 中,AC=

,BC=2,B=60°,则 BC 边上的高等于.

15. (5 分)函数 f(x)=

的零点个数是.

16. (5 分)如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型:数字 1 出现在第 1 行;数 字 2,3 出现在第 2 行;数字 6,5,4(从左至右)出现在第 3 行;数字 7,8,9,10 出现在 第 4 行;…;依此类推,则 (Ⅰ)按网络运作顺序第 n 行第 1 个数(如第 2 行第 1 个数为 2,第 3 行第 1 个数为 4,…) 是; (Ⅱ)第 63 行从左至右的第 3 个数是.

17. (5 分)定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离,已知 2 2 2 曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x +(y+4) =2 到直线 l:y=x 的距离, 则实数 a=.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (12 分)已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ . (Ⅰ)若 sinα= ,且 <α<π,求 f(α)的值;

(Ⅱ)当 f(x)取得最小值时,求自变量 x 的集合. 19. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn﹣1,其中 λ 为常数. (Ⅰ)证明:an+2﹣an=λ (Ⅱ)是否存在 λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. 20. (13 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D,E 分别是棱 BC,CC1 上 的点(点 D 不同于点 C) ,且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点.求证: (1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

21. (14 分)已知函数 f(x)=ax +bx﹣lnx(a>0,b∈R) . (Ⅰ)设 a=1,b=﹣1,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若对任意 x>0,f(x)≥f(1) .试比较 lna 与﹣2b 的大小. 22. (14 分) 如图, 动点 M 到两定点 A (﹣1, 0) 、 B (2, 0) 构成△ MAB, 且∠MBA=2∠MAB, 设动点 M 的轨迹为 C. (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y=﹣2x+m 与 y 轴交于点 P,与轨迹 C 相交于点 Q、R,且|PQ|<|PR|,求 取值范围. 的

2

湖北省武汉市 2015 届高三上学期 9 月调考数学试卷(文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中元素的个数 为() A.3 B. 4 C. 5 D.6 考点: 集合的确定性、互异性、无序性;集合中元素个数的最值. 专题: 计算题. 分析: 利用已知条件,直接求出 a+b,利用集合元素互异求出 M 中元素的个数即可. 解答: 解:因为集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B}, 所以 a+b 的值可能为:1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8, 所以 M 中元素只有:5,6,7,8.共 4 个. 故选 B. 点评: 本题考查集合中元素个数的最值,集合中元素的互异性的应用,考查计算能力.

2. (5 分) A.4﹣3i

=() B.﹣4+3i C.4+3i D.﹣4﹣3i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 要求两个复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分子和分母上进行 复数的乘法运算,最后结果要化简成最简形式. 解答: 解:复数 = =﹣4﹣3i

故选 D. 点评: 本题考查复数的代数形式的乘除运算,是一个基础题,这种题目运算量不大,解题 应用的原理也比较简单,是一个送分题目. 3. (5 分)已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 =3, =3.5,则由该观测 数据算得的线性回归方程可能是() A. =0.4x+2.3 B. =2x﹣2.4 C. =﹣2x+9.5 D. =﹣0.3x+4.4

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 变量 x 与 y 正相关,可以排除 C,D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线 方程. 解答: 解:∵变量 x 与 y 正相关, ∴可以排除 C,D; 样本平均数 =3, =3.5,代入 A 符合,B 不符合, 故选:A. 点评: 本题考查数据的回归直线方程,利用回归直线方程恒过样本中心点是关键. 4. (5 分)设 x∈R,则“x> ”是“2x +x﹣1>0”的() A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 求出二次不等式的解,然后利用充要条件的判断方法判断选项即可. 解答: 解:由 2x +x﹣1>0,可知 x<﹣1 或 x> ; 所以当“x> ”?“2x +x﹣1>0”; 但是“2x +x﹣1>0”推不出“x> ”. 所以“x> ”是“2x +x﹣1>0”的充分而不必要条件. 故选 A. 点评: 本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断,二次不等式的解法,考查计算能 力.
2 2 2 2

5. (5 分)已知向量 、 的夹角为 45°,且| |=1,|2 ﹣ |= A.3 B. 2 C.

,则| |=() D.1

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 将|2 ﹣ |= 平方,然后将夹角与| |=1 代入,得到| |的方程,解方程可得. ,

解答: 解:因为 、 的夹角为 45°,且| |=1,|2 ﹣ |= 所以 4
2

﹣4 ? +

2

=10,即| | ﹣2 (舍) ,

2

| |﹣6=0,

解得| |=3

或| |=﹣

故选 A. 点评: 本题解题的关键是将模转化为数量积,从而得到所求向量模的方程,利用到了方程 的思想. 6. (5 分)如图是计算某年级 500 名学生期末考试(满分为 100 分)及格率 q 的程序框图,则 图中空白框内应填入()

A.q=

B.q=

C.q=

D.q=

考点: 循环结构. 专题: 计算题. 分析: 通过题意与框图的作用,即可判断空白框内应填入的表达式. 解答: 解:由题意以及框图可知,计算某年级 500 名学生期末考试(满分为 100 分)及格 率 q 的程序框图, 所以输出的结果是及格率,所以图中空白框内应填入 故选 D. 点评: 本题考查循环框图的应用,考查计算能力. 7. (5 分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O﹣xyz 中的坐标分别是(1,0,1) , (1,1, 0) , (0,1,1) , (0,0,0) ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得 到正视图可以为() .

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题;作图题. 分析: 由题意画出几何体的直观图,然后判断以 zOx 平面为投影面,则得到正视图即可. 解答: 解:因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O﹣xyz 中的坐标分别是(1,0,1) , (1,1,0) , (0,1,1) , (0,0,0) ,几何体的直观图如图,是正方体的顶点为顶点的一个

正四面体,所以以 zOx 平面为投影面,则得到正视图为: 故选 A.

点评: 本题考查几何体的三视图的判断,根据题意画出几何体的直观图是解题的关键,考 查空间想象能力. 8. (5 分)小王从甲地到乙地的往返时速分别为 a 和 b(a<b) ,其全程的平均时速为 v,则() A.a<v< B.v= C. <v< D.v=

考点: 基本不等式. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设小王从甲地到乙地按时速分别为 a 和 b,行驶的路程 S,则 v= = 及 0<a<

b,利用基本不等式及作差法可比较大小 解答: 解:设小王从甲地到乙地按时速分别为 a 和 b,行驶的路程 S 则 v= =

∵0<a<b ∴a+b ∴ >0

∵v﹣a= ∴v>a

=

=

综上可得, 故选 A 点评: 本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用,比较法中的比差法在比较大小中 的应用.

9. (5 分)已知椭圆 C:

+

=1,M,N 是坐标平面内的两点,且 M 与 C 的焦点不重合.若

M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=() A.4 B. 8 C.12 D.16 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据已知条件,作出图形,MN 的中点连接椭圆的两个焦点,便会得到三角形的中位 线,根据中位线的性质及椭圆上的点到两焦点的距离和为 2a 即可求出|AN|+|BN|. 解答: 解:设 MN 的中点为 D,椭圆 C 的左右焦点分别为 F1,F2,如图,连接 DF1,DF2, ∵F1 是 MA 的中点,D 是 MN 的中点,∴F1D 是△ MAN 的中位线;



,同理



∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|) ,∵D 在椭圆上,∴根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知: |DF1|+|DF2|=4,∴|AN|+|BN|=8. 故选:B. 点评: 考查三角形的中位线,椭圆的定义:|PF1|+|PF2|=2a,a>0. 10. (5 分)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独 立,且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮,那么这 两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时候相差不超过 2 秒的概率是() A. B. C. D.

考点: 几何概型. 专题: 压轴题;概率与统计.

分析: 设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为 x,y,由题意可得 0≤x≤4,0≤y≤4,要满足条件 须|x﹣y|≤2,作出其对应的平面区域,由几何概型可得答案. 解答: 解:设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为 x,y, 由题意可得 0≤x≤4,0≤y≤4, 它们第一次闪亮的时候相差不超过 2 秒,则|x﹣y|≤2, 由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比,

由图可知所求的概率为:

=

故选 C 点评: 本题考查几何概型,涉及用一元二次方程组表示平面区域,属基础题. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11. (5 分)一组样本数据的茎叶图如图所示,则这组数据的平均数等于 23.

考点: 茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据茎叶图中的数据和平均数的定义,即可求出结果. 解答: 解:根据茎叶图,知; 这组数据的平均数是 (14+21+22+23+23+24+34)=23. 故答案为:23. 点评: 本题考查了茎叶图的应用问题,解题时应根据茎叶图中的数据,求出平均数即可, 是容易题. 12. (5 分) 已知 f (x) , g (x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数, 且f (x) ﹣g (x) =x +x +1, 则 f(1)+g(1)=1.
3 2

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 将原代数式中的 x 替换成﹣x,再结合着 f(x)和 g(x)的奇偶性可得 f(x)+g(x) , 再令 x=1 即可. 3 2 解答: 解:由 f(x)﹣g(x)=x +x +1,将所有 x 替换成﹣x,得 3 2 f(﹣x)﹣g(﹣x)=﹣x +x +1, ∵f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数, ∴f(x)=f(﹣x) ,g(﹣x)=﹣g(x) , 3 2 即 f(x)+g(x)=﹣x +x +1, 再令 x=1,得 f(1)+g(1)=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查利用函数奇偶性求值, 本题中也可以将原代数式中的 x 直接令其等于﹣1 也 可以得到计算结果,属于基础题. 13. (5 分)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥 A﹣ 3 BB1D1D 的体积为 6cm .

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离;立体几何. 分析: 过 A 作 AO⊥BD 于 O,求出 AO,然后求出几何体的体积即可. 解答: 解:过 A 作 AO⊥BD 于 O,AO 是棱锥的高,所以 AO= 所以四棱锥 A﹣BB1D1D 的体积为 V= =6. = ,

故答案为:6. 点评: 本题考查几何体的体积的求法,考查空间想象能力与计算能力. 14. (5 分)在△ ABC 中,AC=

,BC=2,B=60°,则 BC 边上的高等于



考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题;解三角形. 2 2 2 分析: 在△ ABC 中,由余弦定理可得,AC =AB +BC ﹣2AB?BCcosB 可求 AB=3,作 AD⊥BC,则在 Rt△ ABD 中,AD=AB×sinB. 解答: 解:在△ ABC 中,由余弦定理可得, 2 2 2 AC =AB +BC ﹣2AB?BCcosB, 把已知 AC= ,BC=2 B=60°代入可得,

7=AB +4﹣4AB× , 整理可得,AB ﹣2AB﹣3=0, ∴AB=3. 作 AD⊥BC 垂足为 D, Rt△ ABD 中,AD=AB×sin60°= 即 BC 边上的高为 故答案为: . . ,
2

2

点评: 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,解答本题的关键是求出 AB,属于基 础试题

15. (5 分)函数 f(x)=

的零点个数是 2.

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数零点的定义,直接解方程即可得到结论. 解答: 解:当 x≤0 时,由 f(x)=0 得 x ﹣2=0,解得 x= 或 x= (舍去) , 当 x>0 时,由 f(x)=0 得 2x﹣6+lnx=0,即 lnx=6﹣2x, 作出函数 y=lnx 和 y=6﹣2x 在同一坐标系图象,由图象可知此时两个函数只有 1 个零点, 故函数 f(x)的零点个数为 2, 故答案为:2
2

点评: 本题主要考查函数零点个数的判断,对于比较好求的函数,直接解方程 f(x)=0 即 可,对于比较复杂的函数,由利用数形结合进行求解. 16. (5 分)如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型:数字 1 出现在第 1 行;数 字 2,3 出现在第 2 行;数字 6,5,4(从左至右)出现在第 3 行;数字 7,8,9,10 出现在 第 4 行;…;依此类推,则 (Ⅰ)按网络运作顺序第 n 行第 1 个数(如第 2 行第 1 个数为 2,第 3 行第 1 个数为 4,…) 是 ;

(Ⅱ)第 63 行从左至右的第 3 个数是 2014.

考点: 归纳推理. 专题: 推理和证明. 分析: 每行的行号数和这一行的数字的个数相同,奇数行的数字从左向右依次减小,偶数 行的数字从左向右依次增大,每行中相邻的数字为连续正整数,分析前 n﹣1 行数的个数及第 n 行数的排列规律后,可得答案. 解答: 解:由题意可知:每行的行号数和这一行的数字的个数相同, 奇数行的数字从左向右依次减小,偶数行的数字从左向右依次增大, 故前 n﹣1 行共有:1+2+…+(n﹣1)= 个整数,

故第 n 行的第一个数为:

+1=

第 63 行的数字从左向右依次减小,可求出第 63 行最左边的一个数是 从左至右的第 3 个数应是 2016﹣2=2014 故答案为: (Ⅰ) ; (Ⅱ)2014

=2016,

点评: 本题考查考生阅读图表的能力,总结出规律是解决问题的关键,属基础题. 17. (5 分)定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离,已知 2 2 2 曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x +(y+4) =2 到直线 l:y=x 的距离, 则实数 a= .

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;点到直线的距离公式. 专题: 导数的概念及应用. 2 2 分析: 先根据定义求出曲线 C2:x +(y+4) =2 到直线 l:y=x 的距离,然后根据曲线 C1: 2 y=x +a 的切线与直线 y=x 平行时,该切点到直线的距离最近建立等式关系,解之即可. 2 2 解答: 解:圆 x +(y+4) =2 的圆心为(0,﹣4) ,半径为 , 圆心到直线 y=x 的距离为
2 2

=2

, ﹣ = .

∴曲线 C2:x +(y+4) =2 到直线 l:y=x 的距离为 2 2 则曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离等于 , 令 y′=2x=1 解得 x= ,故切点为( , +a) , 切线方程为 y﹣( +a)=x﹣ 即 x﹣y﹣ +a=0, 由题意可知 x﹣y﹣ +a=0 与直线 y=x 的距离为 ,



解得 a= 或﹣ .
2

当 a=﹣ 时直线 y=x 与曲线 C1:y=x +a 相交,故不符合题意,舍去. 故答案为: . 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及点到直线的距离的计算, 同时考查了分析求解的能力,属于中档题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (12 分)已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ . (Ⅰ)若 sinα= ,且 <α<π,求 f(α)的值;

(Ⅱ)当 f(x)取得最小值时,求自变量 x 的集合.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)由同角三角函数的基本关系可得 cosα 的值,代入要求的式子化简可得; (Ⅱ) 化简可得 f(x)= 的集合. 解答: 解: (Ⅰ)∵sinα= ∴cosα=﹣ =﹣ ,且 , ×(
2

sin(2x+

) ,可得当 2x+

=2kπ﹣

,k∈Z,时满足题意,变形可得 x

<α<π,

∴f(α)=cosα(sinα+cosα)﹣ =﹣ (Ⅱ)化简可得 f(x)=sinxcosx+cos x﹣ = sin2x+ = sin2x+ cos2x = sin(2x+ ) ,k∈Z,即 x=kπ﹣ ﹣



)﹣ =﹣



当 2x+

=2kπ﹣

,k∈Z 时,f(x)取得最小值



此时自变量 x 的集合为{x|x=kπ﹣

,k∈Z}

点评: 本题考查三角函数恒等变换,涉及三角函数的最值和同角三角函数的基本关系,属 基础题. 19. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn﹣1,其中 λ 为常数. (Ⅰ)证明:an+2﹣an=λ (Ⅱ)是否存在 λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. 考点: 数列递推式;等差关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)利用 anan+1=λSn﹣1,an+1an+2=λSn+1﹣1,相减即可得出; (Ⅱ)对 λ 分类讨论:λ=0 直接验证即可;λ≠0,假设存在 λ,使得{an}为等差数列,设公差为 d.可得 λ=an+2﹣an=(an+2﹣an+1)+(an+1﹣an)=2d, .得到

λSn=

,根据{an}为等差数列的充要条件是

,解得

λ 即可. 解答: (Ⅰ)证明:∵anan+1=λSn﹣1,an+1an+2=λSn+1﹣1, ∴an+1(an+2﹣an)=λan+1

∵an+1≠0, ∴an+2﹣an=λ. (Ⅱ)解:①当 λ=0 时,anan+1=﹣1,假设{an}为等差数列,设公差为 d. 则 an+2﹣an=0,∴2d=0,解得 d=0, ∴an=an+1=1, 2 ∴1 =﹣1,矛盾,因此 λ=0 时{an}不为等差数列. ②当 λ≠0 时,假设存在 λ,使得{an}为等差数列,设公差为 d. 则 λ=an+2﹣an=(an+2﹣an+1)+(an+1﹣an)=2d, ∴ ∴ ∴λSn=1+ 根据{an}为等差数列的充要条件是 此时可得 ,an=2n﹣1. . , , = ,

,解得 λ=4.

因此存在 λ=4,使得{an}为等差数列. 点评: 本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、等差数列的充 要条件等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法,属于 难题. 20. (13 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D,E 分别是棱 BC,CC1 上 的点(点 D 不同于点 C) ,且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点.求证: (1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;立体几何. 分析: (1) 根据三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, 得到 CC1⊥平面 ABC, 从而 AD⊥CC1, 结合已知条件 AD⊥DE,DE、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线,得到 AD⊥平面 BCC1B1, 从而平面 ADE⊥平面 BCC1B1;

(2)先证出等腰三角形△ A1B1C1 中,A1F⊥B1C1,再用类似(1)的方法,证出 A1F⊥平面 BCC1B1,结合 AD⊥平面 BCC1B1,得到 A1F∥AD,最后根据线面平行的判定定理,得到直 线 A1F∥平面 ADE. 解答: 解: (1)∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, ∴CC1⊥平面 ABC, ∵AD?平面 ABC, ∴AD⊥CC1 又∵AD⊥DE,DE、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线 ∴AD⊥平面 BCC1B1, ∵AD?平面 ADE ∴平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)∵△A1B1C1 中,A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的中点 ∴A1F⊥B1C1, ∵CC1⊥平面 A1B1C1,A1F?平面 A1B1C1, ∴A1F⊥CC1 又∵B1C1、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线 ∴A1F⊥平面 BCC1B1 又∵AD⊥平面 BCC1B1, ∴A1F∥AD ∵A1F?平面 ADE,AD?平面 ADE, ∴直线 A1F∥平面 ADE. 点评: 本题以一个特殊的直三棱柱为载体,考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂 直的判定等知识点,属于中档题. 21. (14 分)已知函数 f(x)=ax +bx﹣lnx(a>0,b∈R) . (Ⅰ)设 a=1,b=﹣1,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若对任意 x>0,f(x)≥f(1) .试比较 lna 与﹣2b 的大小. 考点: 函数单调性的判断与证明;二次函数的性质. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)a=1,b=﹣1 时,求 f(x) ,f′(x) ,根据 f′(x)的符号即可求出 f(x)的单调 区间; (Ⅱ)由 f(x)≥f(1) ,知 x=1 是函数 f(x)的极值点,所以 f′(1)=0,从而得到 b=1﹣2a, ﹣2b=﹣(2﹣4a) ,作差:lna﹣(﹣2b)=lna+2﹣4a,所以构造函数 g(x)=lnx+2﹣4x,通过 导数可求得 g(x)≤g( )<0,即 g(x)<0,所以 g(a)<0,所以 lna<﹣(2﹣4a)=﹣ 2b,即 lna<﹣2b. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)=x ﹣x﹣lnx,f′(x)=2x﹣1﹣ = ∵x>0,∴ ;
2 2



∴0<x<1 时,f′(x)<0,x>1 时,f′(x)>0; ∴函数 f(x)的单调减区间是(0,1) ,单调增区间是(1,+∞) ;

(Ⅱ)f′(x)=

,由题意可知,f(x)在 x=1 处取得最小值,即 x=1 是 f(x)的极

值点; ∴f′(1)=0,∴2a+b=1,即 b=1﹣2a; 令 g(x)=2﹣4x+lnx(x>0) ,则 g′(x)= ;

∴当 0<x< 时,g′(x)>0,g(x)在(0, )上单调递增; 当 x> 时,g′(x)<0,g(x)在( ∴g(x)≤g( )=1+ln =1﹣ln4<0; ∴g(a)<0,即 2﹣4a+lna=2b+lna<0; 故 lna<﹣2b. 点评: 考查最值的概念,极值的定义,函数导数符号和函数单调性的关系,通过构造函数 比较两个式子大小的方法. 22. (14 分) 如图, 动点 M 到两定点 A (﹣1, 0) 、 B (2, 0) 构成△ MAB, 且∠MBA=2∠MAB, 设动点 M 的轨迹为 C. (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y=﹣2x+m 与 y 轴交于点 P,与轨迹 C 相交于点 Q、R,且|PQ|<|PR|,求 取值范围. 的 )上单调递减;

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;圆锥曲线的轨迹问题. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ)设出点 M(x,y) ,分类讨论,根据∠MBA=2∠MAB,利用正切函数公式, 建立方程化简即可得到点 M 的轨迹方程; 2 2 2 2 (Ⅱ)直线 y=﹣2x+m 与 3x ﹣y ﹣3=0(x>1)联立,消元可得 x ﹣4mx+m +3=0①,利用 ①有两根且均在(1,+∞)内 可知,m>1,m≠2 设 Q,R 的坐标,求出 xR,xQ,利用 围. 解答: 解: (Ⅰ)设 M 的坐标为(x,y) ,显然有 x>0,且 y≠0 当∠MBA=90°时,点 M 的坐标为(2,±3) 当∠MBA≠90°时,x≠2,由∠MBA=2∠MAB 有 tan∠MBA= , ,即可确定 的取值范

化简可得 3x ﹣y ﹣3=0 2 2 而点(2,±3)在曲线 3x ﹣y ﹣3=0 上 2 2 综上可知,轨迹 C 的方程为 3x ﹣y ﹣3=0(x>1) ; 2 2 2 2 (Ⅱ)直线 y=﹣2x+m 与 3x ﹣y ﹣3=0(x>1)联立,消元可得 x ﹣4mx+m +3=0① ∴①有两根且均在(1,+∞)内

2

2

设 f(x)=x ﹣4mx+m +3,∴

2

2

,∴m>1,m≠2

设 Q,R 的坐标分别为(xQ,yQ) , (xR,yR) , ∵|PQ|<|PR|,∴xR=2m+ ,xQ=2m﹣ ,



=

=

∵m>1,且 m≠2 ∴ ,且



,且



的取值范围是(1,7)∪(7,7+4



点评: 本题以角的关系为载体,考查直线、双曲线、轨迹方程的求解,考查思维能力,运 算能力,考查思维的严谨性,解题的关键是确定参数的范围.


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