【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习课件:2.1函数及其表示


第二章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示

【知识梳理】

1.必会知识

教材回扣

填一填

(1)函数与映射的概念:

函数 非空数集 到B 建立在两个_________A 的一种确定的对应关系f,使 任意 一个数 定义 对于集合A中的_____ 唯一确定 x,在集合B中都有_________ 的数f(x)和它对应 记法 y=f(x),x∈A

映射 非空集合 到B的一 建立在两个_________A 种确定的对应关系f,使对于集合 任意一个 元素x,在集合B A中的_________ 唯一确定 的元素y与之 中都有_________ 对应 f:A→B

(2)函数的三要素: 对应关系 和值域三个要素构成,对函数y=f(x), 函数由定义域、_________ x∈A,其中 自变量x 的取值范围; ①定义域:________ {f(x)|x∈A} ②值域:函数值的集合____________. (3)函数的表示法: 解析法 、_______ 列表法 、_______. 图象法 表示函数的常用方法有:_______

(4)分段函数: 对应关系 不同而分别用几个不同 若函数在定义域的不同子集上,因_________ 的式子来表示,这种函数称为分段函数.

2.必备结论

教材提炼

记一记

(1)映射:①映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A,B为非空数集的
映射就是函数; ②映射的两个特征: 第一:在A中取元素的任意性; 第二:在B中对应元素的唯一性; ③映射问题允许多对一,但不允许一对多.

定义域 和_________ 对应关系 完全 (2)判断两个函数相等的依据是两个函数的_______ 一致.

并集 其值域等于各 (3)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_____,
并集 分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一 段函数的值域的_____,

个函数.
(4)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:利用待定系数法、换元法、配凑法、消去法确定函数解
析式.

(2)数学思想:数形结合、分类讨论.
(3)记忆口诀:抽象函数不要怕,赋值方法解决它;

分段函数分段算,并到一起保平安.

【小题快练】

1.思考辨析

静心思考

判一判
) )

(1)函数是建立在其定义域到值域的映射.(

(2)若函数的定义域和值域相同,则这两个函数是相等函数.( (3)函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t是同一函数.( (4)f(x)= x ? 3 ? 2 ? x 是一个函数.( ) )

【解析】(1)正确.函数是特殊的映射. (2)错误.如函数y=x与y=x+1的定义域和值域都是R,但它们的对应关 系不同,不是相等函数. (3)正确.函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t的定义域和对应关系相同. (4)错误.因定义域为空集. 答案:(1)√ (2)〓 (3)√ (4)〓

2.教材改编

链接教材

练一练
1 的定义域为( 2 ?1 ? x?2
x

(1)(必修1P17例1(1)改编)函数f(x)=
A.[0,2) C.[0,2)∪(2,+∞)

)

B.(2,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞) 解得x≥0且x≠2.

x ? 2 【解析】选C.由题意得 ? ? 1 ? 0, ? x ? 2 ? 0,

(2)(必修1P25B组T2改编)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},

值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是(

)

【解析】选B.选项A,定义域为{x|-2≤x≤0},不正确.选项C,当x在

(-2,2]取值时,y有两个值和x对应,不符合函数的概念.选项D,值域
为[0,1],不正确,选项B正确.

(3)(必修1P23T2改编)如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间
(x)之间的函数图象.若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行 走的路线可能是( )

【解析】选D.由y与x的关系知,在中间时间段y值不变,只有D符合题意.

3.真题小试

感悟考题

试一试

(1)(2014·江西高考)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为(
A.(0,1) C.(-∞,0)∪(1,+∞) B.[0,1] D.(-∞,0)∪[1,+∞)

)

【解析】选C.由题意可得x2-x>0,解得x>1或x<0,故所求的定义域为 (-≦,0)∪(1,+≦).

(2)(2015·岳阳模拟)已知函数f(x)= a= .

x ? 1 .若f(a)=3,则实数

【解析】因为f(a)= 答案:10

a ? 1 =3,所以a-1=9,即a=10.

? x, x ? ? ??,a ? , ? (3)(2014·上海高考)设f(x)= ? 2 若f(2)=4,则a的取值 ? ? x , x ? ?a, ?? ? ,

范围为

.

【解析】因为f(2)=4,所以2∈[a,+≦),所以a≤2,则a的取值范围为 (-≦,2]. 答案:(-≦,2]

考点1

求函数的定义域
1

【典例1】(1)(2014·山东高考)函数f(x)= 为( ) B.(2,+∞)

? log 2 x ?

2

的定义域
?1

A.(0, 1 )

2 C.(0, 1 )∪(2,+∞) 2

D.(0, 1 )∪[2,+∞)
2

(2)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为 ( A.(-1,1) C.(-1,0) B.(-1,- 1 )
2

)

D.( 1 ,1)
2

【解题提示】(1)根据解析式,构建使其有意义的不等关系求解.
(2)明确函数f(x)中的x与函数f(2x+1)中2x+1的关系,列不等式求解.

【规范解答】(1)选C.(log2x)2-1>0,即log2x>1或log2x<-1,解得x>2
或0<x< 1 .故所求的定义域为(0, )∪(2,+≦).
2 1 2

【一题多解】解答本题,还有以下解法

选C.令x= 1 ,则(log2 1 )2-1=3>0,排除B.令x=4,则(log24)2-1=3>0,
4 4

所以排除选项A.令x=2,则(log22)2-1=0,排除D.故选C.

(2)选B.由函数f(x)的定义域为(-1,0),则使函数f(2x+1)有意义,
需满足-1<2x+1<0,解得-1<x<- 1 ,即所求函数的定义域为(-1,- 1 ).
2 2

【互动探究】若本例(2)中条件变为:“函数f(x-1)的定义域为
(-1,0)”,则结果如何?

【解析】因为f(x-1)的定义域为(-1,0),即-1<x<0,所以-2<x-1<-1,
故f(x)的定义域为(-2,-1),则使函数f(2x+1)有意义,需满足-2<2x+1

<-1,解得- 3 <x<-1.所以f(2x+1)的定义域为(- 3 ,-1).
2 2

【规律方法】 1.求函数定义域的类型及方法

(1)已知函数的解析式:构造使解析式有意义的不等式(组)求解.
(2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.

(3)抽象函数:①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f(g(x))的
定义域由不等式a≤g(x)≤b求出;

②若已知函数f(g(x))定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在
x∈[a,b]时的值域.

2.求函数定义域的注意点 (1)不要对解析式进行化简变形,以免定义域变化. (2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成 时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集. (3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不能用 “或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.

【变式训练】(2015·银川模拟)函数f(x)= 域是( )
1 B.(? ,1) 3 1 D.(??, ? ) 3

3x 2 +lg(3x+1)的定义 1? x

1 A.(? , ??) 3 1 1 C.(? , ) 3 3

1 ? x ? 0, 1 <x<1,所以函数定义域为 【解析】选B.依题意得: ? 解得 ?

(- 1 ,1).
3

?3x ? 1 ? 0,

3

【加固训练】1.已知函数f(2x)的定义域为[-1,1],则f(x)的定义域



.

【解析】因为f(2x)的定义域为[-1,1],
1 所以 ≤2x≤2,即f(x)的定义域为[ 1 ,2]. 2 2 答案:[ 1 ,2] 2

2.(2015·揭阳模拟)函数y= ln(1 ? 1 ) ? 1 ? x 2 的定义域为
x

.

? 1 1 ? ? 0, 【解析】要使函数有意义,需 ? ? x ?1 ? x 2 ? 0, ?
??1 ? x ? 1,

? x ?1 ? 0, 即 ? ? x ? x 2 ? 1, ?

x ? ?1或x ? 0, 解得0<x≤1,所以定义域为(0,1]. 即 ? ?

答案:(0,1]

考点2

求函数的解析式

【典例2】(1)已知f( x +1)=x+2 x ,则f(x)=

.

(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 则f(x)= .

【解题提示】(1)利用换元法求解. (2)已知函数类型,用待定系数法求解. 【规范解答】(1)设t= x +1, 则x=(t-1)2(t≥1); 代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1. 故f(x)=x2-1(x≥1). 答案:x2-1(x≥1)

【一题多解】解答本题,还有以下解法:

因为x+2 x =( x )2+2 x +1-1=( x +1)2-1,
所以f( x +1)=( x +1)2-1( x +1≥1),

即f(x)=x2-1(x≥1).
答案:x2-1(x≥1)

(2)因为f(x)是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0),所以3[a(x+1)+b]-

2[a(x-1)+b]=2x+17.即ax+(5a+b)=2x+17,
a ? 2, 因此应有 ? ?

?5a ? b ? 17,

解得 ?

?a ? 2, ?b ? 7.

故f(x)的解析式是f(x)=2x+7.

答案:2x+7

【易错警示】解答本例(1)有以下易错点

本例第(1)题利用换元法求解析式,易忽视换元后t的取值范围,从而造
成求出的函数解析式定义域扩大而致误.

【规律方法】求函数解析式的常用方法

(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表
达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式. (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定 系数法.

(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意

新元的取值范围.
(4)解方程组法:已知关于f(x)与f(
1 )或f(-x)的表达式,可根据已知 x

条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).

【变式训练】(2015·济南模拟)已知f(x)满足2f(x)+f(

1 )=3x, x

则f(x)=

.

【解析】因为2f(x)+f( 1 )=3x,①

x 所以将x用 1 替换,得2f( 1 )+f(x)= 3 ,② x x x 由①②解得f(x)=2x- 1 (x≠0), x 即f(x)的解析式是f(x)=2x- 1 (x≠0). x 答案:2x- 1 (x≠0) x

【加固训练】1.已知f( 2 +1)=lg x,则f(x)=

【解析】令 2 +1=t得x= 2 ,代入得f(t)=lg 2 ,
x t ?1

x

.

t ?1 又x>0,所以t>1,故f(x)的解析式是f(x)=lg 2 (x>1). x ?1 答案:lg 2 (x>1) x ?1

2.设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等实根,且f′(x)=2x+2, 则f(x)= .

【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则f′(x)=2ax+b=2x+2, 所以a=1,b=2,所以f(x)=x2+2x+c. 又因为方程f(x)=0有两个相等实根, 所以Δ=4-4c=0,c=1,故f(x)=x2+2x+1. 答案:x2+2x+1

3.(2013·安徽高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).当

0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0时,f(x)=

.

【解析】当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),当-1≤x≤0时,0≤x+1≤1,所以 f(x+1)=(x+1)[1-(x+1)]=-x(x+1),而f(x)= 1 f(x+1)=- 1 x2- 1 x. 所以当-1≤x≤0时,f(x)=- 1 x2- 1 x. 答案:- 1 x2- 1 x
2 2 2 2 2 2 2

考点3

分段函数及应用

知·考情
分段函数作为考查函数知识的最佳载体,以其考查函数知识容量 大成为高考命题的热点,试题常以选择题、填空题形式出现,考查求值、 解方程(零点)、解不等式、函数图象及函数性质等问题.解题过程中 常渗透分类讨论的数学思想.

命题角度1:求分段函数的函数值
? x 2 ? 1,x ? 1, 【典例3】(2015·厦门模拟)设函数f(x)= ? ?2 ? ,x ? 1, ?x

则f(f(3))=(
1 A. 5 B. 3

)
2 C. 3 13 D. 9

【解题提示】根据自变量的值选择相应的对应关系求值,先求出f(3),

然后再求出f(f(3))的值.
【规范解答】选D.因为f(3)= 2 ,所以f(f(3))=
3 2 2 4 13 f( ) ? ( ) 2 ? 1 ? ? 1 ? . 3 3 9 9

命题角度2:求解分段的方程、不等式
2 ? x ? 【典例4】(2014·浙江高考)设函数f(x)= ? ? 2x ? 2, x ? 0, 2 ? x , x ? 0, ? ?

若f(f(a))=2,则a= (本题源于教材必修1P45T4)

.

【解题提示】根据自变量的取值分两种情况进行讨论 ,列出方程

进行求解.
【规范解答】当a≤0时,f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0, f(f(a))<0,显然不成立; 当a>0时,f(a)=-a2<0,所以f(f(a))=a4-2a2+2=2, 解得a=〒 2 或a=0,因为a>0,所以a= 2 . 答案: 2

悟·技法

与分段函数有关问题的类型及求解思路
(1)求分段函数的函数值,根据所给自变量的大小选择相应段的解析式 求解,有时各段交替使用求值. (2)求分段方程或分段不等式的解,依据不同范围的不同段分类讨论求 解,最后将讨论结果并起来.

通·一类
? a 2 x , x ? 0, ? 1.(2014·江西高考)已知函数f(x)= ? (a∈R), ?x ? ?2 , x ? 0

若f(f(-1))=1,则a=( A. 1
4

)

B.

1 2

C.1

D.2

【解析】选A.因为-1<0,所以f(-1)=2-(-1)=2,又2>0,所以f(f(-1)) =f(2)=a·22=1,解得a= 1 .
4

? log 2 ? x ? 1? , x ? 3, ? 2.(2015·日照模拟)已知函数f(x)= ? 满足f(a)=3, x ?3 ? ? 2 ? 1, x ? 3

则f(a-5)的值为(
A.log23

)

B. 17

16

C.

3 2

D.1


a ? 3, 【解析】选C.分两种情况分析, ? ? ?2
a ?3

? 1 ? 3,

a ? 3, 或者 ? ?

?log 2 ? a ? 1? ? 3,



①无解,由②得,a=7,所以f(a-5)=22-3+1= 3 .
2

?e x ?1 , x ? 1, 3.(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)= ? 则使得f(x)≤2 ? 1 3 ? ? x ,x ? 1,

成立的x的取值范围是

.

【解析】当x<1时,由ex-1≤2可得x-1≤ln2.即x≤ln2+1,故x<1;
当x≥1时,由f(x)= x ≤2可得x≤8,故1≤x≤8,综上可得x≤8.
1 3

答案:(-≦,8]

?3x ? 2, x ? 1, 4.(2015·石家庄模拟)已知函数f(x)= ? 2 若f(f(0))=4a, ? x ? ax, x ? 1,

则实数a=

.

【解析】因为f(0)=3〓0+2=2,f(f(0))=f(2)=4+2a=4a, 所以a=2. 答案:2

自我纠错3

分段函数的参数求值问题
?2x ? a, x ? 1, ?? x ? 2a, x ? 1,

【典例】(2015·郑州模拟)已知实数a≠0,函数f(x)= ? 若f(1-a)=f(1+a),则a的值为
3 A.- 2 3 3 C.- 或- 2 4

(

)

3 B.- 4 3 3 D. 或- 2 4

【解题过程】

【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?

提示:上述解题过程出现的错误主要有两个方面:
(1)误以为1-a<1,1+a>1,没有对a进行讨论直接代入求解. (2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误 .

【规避策略】

(1)分类讨论思想的应用:对于分段函数的求值问题,若自变量的取值
范围不确定,应分情况求解. (2)检验结果:求解过程中,求出的参数的值或范围并不一定符合题意, 因此要检验结果是否符合要求.

【自我矫正】选B.当a>0时,1-a<1,1+a>1,由f(1-a)=f(1+a)

可得2-2a+a=-1-a-2a,解得a= - 3 ,不合题意;
2

当a<0时,1-a>1,1+a<1, 由f(1-a)=f(1+a)可得-1+a-2a=2+2a+a, 解得a= - 3 . 故a的值为 - 3 .
4 4


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