【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练59


题组层级快练(五十九)
1.若 l1:x+(1+m)y+(m-2)=0,l2:mx+2y+6=0 平行,则实数 m 的值是( A.m=1 或 m=-2 C.m=-2 答案 A 1 1+m m-2 解析 方法一:据已知若 m=0,易知两直线不平行,若 m≠0,则有 = ≠ ?m=1 或 m= m 2 6 -2. 方法二:由 1×2=(1+m)m,得 m=-2 或 m=1. 当 m=-2 时,l1:x-y-4=0,l2:-2x+2y+6=0,平行. 当 m=1 时,l1:x+2y-1=0,l2:x+2y+6=0,平行. 2.若直线 mx+4y-2=0 与直线 2x-5y+n=0 垂直,垂足为(1,p),则实数 n 的值为( A.-12 C.0 答案 A 解析 由 2m-20=0,得 m=10. 由垂足(1,p)在直线 mx+4y-2=0 上,得 10+4p-2=0. ∴p=-2. 又垂足(1,-2)在直线 2x-5y+n=0 上,则解得 n=-12. 3.对任意实数 a,直线 y=ax-3a+2 所经过的定点是( A.(2,3) C.(-2,3) 答案 B
?x-3=0, ?x=3, ? ? 解析 直线 y=ax-3a+2 变为 a(x-3)+(2-y)=0.又 a∈R,∴? 解得? 得定点为 ? ? ?2-y=0, ?y=2,

)

B.m=1 D.m 的值不存在

)

B.-2 D.10

)

B.(3,2) D.(3,-2)

(3,2). 4.点 A(1,1)到直线 xcosθ+ysinθ-2=0 的距离的最大值是( A.2 C.2+ 2 答案 C |cosθ+sinθ-2| π 解析 由点到直线的距离公式,得 d= 2 2 =2- 2sin(θ+4),又 θ∈R, cos θ+sin θ ∴dmax=2+ 2. 5.直线 y=2x+1 关于点(1,1)对称的直线方程是( A.y=2x-1 ) B.2- 2 D.4 )

B.y=-2x+1

C.y=-2x+3 答案 D

D.y=2x-3

解析 在直线 y=2x+1 上任取两个点 A(0,1),B(1,3),则点 A 关于点(1,1)对称的点为 M(2,1),点 B 关 y+1 x-1 于点(1,1)对称的点为 N(1,-1).由两点式求出对称直线 MN 的方程为 = ,即 y=2x-3,故选 D. 1+1 2-1 3π 6.已知直线 l 的倾斜角为 ,直线 l1 经过点 A(3,2),B(a,-1),且 l1 与 l 垂直,直线 l2:2x+by+1 4 =0 与直线 l1 平行,则 a+b=( A.-4 C.0 答案 B 2-?-1? 解析 l 的斜率为-1,则 l1 的斜率为 1,kAB= =1, 3-a 2 ∴a=0.由 l1∥l2,得- =1,b=-2. b ∴a+b=-2. 7.光线沿直线 y=2x+1 射到直线 y=x 上,被 y=x 反射后的光线所在的直线方程为( 1 A.y= x-1 2 1 1 C.y= x+ 2 2 答案 B
? ? ?y=2x+1, ?x=-1, 解析 由? 得? 即直线过(-1,-1). ?y=x, ? ? ?y=-1,

) B.-2 D.2

)

1 1 B.y= x- 2 2 1 D.y= x+1 2

又直线 y=2x+1 上一点(0,1)关于直线 y=x 对称的点(1,0)在所求直线上, y-0 x-1 x 1 ∴所求直线方程为 = ,即 y= - . 2 2 -1-0 -1-1 8.若曲线 y=x4 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为( A.4x-y-3=0 C.4x-y+3=0 答案 A 解析 令 y′=4x3=4,得 x=1,∴切点为(1,1),l 的斜率为 4.故 l 的方程为 y-1=4(x-1),即 4x-y -3=0. 9.(2015· 贵州六校联盟第二次联考)数学家欧拉 1765 年在其所著的《三角形几何学》一书中提出:任 意三角形的外心、 重心、 垂心在同一条直线上, 后人称这条直线为欧拉线. 已知△ABC 的顶点 A(2,0), B(0,4), 若其欧拉线的方程为 x-y+2=0,则顶点 C 的坐标是( A.(-4,0) C.(4,0) ) B.x+4y-5=0 D.x+4y+3=0 )

B.(0,-4) D.(4,0)或(-4,0)

答案 A 2 4 解析 当顶点 C 的坐标是(-4,0)时,三角形重心坐标为(- , ),在欧拉线上,对于其他选项,三角 3 3 形重心都不在欧拉线上.选 A. 10.设 a,b,c 分别是△ABC 中∠A,∠B,∠C 所对边的边长,则直线 sinA· x+ay+c=0 与 bx-sinB· y +sinC=0 的位置关系是( A.平行 C.垂直 答案 C a b 解析 由正弦定理,得 = . sinA sinB sinA b ∵两直线的斜率分别为 k1=- ,k2= , a sinB sinA b ∴k1· k2=- · =-1,∴两直线垂直. a sinB 11.下面给出的四个点中,到直线 x-y+1=0 的距离为 的点是( ) B.(-1,1) D.(1,-1)
? ?x+y-1<0, 2 ,且位于? 表示的平面区域内 2 ?x-y+1>0 ?

) B.重合 D.相交但不垂直

A.(1,1) C.(-1,-1) 答案 C

?x+y-1<0, ? 解析 验证法,A,B 两选项不能满足线性约束条件? C 选项表示的点满足到直线 x-y ? ?x-y+1>0;

+1=0 的距离为

2 3 2 ;而 D 选项中点到直线 x-y+1=0 的距离为 ,故排除 A,B,D,选 C. 2 2 )

x y 12.若直线 + =1 通过点 M(cosα,sinα),则( a b A.a2+b2≤1 1 1 C. 2+ 2≤1 a b 答案 D

B.a2+b2≥1 1 1 D. 2+ 2≥1 a b

x y x y 解析 直线 + =1 通过点 M(cosα,sinα),我们知道点 M 在单位圆上,此问题可转化为直线 + =1 a b a b 和圆 x2+y2=1 有公共点,圆心坐标为(0,0),由点到直线的距离公式有 |-1| 1 1 ≤1? 2+ 2≥1,故选 D. a b 1 1 + a2 b2

13.点 P(-1,3)到直线 l:y=k(x-2)的距离的最大值等于________. 答案 3 2 解析 P(-1,3)到直线 l: y=k(x-2)的距离为 d= 3|k+1| 1+k
2=3

1+

2k 2k , 由于 2 ≤1, 所以 d≤3 2, k +1 k +1
2

即距离的最大值等于 3 2. 14.如图所示,已知 A(4,0),B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上,最后 经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是________.

答案 2 10 解析 由题意,求出 P 关于直线 x+y=4 及 y 轴的对称点分别为 P1(4,2),P2(-2,0),由物理知识知, 光线所经路程即为|P1P2|=2 10. 15. 若将一张坐标纸折叠一次, 使得点(0,2)与点(4,0)重合, 点(7,3)与点(m, n)重合, 则 m+n=________. 答案 34 5

解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线, 即直线 y=2x-3, 它也是点(7,3)与点(m, 3+n 7+m =2× -3, ? 2 ? 2 n)连线的中垂线,于是? n-3 1 ?m-7=-2, ?

?m=5, 解得? 31 ?n= 5 ,

3

34 故 m+n= . 5

16.设一直线 l 经过点(-1,1),此直线被两平行直线 l1:x+2y-1=0 和 l2:x+2y-3=0 所截得线段 的中点在直线 x-y-1=0 上,求直线 l 的方程. 答案 2x+7y-5=0 解析 方法一:设直线 x-y-1=0 与 l1,l2 的交点为 C(xC,yC),D(xD,yD),则
? ? ?x+2y-1=0, ?xC=1, ? ?? ∴C(1,0). ?x-y-1=0 ? ? ?yC=0,

?x+2y-3=0, ? ? ? ? ?x-y-1=0

?x =3, ? 2 ?y =3,
D D

5

5 2 ∴D( , ). 3 3

4 1 则 C,D 的中点 M 为( , ). 3 3 又 l 过点(-1,1),由两点式得 l 的方程为 1 4 y- x- 3 3 = , 1 4 1- -1- 3 3 即 2x+7y-5=0 为所求方程. -1-3 方法二:∵与 l1,l2 平行且与它们的距离相等的直线方程为 x+2y+ =0,即 x+2y-2=0. 2

?x+2y-2=0, ? 4 1 由? 得 M( , ).(以下同方法一) 3 3 ?x-y-1=0, ?

方法三:过中点且与两直线平行的直线方程为 x+2y-2=0, 设所求方程为(x-y-1)+λ(x+2y-2)=0, ∵(-1,1)在此直线上,∴-1-1-1+λ(-1+2-2)=0,∴λ=-3,代入所设得 2x+7y-5=0. 方法四:设所求直线与两平行线 l1,l2 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则
? ?x1+2y1-1=0, ? ?(x1+x2)+2(y1+y2)-4=0. ?x2+2y2-3=0 ?

又 A,B 的中点在直线 x-y-1=0 上, ∴ x1+x2 y1+y2 - -1=0. 2 2
1 2

x 4 = , ?x + 2 3 解得? y +y 1 ? 2 =3.
1 2

(以下同方法一)

17.如图所示,函数 f(x)=x+

2 的定义域为(0,+∞).设点 P 是函数图像上任一点,过点 P 分别作直 x

线 y=x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M,N.

(1)证明:|PM|· |PN|为定值; (2)O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值. 答案 (1)略 (2)1+ 2 2 )(x >0),则|PN|=x0, x0 0

解析 (1)设 P(x0,x0+ | 2

| x0 1 |PM|= = ,因此|PM|· |PN|=1, 2 x0 即|PM|· |PN|为定值. (2)直线 PM 的方程为 y-x0- 即 y=-x+2x0+ 2 , x0 2 =-(x-x0), x0

y=x, ? ? 解方程组? 2 ? ?y=-x+2x0+ x0 ,

得 x=y=x0+ 连接 OP, S
四边形

1 . 2x0

OMPN = S △ NPO + S △ OPM =

1 1 1 2 1 1 1 1 |PN||ON|+ |PM||OM|= x0(x0 + ) + · · 2(x0 + ) = 2 + (x 2 + 2 2 2 x0 2 x0 2 0 2x0

1 )≥1+ 2, x2 0 1 当且仅当 x0= ,即 x0=1 时等号成立,因此四边形 OPMN 面积的最小值为 1+ 2. x0

1.与直线 l:5x-12y+6=0 平行且到 l 的距离为 2 的直线的方程为________. 答案 5x-12y+32=0 和 5x-12y-20=0 解析 设所求直线的方程为 5x-12y+c=0. 1 在直线 l:5x-12y+6=0 上取一点 P0(0, ),则 2 点 P0 到直线 l:5x-12y+c=0 的距离为 1 |-12× +c| 2 5 +?-12?
2

d=

2=

|c-6| , 13

|c-6| 由题意,得 =2,解得 c=32 或 c=-20. 13 所以,所求直线的方程为 5x-12y+32=0 和 5x-12y-20=0. 2.(2014· 南通一模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(0,-1),B(-3,-4)两点,若点 C 在∠AOB → 的平分线上,且|OC|= 10,则点 C 的坐标是________. 答案 (-1,-3) |4a-3b| ? ? ? 5 =|a|, ?a=-1, 解析 设 C(a,b)(a<0,b<0).OB 所在直线方程为 4x-3y=0,则? 解得? ?b=-3. ? ? ? a2+b2= 10, ∴C(-1,-3). 3.在△ABC 中,BC 边上的高所在直线 l1 的方程为 x-2y+1=0,∠A 的平分线所在的直线 l2 的方程 为 y=0,若点 B 的坐标为(1,2),求点 A,C 的坐标.

答案 A(-1,0),C(5,-6) 解析 如图,设 C(x0,y0),由题意知 l1∩l2=A,则

?x-2y+1=0, ?x=-1, ? ? ? ?? ?y=0 ? ? ?y=0.

即 A(-1,0). 又∵l1⊥BC,∴kBC· kl1=-1. -1 -1 ∴kBC= = =-2. kl1 1 2 ∴由点斜式可得 BC 的直线方程为 y-2=-2(x-1),即 2x+y-4=0. 又∵l2:y=0(x 轴)是∠A 的平分线, ∴B 关于 l2 的对称点 B′在直线 AC 上,易得 B′点的坐标为(1,-2),由两点式可得直线 AC 的方程 为 x+y+1=0.
? ? ?x0+y0+1=0, ?x0=5, 由 C(x0,y0)在直线 AC 和 BC 上,可得? ?? ?2x0+y0-4=0 ?y0=-6. ? ?

4. (2014· 福建文)已知直线 l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心, 且与直线 x+y+1=0 垂直, 则 l 的方程是( A.x+y-2=0 C.x+y-3=0 答案 D B.x-y+2=0 D.x-y+3=0

)

解析 依题意,得直线 l 过点(0,3),斜率为 1,所以直线 l 的方程为 y-3=x-0,化简得 x-y+3=0. 5.正方形的中心为 C(-1,0),一条边所在的直线方程是 x+3y-5=0,求其他三边所在直线的方程. |-1-5| 3 10 解析 点 C 到直线 x+3y-5=0 的距离 d= = . 5 1+9 设与 x+3y-5=0 平行的一边所在直线的方程是 x+3y+m=0(m≠-5), |-1+m| 3 10 则点 C 到直线 x+3y+m=0 的距离 d= = ,解得 m=-5(舍去)或 m=7. 5 1+9 所以与 x+3y-5=0 平行的边所在直线的方程是 x+3y+7=0. 设与 x+3y-5=0 垂直的边所在直线的方程是 3x-y+n=0, |-3+n| 3 10 则点 C 到直线 3x-y+n=0 的距离 d= = ,解得 n=-3 或 n=9. 5 1 +9 所以与 x+3y-5=0 垂直的两边所在直线的方程分别是 3x-y-3=0 和 3x-y+9=0.


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